3.2.2 （整数值）随机数（random numbers)的产生课时教学实录

教学设计方案

§3.2.1 古典概型

课题名称

姓名

史冉冉

工作单位

藁城区第一中学

普通高中课程标准实验教科书——数学必修3 [人民教育出版社教版] 年级学科

高二数学组

教材版本

一、教学内容分析

本节课是高中数学必修三第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型（由于它在概率论发展初期是主要的研究对象，许多概率的最初结果也是由它得到的，所以称它为古典概型），也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。

二、教学目标

【知识与技能】：(1)理解古典概型及其概率计算公式，

(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

【过程与方法】：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。【情感态度与价值观】：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。

三、学习者特征分析

1、学生已经了解了概率的意义，掌握了概率的基本性质。但学生并没有学习排列组合，计算概率仍有一定的困惑；

2、学生已经具备了一定的归纳、猜想能力

，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养；

3、

学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强。

四、教学过程

a)

提出问题，引入新课

b)

思考交流，形成概念

c)

观察类比，推导公式

d)

例题分析，推广应用

e)

探究思考，巩固深化

f)

总结概括，加深理解

g)

作业

（师）课上以复习回顾

引入本节课：

(1)概率的基本性质

概率的加法公式: 如果事件A与事

件B互斥，

则

P(A∪B)=_____________ 如果事件A与事件B互为对立事件，则

P(A)=_____________ (2)第一节中随机事件的概率是如何得到的？

如：掷一枚质地均匀的硬币，P(正面向上）= 1/2（生）根据以前的学习，上述概率是通过大量试验，用频率估计概率的。

（师）提出问题：那么从理论上如何计算概率呢？

今天我们就来学习最常见的一种概率求法------古典概型。

探究一

试验：

（1）掷一枚质地均匀的硬币的试验

（2）掷一枚质地均匀的骰子的试验

上述两个试验的所有结果分别有几个？是什么？

（生）在试验一中结果只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是互斥的。

在试验二中结果有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是互斥的。

（师）我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。

（师）分别观察两个实验所得到的基本事件，

（1）它们之间存在怎样的关系？

（2）随机事件“出现偶数点”是基本事件吗？

“出现大于等于2的点”是基本事件吗？你如何认识这些随机事件？

（生）基本事件有如下的两个特点：

（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

。例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来。利用树状图可以将它们之间的关系列出来。

我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举。

bacdbcdcd

（树状图）

解：所求的基本事件共有6个：

A{a,b}，B{a,c}，C{a,d}，

D{b,c}，E{b,d}，F{c,d}

变式：：“依次不放回抽取两个不同字母”呢？

解：所求的基本事件为：

A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，

F={c，d}，

G={b，a}，H={c，a}，I={d，a}，

J={c，b}，K={d，b}，L={d，c}，共12个

反思与感悟：罗列基本事件时，第一：要考虑元素间的排列有无顺序。第二：罗列时要按某种规律去列，做到不重不漏。

观察对比，发现两个模拟试验和例1的共同特点：

试验一中所有可能出现的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是1；

21；

6试验二中所有可能出现的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是例1中所有可能出现的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是1；

6经概括总结后得到：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

思考交流：

向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？

答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。

问题思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？

分析：

实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即

P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）

由概率的加法公式，得

P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1 因此

P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝即1

2

试验二中，出现各个点的概率相等，即

1“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数P（“出现正面朝上”)＝＝2基本事件的总数P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）

＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）

反复利用概率的加法公式，我们有

P（“1点”）＋P（“2点”）＋P（“3点”）＋P（“4点”）＋P（“5点”）＋P（“6点”）＝P（必然事件）＝1 所以P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）

＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）＝1

611131＋＋＝＝

66662进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，

P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4点”）＋P（“6点”）＝即3“出现偶数点”所包含的基本事件的个数

P（“出现偶数点”）＝＝6基本事件的总数

根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

P（A）＝A所包含的基本事件的个数基本事件的总数

提问：

（1）在例1的实验中，出现字母“d”的概率是多少？

出现字母“d”的概率为：

“出现字母d”所包含的基本事件的个数31

P（“出现字母d”)＝＝＝基本事件的总数62

提问：

（2）在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么? 归纳：

在使用古典概型的概率公式时，应该注意：

（1）要判断该概率模型是不是古典概型；

（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

除了画树状图，还有什么方法求基本事件的个数呢？

例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考差的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？

