2.1.2 向量的几何表示优秀教案设计

2.1.2 向量的几何表示

1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点) 2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点) 3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)

[基础·初探] 教材整理1 向量及其几何表示

阅读教材P74～P75例1以上内容，完成下列问题. 1.向量与数量

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示

(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度. →→→(2)向量可以用有向线段表示.向量AB的大小，也就是向量

AB的长度(或称模)，记作|AB|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，→→例如，AB，CD.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量可以比较大小.(

) (2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量.(

) (3)某个角是一个向量.(

) (4)体积、面积和时间都不是向量.(

) 【解析】

因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确. 【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

教材整理2 向量的有关概念

阅读教材P75第十八行以下至P76例2以上内容，完成下列问题. 零向量

单位向量

长度为0的向量，记作0 长度等于1个单位的向量

方向相同或相反的非零向量

平行向量(共线向量)

向量a，b平行，记作a∥b 规定：零向量与任一向量平行

相等向量

长度相等且方向相同的向量

向量a与b相等，记作a＝b

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)单位向量都平行.(

) (2)零向量与任意向量都平行.(

) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

) →→(4)|AB|＝|BA|.(

) 【解析】

(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确. 【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

[小组合作型]

向量的有关概念

判断下列命题是否正确，请说明理由：

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；

(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；

(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反. 【精彩点拨】

解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素. 【自主解答】

(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量

不能比较大小. (2)不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系. (3)正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b. (4)不正确.依据规定：0与任意向量平行. (5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.

求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.

[再练一题] 1.给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

②向量的模一定是正数；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

→→④向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上. 其中正确命题的序号是________. 【解析】

①错误.由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系. ②错误.0的模|0|＝0. ③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的. →→④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求两个向量AB，CD必须在同一直线上. 【答案】

③

向量的表示及应用

某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. →→→(1)作出向量AB，BC，CD；

→(2)求AD的模. →【精彩点拨】

可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把AD放在→直角三角形中求得|AD|. →→→【自主解答】

(1)作出向量AB，BC，CD，如图所示：

(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝5＋22→＝55(米)，所以|AD|＝55米.

1.向量的两种表示方法：

(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点. (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性→→→质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB，CD，EF等. 2.两种向量表示方法的作用：

(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础. (2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.

[再练一题] 2.一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D.

→→→(1)作出向量AB，BC，CD；

→(2)求|AD|. 【解】

(1)如图所示.

→→→→(2)由题意知AB与CD方向相反，∴AB与CD共线，

→→∴在四边形ABCD中，AB∥CD.又∵|AB|＝|CD|，

∴四边形ABCD为平行四边形，

→→∴|AD|＝|BC|＝200(公里).