6.圆的面积公式及简单应用课时教案

《圆的面积》教学预案

南通市经济技术开发区实验小学周明新

教学内容:苏教版课程标准实验教科书五年级(下册)第103~105页。

教学目标:

1.让学生经历猜想、操作、验证、讨论和归纳等数学活动的过程,探索并掌握圆的面积公式,能正确计算圆的面积,并能应用公式解决简单的相关问题。

2.借助信息技术让学生经历圆的面积公式的推导过程,进一步体会“转化”的数学思想,增强空间观念,发展数学思考。

3.感悟数学知识内在联系的逻辑之美,体验发现新知识的快乐,增强学生的合作交流意识和能力,提高学生学习数学的兴趣,培养学生信息技能和素养。教学重点:正确掌握圆面积的计算公式。

教学难点:圆面积计算公式的推导过程。

教学准备:

教具:多媒体课件,圆片若干。

学具:计算器;圆片、剪刀;文具盒;学习纸。

教学过程:

课前谈话

师:(课件:停止界面音乐,进入空白页面)唐老师在给自己的学生上课时,经常会在课前来一段热身,讲个小故事。我们班同学说这是“小故事,大道理”,今天咱们也来试一试。(课件:曹冲称象画面)《曹冲称象》的故事,你们都知道吧?

生:知道。

师:石头的重量和大象的重量有什么关系呢?

生:石头的重量和大象的重量相等。

师:你说的这点很关键,这样称出石头的重量也就是大象的重量。那曹冲为什么不直接称大象呢?

生:因为大象太重,不能直接称出大象的重量。

师:所以曹冲就把大象的重量转化成石头的重量。(板书:转化)小小的故事讲完了,同学们,准备好上课了吗?(课件:空白页)

一、回忆旧知,揭示课题。

1.师:(课件:出示圆)前些日子我们已经认识了圆,还研究了圆的周长(指一指周长),关于圆,你还想研究什么呢?

2.师:(板书:圆的面积)哦,圆的大小就是圆的面积。

二、探究圆面积与半径的关系。

(一)猜想

1.师:(课件:出示涂色)有的圆面积大一些,有的圆面积小一些,你认为圆的

面积与什么有关?

2.师:圆的面积与半径到底有什么样的关系呢?为了便于研究,老师请来了我们熟悉的正方形。(课件:正方形)

3.师:我们以正方形的一个顶点为圆心,以正方形的一条边为半径画一个圆。(课件:闪烁、声音,画黄色填充圆)同学们,大胆的猜一猜,圆面积大约是正方形面积的几倍?

生:不到4倍。

师:你是怎么想的?

师:你说的是这个意思吗?(课件:正方形内接圆)从这幅图中我们可以看出,圆的面积比正方形面积的4倍少。(板书:4倍少一些)这位同学不仅会猜测,而且能讲出其中的道理,了不起!还有不同的猜测吗?

生:比3倍多。

师:好的!(板书:3倍多一些)同学们对圆面积的范围做了估计,我们的估计准确吗?

(二)数方格

1.师:我们通过数方格的方法来作一个初步的验证。(课件:圆整个覆盖方格纸,标1cm)

师:这里的每一个小格表示1平方厘米,(课件:变色显示8个接近整格的格子)像这些非常非常接近一格的,我们就把它们看成一格,其余不满一格的就看做半格。

师:哇,这么多格子呀!都要数出来吗?有没有简单点的办法?

生:可以先数四分之一圆的方格数。

师:怎么样?金点子!(课件:变色显示四分之一圆被方格盖住)

2.师:那我们就来数一数。先数?(课件:标1—10)还有几个半格?

那这四分之一圆的面积是多少格?也就是12.5平方厘米!(课件:1/4圆的面积≈12.5平方厘米)同学们,能算出整个圆的面积吗?多少?一起说!(课件:圆的面积≈50平方厘米)

正方形的面积是多少?(课件:正方形的面积=16平方厘米)这里正方形的边长就是圆的?所以,正方形的面积也就是?(板书:r2(r×r))

接下来你能算出圆的面积是正方形面积的多少倍吗?怎么算?