分析：

解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型。

解：

这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的。从而由古典概型的概率计算公式得：

“答对”所包含的基本事件的个数1P（“答对”）＝＝＝0.25课后思考：

基本事件的总数4(1)在标准化考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？

(2)假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定知识的可能性大？

例3 同时掷两个骰子，计算：

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是5的概率是多少？

解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果（如表），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。（可由列表法得到）

1号骰子2号骰子1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）123456

由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种。

（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为：

（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）

（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得

P（A）＝A所包含的基本事件的个数41＝＝基本事件的总数369

问题思考：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？

如果不标上记号，类似于（1，2）和（2，1）的结果将没有区别。这时，所有可能的结果将是：

（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21种，和是5的结果有2个，它们是（1，4）（2，3），所求的概率为P（A）＝A所包含的基本事件的个数2

＝基本事件的总数21这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的要求了。

可以通过展示两个不同的骰子所抛掷出来的点，感受第二种方法构造的基本事件不是

等可能事件，另外还可以利用Excel展示第二种方法中构造的21个基本事件不是等可能事件。从而加深印象，巩固知识。

1．我们将具有

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

2．古典概型计算任何事件的概率计算公式

P（A）＝A所包含的基本事件的个数

基本事件的总数3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表），应做到不重不漏。

（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？

答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。

五、教学策略选择与信息技术融合的设计（针对学习流程，设计教与学方式的变革，配置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合点）

教师活动

预设学生活动

我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举。

例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

变式：：“依次不放回抽取两个不同字母”呢？

设计意图

将数形结合和分类讨论的思想渗透到具体问题中来。由于没有学习排列组合，因此用bc列举法列举基本cdacbd事件的个数，不仅d

能让学生直观的（树状图）

感受到对象的总解：所求的基本事件共有6个：

数，而且还能使学生在列举的时候A{a,b}B{a,c}，C{a,d}，

作到不重不漏。解决了求古典概型D{b,c}E{b,d}，F{c,d}

中基本事件总数这一难点。

例2同时掷两个骰子，计算：

先给出问题，再让学生完成，然后利用列表数形结

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

（3）向上的点数之和是5的概率是多少？

引导学生分析问题，发现解答中存在的问题。

引导学生用列表来列举试验中的基本事件的总数。

合和分类讨论，既能形象直观地列出基本事件的总数，又能做到列举的不重不漏。深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解，和用列举法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率。

培养学生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

巩固练习：

某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率. 如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？

答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。

学生独立完成交流解决

加深概念的理解与公式的运用

进一步让学生掌握古典概型及其概率公式，并学生课后自主完成。

能够学以致用，加

深对本节课的理解。

六、教学评价设计

本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标。

古典概性的教学应该让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。让学生初步会把一些实际问题化为古典概型。教学中不把重点放在“如何计算”上，应着重于概念的理解和从简单的试验推出公式的计算过程。让学生理解古典概型的定义及概率的计算公式。

例1的目的是训练学生用列举法表示一个随机试验的全部基本事件。

例2中，讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型是此题的关键。

例3的目的试通过此题的教学要使学生体会到，使用公式计算时要验证第二个条件，否则计算是错误的。

限于学校目前条件，如果结合多媒体课件教学效果更好！

七、教学板书

§3.2.1

古典概型

1.

基本事件的含义

例一

试验一

2.

古典概型的概念

3.

古典概型概率公式

例二

试验二

注意：

例三

八、教学反思

学生是学习的主体，他们的学习一定要亲身经历才会印象深刻，在学习的过程中，我会尽可能地创设情境，让学生去感受、去体会知识的形成过程，从而使学生很好地进行知识建构。本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，再由问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；最后通过学生观察比较，由特殊到一般推导出古典概型的概率计算公式，这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

教学过程设计以“问题串”的方式呈现为主，教学过程中强调基于问题解决的设计，在教师的引导下，让学生通过讨论、归纳、探究等方式自主获取知识，从而达到满意得教学效果。构建利于学生学习的有效教学情境，较好地拓展师生的活动空间，丰富教学手段，符号新课程的理念。