3. 万有引力定律的应用教案设计（一等奖）

1．(2017·广西钦州模拟)关于行星绕太阳运动的下列说法正确的是(

) A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处

C．离太阳越近的行星的运动周期越长

D．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等

解析：由开普勒第一定律可得，所有行星都绕太阳做椭圆运动，且太阳处在所有椭圆的一个焦点上，故A错误；由开普勒第一定律可得，行星绕太阳运动时，R3太阳位于行星轨道的一个焦点处，故B错误；由公式T2＝k得，离太阳越近的行星的运动周期越短，故C错误；由开普勒第三定律可得，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故D正确．

答案：D 2．欧洲天文学家在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯581c”．该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的1.5倍．设想在该行星表面附近绕行星圆轨道运行的人造卫星的动能为Ek1，在地球表面附近绕地球沿Ek1圆轨道运行的相同质量的人造卫星的动能为Ek2，则E为(

) k2A．0.13

C．3.33

B．0.3 D．7.5 解析：在行星表面运行的卫星其做圆周运动的向心力由万有引力提供

v2Mm故有Gr2＝mr，

12GMm所以卫星的动能为Ek＝2mv＝2r

GM地m故在地球表面运行的卫星的动能Ek2＝

2R地在“格利斯”行星表面运行的卫星的动能Ek1＝GM行m

2R行GM行m2R行M行R地5110Ek1所以有E＝＝·＝1×1.5＝3＝3.33. k2GM地mM地R行2R地

答案：C 3．(2017·四川资阳诊断)我国“北斗二代”计划在2020年前发射35颗卫星，形成全球性的定位导航系统，比美国GPS多5颗．多出的这5颗是相对地面静止的高轨道卫星(以下简称“静卫”)，其他的有27颗中轨道卫星(以下简称“中3卫”)轨道高度为静止轨道高度的5，下列说法正确的是(

) A．“中卫”的线速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间

B．“静卫”的轨道必须是在赤道上空

C．如果质量相同，“静卫”与“中卫”的动能之比为3∶5 D．“静卫”的运行周期小于“中卫”的运行周期

v2GMm解析：根据万有引力提供向心力有r2＝mr，则v＝GMr，可知道，半径越大速度越小，当r为地球半径即卫星在地面附近飞行时的速度为第一宇宙速度，为7.9 km/s，为最大速度，则有题可以知道“中卫”的线速度应小于7.9 km/s，故选项A错误；由题可以知道，“静卫”是相对地面静止的高轨道卫星，即是地球同步卫星，则其轨道为赤道上空，故选项B正确；由于v＝GMr，则动能11GM为Ek＝2mv2＝2mr，则动能之比为卫星运动轨道半径(静止轨道高度＋地球半径)的反比，故选项C错误；根据万有引力提供向心力，有

GMm2π2＝m(r2T)r，T＝4π2r3GM，可以知道，半径越大周期越大，所以“静卫”的运行周期大于“中卫”的运行周期，故选项D错误．

答案：B 4．(2017·陕西汉中质检)假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是(

) A．地球的向心力变为缩小前的一半

1B．地球的向心力变为缩小前的16

1C．地球绕太阳公转周期变为缩小前的4

D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半

解析：由于天体的密度不变而半径减半，导致天体的质量减小，所以有M天′＝M天4rρ3π(2)3＝8. 地球绕太阳做圆周运动由万有引力充当向心力，所以有GM地′M太′1＝16R2223M地M太M地′M太′4π2R24πRGR2，所以B正确，A错误；由G＝M地′T22，整理得T＝R2GM太2与原来相同，故C、D错误．

答案：B 5．(2017·山东莱芜凤城高级中学段考)我国自主研制的高分辨率对地观测系统包含至少7颗卫星，分别编号为“高分一号”到“高分七号”，它们都将在2020年前发射并投入使用．于2013年4月发射成功的“高分一号”是一颗低轨遥感卫星，其轨道高度为645 km.关于“高分一号”卫星，下列说法正确的是(

