2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计内容推荐

开封二十五中

高一数学◆必修（4）◆第二章

平面向量导学案

§2.3平面向量的基本定理及坐标表示

编写人：______ 审核人： （一）学习目标

1.

掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量

2.

掌握两个向量的夹角的定义、两个向量垂直的定义

3.

掌握平面向量的正交分解，会把一个向量在平面直角坐标系中用坐标表示出来。

（二）重点难点

1．平面向量基本定理. 2.平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

（三）知识链接

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）

时λa与a方向相同；

时λa与a方向相反；λ=0时λa=

2．平面向量线性运算定律

结合律：

；分配律：

，

。

3．向量共线定理

：

（四）新课学习

知识点：

问题1给定平面内如图两个向量e1,e2,做出3e1+2e2、e1-2e2

问题2：给定平面内的任意向量a，是否都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式？

1.平面向量的基本定理：

。

其中：

不共线向量e1、e2叫做

_______________

。

问题：不共线向量有不同的方向，它们的位置关系可用

来表示

2．向量a、b的夹角定义：

oo当=0时，a，b

；当=90时，a，b

记做

；

o当=180时，a，b

。

1

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问题：如图力F的大小为4N,则F在x轴与y轴上的分力各是多少？什么叫力的正交分解？

问题3设与x轴和y轴的正方向同向的单位向量分别用向量i和j来表示.用i和j表示图中的向量.表示形式唯一吗？为什么？

3.平面向量的坐标的定义：

问题4：在平面直角坐标系中，与x轴和y轴的正方向同向的单位向量分别用向量i和j来表示, 如果以i、j作为基底,对于平面上的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知， 使得a=

我们把



叫做向量a的坐标，记作

。其中a在x轴上的坐标是

在y轴上的坐标是

。

思考：向量的坐标与表示它的有向线段的起点，终点的具体位置是否有关？相等向量的坐标有何关系？

例1、已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2

作法：1.

2.

例2、

如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d，

并求出它们的坐标。

解：

yA2

ba

AA1

2 cOxd

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（五）达标训练

A. e1,e2一定平行

B. e1,e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a

＝λe1+μe2

(λ、μ∈R) D.若e1,e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a

=λe1+ue2

(λ、u∈R) 2.已知向量a

＝e1-2e2，b＝2e1+e2，其中e1,e2不共线，则a+b与c

＝6e1-2e2的关系（

）

1.设e1,e2是同一平面内的两个向量，则有(

) A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1,e2是一组基底，且a

＝λ1e1+λ2e2，则a与e1

，a与e2

．(填共线或不共线). ABa5.已知a3,4,,且点标.

的坐标为3,4,求点的坐

6.如图，

中，E,F分别是BC,DC的中点，G为DE,BF的交点，若AB=a，AD=b，试以a，b为基底表示DE、BF、CG

7.已知e1,e2是一组基底，AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1-e2。若A,B,C三点共线，求k的值。

3

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8.若向量a=（2x-1，x2+3x-3）与AB=（1，1）相等，则x为（ ）

A 1 B1或4 C 0 D-4 9.O为平行四边形的中心，AB=4e1，BC=6e2,则3e2- 2e1等于（

）

A BO

B AO

C CO

D DO

（六）学习小结

1.平面向量基本定理

其实质在于：

2.两向量的夹角定义及范围： 4.

向量的坐标定义：

（七）拓展练习

1.设e1,e2是平面内一组基底，证明：当

λ1e1+λ2e2＝0

时，恒有λ1=λ2=0

2.如图，设ox，oy是平面内相交成60角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴和yo轴正方向同向的单位向量，若向量OPxe1+ye2，则把有序数对（x，y）叫做向量OP在坐标系xoy中的坐标。假设OP3e1+2e2

(1)计算OP的大小

（2）由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？

3.如图，已知OAa，OBb，任意点M关于点A的对称点为S,点S关于

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点B的对称点为N,用a，b表示向量MN

（八）学后反思

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