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小专题(二)

巧用勾股定理解决折叠与展开问题

word版习题

类型1

利用勾股定理解决平面图形的折叠问题

1．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．

2．长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，求AB的长．

3．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标．

4．有一长方形纸片ABCD，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF. (1)求证：△DEF是等腰三角形；

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(2)若AD＝3，AB＝9，求BE的长．

5．有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm.

(1)如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD＝________cm；

(2)如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M，N分别在AC，BC上，则AM2，BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

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类型2

利用勾股定理解决立体图形的展开问题

6．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是(

)

A．6 cm

B．12 cm

C．13 cm

D．16 cm

7．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是____________m(精确到0.01 m)．

8．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm. (1)点A1到点C2之间的距离是多少？

(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？

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9．如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯外离杯底4 cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4 cm的点A处．

(1)求蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离；

(2)若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4 cm的点C处，其余条件不变，请你求出此时蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离．

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参考答案

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1．∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3.由图形折叠的性质，知C′F＝CF＝BC－BF＝9－BF.在Rt△C′BF中，BF2＋BC′2＝C′F2，∴BF2＋9＝(9－BF)2.解得BF＝4. 2．∵四边形ABCD是长方形，AD＝8，∴BC＝8.∵△AEF是由△AEB翻折而成，∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形．∴CE＝BC－BE＝8－3＝5.在Rt△CEF中，CF＝CE2－EF2＝52－32＝4.设AB＝x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即(x＋4)2＝x2＋82.解得x＝6.∴AB＝6. 3．依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，在Rt△ABE中，AE＝OA＝5，AB＝4.∴BE＝3，从而CE＝52.∴E点坐标为(2，4)．在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.又∵DE＝OD，∴(4－OD)2＋22＝OD2.解得OD＝.∴D点25坐标为(0，)．

24．(1)证明：由折叠的性质，得∠DEF＝∠BEF.∵AB∥DC，∴∠BEF＝∠DFE.∴∠DEF＝∠DFE.∴DE＝DF，即△DEF是等腰三角形．

(2)由折叠的性质，得ED＝EB.设BE＝x，则DE＝x，AE＝AB－x＝9－x.在Rt△ADE中，AD＝3，AD2＋AE2＝DE2.∴32＋(9－x)2＝x2.解得x＝5.∴BE＝5. 5．AM2＋BN2＝MN2.证明：过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接NP，∴∠A＝∠PBH，∠PBN＋∠C＝∠A＝∠PBH，180°，即∠PBN＝90°.∵H是AB的中点，∴AH＝BH.在△AMH和△BPH中，AH＝BH，∴△AMH≌∠AHM＝∠BHP，△BPH(ASA)．∴AM＝BP，MH＝PH.又∵NH⊥MP，∴MN＝NP.又∵在Rt△BNP中，BP2＋BN2＝NP2.∴AM2＋BN2＝MN2. 6．C

7.2.60 8．(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm，∴A2C2＝42＋12＝17(cm)．∴A1C2＝52＋（17）2＝42(cm)．

(2)如图1所示，A2C1＝52＋52＝52(cm)．如图2所示，A2C1＝92＋12＝82(cm)．如图3所示，A2C1＝62＋42＝213(cm)．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是52cm.

9．(1)如图，

由题意可，得CD＝9 cm，AD＝12－4－4＝4(cm)，∴AC＝AD2＋CD2＝97(cm)．答：蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离为97cm. (2)如图，

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1将杯子侧面展开，作A关于EQ的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，则A′D＝×18＝9(cm)，CQ＝122－4＝8(cm)，CD＝4＋8＝12(cm)．在Rt△A′DC中，由勾股定理，得A′C＝A′D2＋CD2＝92＋122＝15(cm)．答：蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离为15 cm.

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