) A．发射速度大于7.9 km/s B．可以定点在相对地面静止的同步轨道上

C．卫星绕地球运行的线速度比月球的小

D．卫星绕地球运行的周期比月球的大

解析：7.9 km/s是第一宇宙速度，是最大的圆周运动的环绕速度，也是最小发射速度，所以发射速度一定大于7.9 km/s，故A正确；“高分一号”是一颗低轨遥感卫星，其轨道高度为645 km，不能定点在相对地面静止的同步轨道上，故B错误；根据v＝T＝2πGMr，卫星绕地球运行的线速度比月球的大，故C错误；根据r3GM，卫星绕地球运行的周期比月球的小，故D错误．

答案：A 6．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是(

)

A．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

B．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

C．太阳对各小行星的引力相同

D．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

Mm解析：小行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供圆周运动向心力，有Gr2＝v24π2GMmr＝ma＝mT2r，小行星的加速度a＝r2，小行星内侧轨道半径小于外侧轨道半径，故内侧向心加速度大于外侧的向心加速度，故A正确；线速度v＝GMr知，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，故小行星的公转线速度小于地球公Mm转的线速度，故B错误；太阳对小行星的引力F＝Gr2，由于各小行星的轨道半径、质量均未知，故不能得出太阳对小行星的引力相同的结论，故C错误；由周期T＝2πr3GM知，由于小行星轨道半径大于地球公转半径，故小行星的运动周期均大于地球公转周期，即大于一年，故D错误．

答案：A 7.2016年9月15日中国成功发射“天宫二号”空间实验室，并发射“神舟十一号”载人飞船和“天舟一号”货运飞船，与“天宫二号”成功交会对接．“天宫二号”由“长征二号F”改进型无人运载火箭从酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面的高度为h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上．“天宫二号”飞行几周后进行变轨进入预定圆轨道，如图所示．已知“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t.引力常量为G，地球半径为R.则下列说法正确的是(

)

A．“天宫二号”从B点沿椭圆轨道向A点运行的过程中，机械能增大

B．“天宫二号”在椭圆轨道的B点的向心加速度大于在预定圆轨道上B点的向心加速度

C．“天宫二号”在椭圆轨道的B点的速度大于在预定圆轨道上B点的速度

D．根据题目所给信息，可以计算出地球质量

解析：“天宫二号”从B点沿椭圆轨道向A点运行的过程中，只有引力做功，Mm故机械能不变，选项A错误；根据Gr2＝ma可知，“天宫二号”在椭圆轨道的B点的向心加速度等于在预定圆轨道上B点的向心加速度，选项B错误；“天宫二号”在椭圆轨道的B点经过加速后才能进入预定圆轨道，故在椭圆轨道的BMm点的速度小于在预定圆轨道上B点的速度，选项C错误；根据G＝R＋h22πnm(t)2(R＋h)，可得地球的质量M，故选项D正确．

答案：D 二、多项选择题

8．(2017·四川广安、眉山、遂宁三市诊断)同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为200 km～300 km的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道；如图所示，当卫星穿过赤道平面上的P点时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在地球赤道上空约36 000 km处，这条轨道叫转移轨道；当卫星到达远地点Q时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道．关于同步卫星及发射过程，下列说法正确的是(

)

A．在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的线速度大于在停泊轨道运行的线速度

B．在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能

C．卫星在转移轨道上运动的速度大小范围为7.9 km/s～11.2 km/s D．所有地球同步卫星的静止轨道都相同

v2Mm解析：卫星点火加速后，由于克服重力做功，速度减小，而由Gr2＝mr可知，在静止轨道上的线速度小于停泊轨道的线速度，故A错误；在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，则卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能，故B正确；在转移轨道上的速度一定小于第一宇宙