拿出计算器算一算,结果保留一位小数。大约是?(课件:算式)下面让我们把刚才的研究成果填写在下表中。(课件:表格,倍数红色)

3.师:同学们,你会按这样的方法数出下面两个圆的面积吗?(课件:两个圆)拿出你们的作业纸,先数一数,再把你们的研究填在表格中。(8分钟)

生操作,师巡视。(10分钟)

看来同学们都数好了。第一个半径3厘米的圆,谁来说说?(课件:填表,

倍数红色)结论一样吗?半径5厘米的圆谁来说?(课件:表格,倍数红色)都一样的吗同学们?

4.师:仔细观察这样的表格,看看你有什么发现?

生:边长等于半径。

生:都是3倍多一点。

师:是呀!这些圆的半径虽然不一样,但我们发现,圆的面积都是与它对应正方形面积的3倍多一点。看来,这个猜测准确一点。(板书:3倍多下划线)但是这3倍多一些到底又多多少呢?(板书:?倍)有的同学研究的结果是3.1,有的同学研究的结果是3.3。看来要想得到更精确的结果,我们要换一换思路了!

三、探究面积计算公式。

(一)第一次剪,明确思路,体会转化。

1.师:以前我们研究一个新图形的面积时,用到过什么好的方法?

生1:可以把新图形转化成已学过的图形,比如平行四边形可以通过剪拼转化成长方形求出面积。(课件:演示推导过程)

生2:两个完全一样的三角形通过旋转、平移拼成平行四边形,三角形的面积是平行四边面积的一半。(课件:演示推导过程)

师:用同样的办法,还可以推导出梯形的面积。

你有没有发现这些方法都有一个共同点?

生:都是将没有学过的图形转化成了已学过的图形。

2.师:那圆是不是也能转化成学过的图形呢?怎么转化呢?

生:剪一剪。

师:嗯,沿着什么剪?

生:沿着半径或直径剪。

师:那我们试试看,好吗?

师:老师先将圆,平均分成两份。(课件剪)现在你能把它拼成什么学过的平面图形吗?

师:那怎么办?

3.师:好的!(课件剪)现在我们一起来试一试。(课件拼)第2个怎么放呢?

师:这个图形好像有点意思。像什么?

生:平行四边形;像平行四边形;接近于平行四边形。

师:我发现我班的同学说话一个比一个准确,真了不起!像平行四边形吗?它就是平行四边形吗?

生:不是。

师:不是平行四边形,但是已经有点轮廓了。看来这思路不错!怎么样才能更像平行四边形呢?

生:再剪。

师:怎么剪?(平均分成8份)

4.师:一起来看!(课件出示)和刚才第一幅图相比有什么变化呢?

生:更像一个平行四边形。

(二)第二次剪,明确方法,体验极限。

1.师:刚才我们将圆片分别剪成4等份、8等份再拼成新的图形是想干什么呀?

生:想把圆形转化成平行四边形。

师:那还能更像吗?比它们还像。

生:可以继续分剪成16等份。

师:大家想不想照着这种方法试一试?好,拿出课前已经剪成16等份的圆,大家试着去拼一拼。(20分钟)

生操作,师巡视。(22分钟)

2.师:看来同学们都拼好了,我们来看一看。(课件出示)

师:和前两次拼成的图形比,又有什么变化?

生:更像平行四边形了。

师:从哪儿可以看的出来更接近平行四边形了?

生:边更直了。

师:化曲为直!那是什么方法使得边越来越直了?

生:分的份数越来越多。

师:如果还要更接近呢?怎么办?

生:可以继续分下去,分成32份。

师:再接近呢?

生:把圆平均分成64份,128份……

师:现在如果老师就让同学们拿出一个圆剪成128份,再拼一拼,有什么感觉?

3.师:很麻烦,是吗?没关系!我们有电脑,我们有白板,我们有信息技术, (课件:先32等分然后变成长方形)请看屏幕。

师:如果平均分成32份,拼成的图形有什么新的发现?

生3:有点像平行四边形又有点像长方形。

师:你很会思考。有了新的感觉是不是?如果平均分成64份呢?(课件:先64等分然后变化)

生3:更接近长方形。

师:如果平均分成128份,那拼成的图形会怎么样呢?(课件:先128份,停顿,然后变化)

我们将圆片平均分成的份数越来越多,所拼成的图形也就越来越?

