构建知识体系教学设计

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二次根式

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目. 2、理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简. 【重点难点】

1、二次根式的性质. 2、能确定二次根式中字母的取值范围.

知识概览图

二次根式的有关概念

二次根式：一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式

代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式

①被开方数a非负，即a≥0

②a本身非负，即a≥0

二次根式的双重非负性

二次根式二次根式的性质

2

(a)a(a≥0)

2（）=a（a≥0）

a二次根式的有关公式

a(a＞0)

a2a0(a0)

a(a＜0)(a)2a2(a≥0)

教材精华

知识点1

二次根式的概念

一般地，我们把形如错误！未找到引用源。(a≥0)的式子叫做二次根式．其中“”读作“二次根号”．

”．如3，16等都有“”，虽然

拓展

(1)二次根式必须含有二次根号“16=4，但是4是二次根式16的计算结果，因此16，121，1.44，9等4

也都是二次根式.

(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证错误！未找到引用源。有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．

(3)“”的根指数为2，即“2”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当做0．

(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘。

知识点2

确定二次根式中字母的取值范围

要使错误！未找到引用源。有意义，被开方数a就必须是非负数，即由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如2x1，只有当2x+112时，二次根式2x1才有意义. 再如，对于式子3xx1来说，只有当3x0,即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.

x10,拓展

对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零. 知识点3

二次根式的性质

二次根式的双重非负性: a≥0，a≥0，因为a（a≥0）表示非负数算术平方根，所以由算术平方根的定义可知a≥0 （a)2=a（a≥0）. 由于a（a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，

拓展

（1）（a)2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数. （2）把（a)2=a（a≥0）逆用，写成a=（a)2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，

a≥0，0，即x≥a的≥

（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用.

知识点4

a2的化简

a(a0),a2=a0(a0),

a(a0).知识点5

代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式.

课堂检测

基本概念题

1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

（1）3；

（2）(3)2；

（3）(3)3；

（4）37；

（5）x；

（6）44；

（7）2a21；

（8）1；

2(x3)（9）(a4)2；

（10）m22m1.

基础知识应用题

2、当x取何值时，下列各式有意义？

（1）3xx；

（2）2x（3）(x1)2；

（4）x；

x21；

23x（5）2x4x3；

（6）2；

x2x32a12x；

（8）2a

a1x1（7）3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1所示，化简a2b2(ab)2.

综合应用题

4、（1）三角形的高是底的cm2; （2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是

1，底为xcm，则这个三角形的面积是

2图21-1 （设第一个圆的半径为体验中考

1、若代数式A. x＞1C. x≠2

2、若x，

r）x1x2有意义，则x≠2

y为实数，且.

x的取值范围是（

x2y3

）

B.

x≥1

D.

x≥1且x≠20，则（x＋y）2010的值为

. 且