速度，故C错误；所有的地球同步卫星的静止轨道都相同，并且都在赤道平面上，故D正确．

答案：BD 9．(2017·宜宾诊断)我国的“玉兔号”月球车于2013年12月14日晚成功降落在月球虹湾区，开始探测科考．机器人“玉兔号”在月球表面做了一个竖直上抛试验，测得物体从月球表面以初速度v0竖直向上抛时上升的最大高度为h，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G.则下列说法中不正确的是(

) 2v0A．月球表面重力加速度为h

B．月球的第一宇宙速度为v02hR

23v20RTC．月球同步卫星离月球表面高度为

8π2h－R

23v0D．月球的平均密度为8πGhR

2v0解析：由v＝2gh得，月球表面重力加速度为g月＝2h，故A错误；月球的第一2v2宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力mg＝mR，所以v＝g月R＝v0R2h，故B错误；月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有

Mm4π2G＝mT2(R＋H) R＋H2Mm又有GR2＝mg月

2223v0RT联立解得H＝8π2h－R，故C错误；

MMm4由ρ＝V，GR2＝mg月，V＝3πR3，

3v20得ρ＝8πGhR，D项正确．

答案：ABC 10．(2015·高考全国卷Ⅰ)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在

月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器(

) A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒

D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度

解析：由题述地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，Mm1由公式GR2＝mg，可得月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的6，即g月＝1.6 m/s2.由v2＝2g月h，解得此探测器在着陆瞬间的速度v＝3.6 m/s，选项A错误；由平衡条件可得悬停时受到的反冲作用力约为F＝mg月＝1.3×103×1.6 N＝2×103 N，选项B正确；从离开近月圆轨道到着陆这段时间，由于受到了反冲作用力，且反冲作用力对探测器做负功，探测器机械能减小，选v2MmMm项C错误；由GR2＝mR，GR2＝mg，解得v＝gR，由于地球半径和地球表面的重力加速度均大于月球，所以探测器在近月轨道上运行的线速度要小于人造卫星在近地轨道上运行的线速度，选项D正确．

答案：BD 三、非选择题

11．(2017·成都外国语学校月考)宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球由距星球表面高h(h远小于星球半径)处由静止释放，小钢球经过时间t落到星球表面，该星球为密度均匀的球体，引力常量为G. (1)求该星球表面的重力加速度；

(2)若该星球的半径为R，忽略星球的自转，求该星球的密度；

(3)若该星球的半径为R，有一颗卫星在距该星球表面高度为H处的圆轨道上绕该星球做匀速圆周运动，求该卫星的线速度大小．

12h解析：(1)由h＝2gt2，得g＝t2. (2)用M表示该星球质量，在星球表面对质量为m的物体有

MmGR2＝mg

42h又M＝3πR3ρ，g＝t2

3h解得ρ＝2πRGt2. (3)用m0表示卫星质量，由牛顿第二定律有

v2Mm0G＝m0

R＋H2R＋H解得v＝Rt2h. R＋H2h

R＋H2h3hR答案：(1)t2

(2)2πRGt2

(3)t12.(2015·高考安徽卷)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

(1)A星体所受合力大小FA；

(2)B星体所受合力大小FB；

(3)C星体的轨道半径RC；

(4)三星体做圆周运动的周期T. mAmB2m2解析：(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝Gr2＝Ga2＝FCA，方向如图所示，

则合力大小为

m2FA＝23Ga2. (2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为

mAmB2m2FAB＝Gr2＝Ga2，

mCmBm2FCB＝Gr2＝Ga2，方向如图所示．

m2由FBx＝FABcos 60°＋FCB＝2Ga2，

m2FBy＝FABsin 60°＝3Ga2，

可得FB＝2F2Bx＋FBy＝m27Ga2. (3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，

RC＝314a2＋2a2

1aFBxDB2(或：由对称性可知OB＝OC＝RC，cos∠OBD＝F＝OB＝R) BC7可得RC＝4a. (4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝

m22π7Ga2＝m(T)2RC

可得T＝π a3Gm. m2m27答案：(1)23Ga2

(2)7Ga2

(3)4a

(4)π

a3Gm