生:越来越接近长方形。

4.师:如果平均分的份数足够多,那么拼成的图形?(课件:128份圆、箭头、长方形)我们把圆转化成了长方形,形状是变了,什么没有变?求圆的面积转化成求?换句话说,咱们求出了长方形的面积也就求出了什么?

(三)第三次探究,深化思维,推导公式。

1.师:现在请同学们仔细观察这转化后的长方形,和原来的圆有什么联系?小组里互相说一说。(27分钟学生开始回答)

生1:面积相等。

生2:长方形的宽等于圆的半径。(课件:声音,闪烁)

生3:长等于圆周长的一半。(课件:声音,闪烁)

师:那长方形的长和圆有什么关系?(如果学生说不出来,就在课件上标出C/2、πr)

师:真是一群善于观察的好孩子!谁能把这些联系完整的说一遍。

师:说的怎么样?我觉得此处应该有掌声!

师:长方形的宽就是圆的半径,用字母r表示,那长怎么表示呢?你是怎么想的?(课件:声音;出示r、πr)

2.师:长方形的长和宽都有了,你能求出长方形的面积吗?

师:(课件:推导公式)我们以前计算长方形的面积是用?现在长就是?宽就是?所以就用πr去乘r。也就是πr2?这里长方形的面积也就是今天研究的?这说明圆的面积就是πr2。如果我们用s表示圆的面积,(板书:公式)大声告诉我, s等于?这里的π是?r是?同学们,回过头来看一看。现在你知道圆的面积到底是他半径平方的多少倍?真理终于浮出了水面。(板书:π)原来圆的面积就是他半径平方的π倍。

3.师:刚才通过我们的共同研究,终于推导出了圆的面积计算公式,更重要的是,同学们学会了把圆这个新图形转化成了一个?大家以后遇到新问题的时候,都可以用转化这种方法尝试一下。(指一指板书)

(四)课堂小结。

1.师:接下来让我们一起来回顾一下刚才的研究过程。

我们先通过猜一猜,发现圆的面积是它半径平方的4倍少一些,3倍多一些。(课件:猜一猜)

接着我们通过数一数,知道了圆的面积是半径平方的3倍多一点。(课件:数一数)

然后我们又通过剪一剪、拼一拼,将圆形转化成了长方形。(课件:拼一拼)

最后我们又通过算一算,成功的推导出了圆的面积计算公式s=πr2。(课件:算一算)

2.师:同学们,你说现在要求圆的面积只要知道什么条件?

如果一个圆的半径是3厘米,你能算出它的面积是多少?怎么求?一起说。

这种含有平方的计算,我们还是第一次遇到,是不是?知道先算什么吗?四、解决问题。

1.师:在我们的生活中有许多数学问题与圆的面积有关,瞧!(课件:例9练习)仔细读题,你能获得哪些信息?

想像一下这个喷水龙头所喷出的水会形成一个什么图形?圆心在哪里?半径是多少?你能求出它面积吗?算一算。

2.师:知道圆的半径可以求出圆的面积,那么,知道直径和周长能不能求出圆的面积呢?在今后的学习中,老师还会与同学们作进一步的研究。

五、拓展延伸。

1.师:刚刚我们学习的这一过程,我国古代数学家早就进行过深入的研究,(课件:卷轴)

2.师:数学家的这些思想、方法和执着的探索精神,让我们深受启发!那圆还能不能转化成其他图形推导出面积公式呢?有兴趣的同学可以课后去剪一剪,拼一拼,想一想,算一算,相信你一定有更大的收获!

这节课就上到这儿,好吗?下课!

【资料链接】在半径为R的圆中,当内接正多边形的边数不断地成倍增加时,正多边形的面积就越来越接近于圆的面积。

当正n边形的边数不断地成倍增加时;正n边形的面积n越来越接近于圆的面积;同时,正n边形的周长p也越来越接近于圆的周长2πR;r也越来越接近于圆的半径R。因此,圆的面积S=(1/2)pR=(1/2)×2

πR×R=πR2。