探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期名师教学设计1

正弦函数、余弦函数的性质(一) 【知识梳理】

1．函数的周期性

(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．

2．正弦、余弦函数的周期性

正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π. 3．正弦、余弦函数的奇偶性

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．

【常考题型】

题型一、函数的周期

【例1】

求下列三角函数的周期：

(1)y＝3sin x，x∈R；

(2)y＝cos 2x，x∈R；

1π(3)y＝sin3x－4，x∈R；

(4)y＝|cos x|，x∈R. [解]

(1)因为3sin(x＋2π)＝3sin x，由周期函数的定义知，y＝3sin x的周期为2π.

(2)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.

1π1πx＋6π－＝sinx＋2π－

(3)因为sin44331π＝sin3x－4，

1π由周期函数的定义知，y＝sin3x－4的周期为6π.

(4)y＝|cos x|的图像如图(实线部分)所示，

由图像可知，y＝|cos x|的周期为π.

【类题通法】

求函数最小正周期的常用方法

求三角函数的周期，一般有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或2πy＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝求得；(2)图像法，利用变换的方法或作出函数的|ω|图像，通过观察得到最小正周期．

【对点训练】

求下列函数的最小正周期：

πx(1)y＝3sin2＋3；(2)y＝cos|x|. 2π解：(1)由T＝＝4，可得函数的最小正周期为4. π2(2)由于函数y＝cos x为偶函数，

所以y＝cos|x|＝cos x，从而函数y＝cos|x|与y＝cos x的图像一样，因此最小正周期相同，为2π.

题型二、三角函数的奇偶性

【例2】

(1)函数f(x)＝2sin 2x的奇偶性为(

) A．奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

B．偶函数

D．非奇非偶函数

33π(2)判断函数f(x)＝sin4x＋2的奇偶性．

(1)[解析]

∵f(x)的定义域是R. 且f(－x)＝2sin 2(－x)＝－2sin 2x＝－f(x)，

∴函数为奇函数．

[答案]

A 33π3x＋＝－cosx，

(2)[解]

∵f(x)＝sin42433－x＝－cosx，

∴f(－x)＝－cos4433π∴函数f(x)＝sin4x＋2为偶函数．

【类题通法】

与三角函数奇偶性有关的结论

(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；

π(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；

2π(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；

2(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．

【对点训练】

若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于(

) A．0

πC.

2

πB.

4D．π

πx＋＝cos x，而y＝cos x是R上的偶函数，所以φ＝解析：选C

法一：由于y＝sin2π. 2π法二：因为y＝sin x的图像的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，所以函数y＝sin(x＋φ)的图像2π的对称轴应满足x＋φ＝＋kπ.又y＝sin(x＋φ)是偶函数，所以x＝0是函数图像的一条对称轴，2ππ所以φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝. 22题型三、三角函数的奇偶性与周期性的应用

ππ－17π的值．

【例3】

若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，求f362π[解]

∵f(x)的周期为，且为偶函数，

217ππππ－＝f－3π＋＝f－6×＋

∴f6266π＝f6. πππππ而f6＝f2－3＝f－3＝f3＝1，

17π－＝1. ∴f6【类题通法】

解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法

利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．

【对点训练】

9若f(x)是奇函数，且f(x＋1)＝－f(x)，当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，求f2的值．

解：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)．

∴f(x＋2)＝f(x)，即T＝2. 991∴f2＝f2－4＝f2. 又∵f(x)为奇函数，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，

1－1

∴f＝－f22－1＋1＝0，故f9＝0. ＝－2×22【练习反馈】

1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(

) A．奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

解析：选A

由于x∈R，

且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

π2．函数f(x)＝2sin2－x是(

) A．最小正周期为2π的奇函数

B．最小正周期为2π的偶函数

C．最小正周期为π的奇函数

D．最小正周期为π的偶函数

π解析：选B

由于f(x)＝2sin2－x＝2cos x，其最小正周期为2π，且为偶函数．

3．f(x)＝sin xcos x是________(填“奇”或“偶”)函数．

解析：x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，即f(x)是奇函数．

答案：奇

1－xπ4．函数y＝cos的最小正周期是________．

2ππ2π2－x＋，∴T＝＝2π×＝4. 解析：∵y＝cos22ππ2答案：4 5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当xπ5π－，0时，f(x)＝sin x，求f－的值．

∈23π－，0时，f(x)＝sin x，且最小正周期为π，

解：∵当x∈25ππππ－＝f－2π＝f＝－f－＝

∴f3333ππ3－＝sin＝. －sin332

B．偶函数

D．非奇非偶函数