2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计(第一课时)

平面向量的基本定理及坐标表示

考纲内容：

①了解平面向量的基本定理及其意义。

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

五年统计：

2014•新课标II.3; 2015•新课标I.7, II.13; 2016·新课标I.13;新课标II.III.3; 2017•新课标II.20； III.12. 分析预测：

1.以考查向量的坐标运算、共线向量的坐标表示为主，运用平面向量基本定理，进一步解题； 2.单独考查坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算的题目较少，主要是以工具的形式进行考查. 3.备考重点：

(1) 理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；

(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 【知识清单】

1．平面向量基本定理及其应用

平面向量基本定理

如果e1，e2是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e1+，e2叫做表示这一平面内所有向量的2e2.其中，不共线的向量e1一组基底．

对点练习：

向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

【答案】3

2 2．平面向量的坐标运算

1. 平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)．

3．平面向量的坐标运算

(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)；

(2)若a＝(x，y)，则a＝(x，y)．

22|AB|＝(x－x)(y－y)A(x，y)，B(x，y)AB＝(x－x，y－y)21211122，则2121，(3)设. 对点练习：

【2017湖南郴州一测】ABCD中，AB(1,2)，AD(1,4)，则AC（ ）

A．(3,3) B．(2,2) C. (2,2) D．(0,6)

【答案】D 【解析】 试题分析：ACABAD(0,6),故选D.

3．平面向量共线的坐标表示

向量共线的充要条件的坐标表示

若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2-x2y10. 对点练习：

【2017广西名校摸底】已知函数y2x23的图象是由函数y2x的图象按向量a平移而得到的，又a∥b，则b

（ ）

A．(2,3) B．(3,2) C．(2,3) D．(3,2)

【答案】A 【解析】由已知得a(2,3)，又a//b，则b(2,3). 【考点深度剖析】

平面向量基本定理及坐标表示，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．

【重点难点突破】

考点1 平面向量基本定理及其应用

→→→11【2017·杭州测试】

如图，以向量OA＝a，OB＝b为邻边作▱OADB，BM＝BC，CN＝CD，用a，33→→→→→→b表示OM，ON，MN.

152211【答案】OM＝a＋b，ON＝a＋b，MN＝a－b. 663326→→→

→→→→111BM＝BA＝a－b，

666→【解析】∵BA＝OA－OB＝a－b，

15∴OM＝OB＋BM＝a＋b. 66→∵OD＝a＋b，

→→→→111222∴ON＝OC＋CD＝OD＋OD＝OD＝a＋b，

326333221511∴MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b. 336626→→152211综上，OM＝a＋b，ON＝a＋b，MN＝a－b. 663326【领悟技法】

1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．

2.特别注意基底的不唯一性：

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量→→→→→→→→→

a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

【触类旁通】

【变式一】如图，已知AP＝4AB，用OA，OB表示OP，则OP等于(

) 3

A.14141414OA－OB B.OA＋OB C.－OA＋OB D.－OA－OB

33333333【答案】C

【解析】OP＝OA＋AP＝OA＋选C. 考点2 平面向量的坐标运算

4414AB＝OA＋ (OB－OA)＝－OA＋OB，3333【2-1】已知向量AB1,3,BC1,2,AD2,4，则CD（ ）

A．4,1 B．0,9 C．2,1 D．2,9

【答案】D

【2-2】已知向量a(x,y),b(1,2)，且ab(1,3)，则|a2b|等于（ ）

A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】

因ab(1,3),b(1,2),故a(2,1),所以a2b(4,,故|a2b|42325,故应选D. 【领悟技法】

注意向量坐标与点的坐标的区别：

要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．

【触类旁通】

【变式一】已知向量a2,4，b1,1，则2ab（ ）

A.5,7 B.5,9 C.3,7 D.3,9

【答案】A

rrr【解析】因为2a(4,8)，所以2ab(4,8)(1,1)=5,7，故选A. 【变式二】【2017河北武邑三调】在矩形ABCD中，AB1,3,ACk,2，则实数k（ ）

A．5 B．4 C. D．4

【答案】D 【解析】CBABAC(1k,1)ABCB1k30k4，故选D. 考点3 平面向量共线的坐标表示

1bcos,1,且a//b，则cos（ ）

【3-1】向量a,tan，322 322211A． B． C． D．

3333【答案】A 【3-2】设向量a=2,x1，b=x1,4，则“x3”是“a//b”的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A 2，b4,4，此时a//b；当a//b时，【解析】当x3时，a2,x1x1【领悟技法】

24，解得8x3.所以“x3”是“a//b”的充分而不必要条件. 1.向量共线的充要条件有两种：

（1）a∥b⇔a=b(b0). （2）若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2-x2y10. 当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便.

2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等. 【触类旁通】

【变式一】已知向量a2,3,bcos,sin，且a//b，则tan（ ）

A．3322 B． C． D．

2233【答案】A 【解析】

由a//b，可知2sin3cos0，解得tan【变式二】已知向量是（ ）

A．3 B．3【答案】C 【解析】

试题分析：用α表示出|解：||=．

∴当cos（故选C．

考点4 平面向量共线的应用

【4-1】设OA(1,2)，OB(a,1)，OC(b,0)，a0,b0，O为坐标原点，若）=﹣1时，||取得最小值．

==（2+|，将问题转化求函数最小值问题解出．

sinα），∴== C． D．2 =（2，2），=（3，故选A. 2sinα），则向量的模的最小值cosα，﹣cosα，2﹣A、B、C三点共线，则12的最小值是（ ）

abA．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】

AB(a1,1)，BC(ba,1)，若A、B、C三点共线，AB//BC，由向量共线定理

得a111ba，2ab1，故1212b4a2ab44248．

ababab21【4-2】如图，在△ABC中, ANNC,P是BN上的一点,若APmABAC,则实数93m的值为( )

A．1 B．【答案】C 11 C． D．3

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【课本回眸】

向量共线的充要条件有两种：

（1）a∥b⇔a=b(b0).

（2）若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2-x2y10.

【领悟技法】

当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便. 【触类旁通】

【变式一】设两个向量a2,2cos2,b,sin，其中,,R．若2a2b，则的最小值为______．

【答案】-6

【变式二】【2017山西大学附中二模】在直角梯形ABCD,ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2,E,F分别为AB,AC的中点，

点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF，其中,R，

则2的取值范围是___________．

【答案】1,1

【解析】以A为坐标原点，AB,AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系，依题意得

3131D0,1,E1,0,C(1,1),B2,0,F,，ED1,1,AF,，设2222Pcos,sin,0,，依题意APEDAF，即23cos312，两式相减得cos,sin,，22sin122sincos2sin4，44,4，2sin41,1.