2. 万有引力定律教学创新设计

学案2

万有引力定律

[目标定位] 1.了解万有引力定律得出的思维过程，知道地球上物体下落与天体运动的统一性.2.理解万有引力定律的含义，知道万有引力定律的普遍性，会用万有引力定律解决相关问题.3.了解引力常量G.

一、万有引力定律

[问题设计]

1.若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星运行周期为T.则行星需要的向心力的大小如何表示？

4π2mr答案

行星需要的向心力F＝2. Tr32.由开普勒第三定律2＝k(常量)知太阳系中行星的公转周期随半径的变化而变化，故可把FT4π2mr＝2中的周期T用r替换掉，请你试一试能得出怎样的结论？

Tr34π2mrmm答案

由开普勒第三定律2＝k和F＝2消去T得F＝4π2k2，即F∝2. TTrr3.根据牛顿第三定律，行星对太阳的力与太阳对行星的力是一对相互作用的性质相同的力，据此推知行星对太阳(受力物体)的力F′有怎样的关系？

M答案

行星对太阳的力F′应该与太阳的质量M成正比，即F′∝2. r4.由上述2、3结论，结合F＝F′可猜测太阳与行星间的引力满足什么关系式？

mM答案

太阳对行星的力为F∝2，行星对太阳的力F′∝2，若这两个力相等，则会有F＝rrMmF′∝2. r[要点提炼]

1.内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比. m1m22.万有引力定律的表达式：F＝G2. r3.公式的适用条件

(1)两个质点间. (2)两个质量分布均匀的球体间，其中r为两个球心间的距离. (3)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间，r为球心到质点的距离. 4.引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2

(1)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力. (2)引力常量测定的意义

卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，得到了G的数值，验证了万有引力定律的正确性.引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值. 5.万有引力的特性

(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何两个有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间). (2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律. (3)宏观性：天体间万有引力很大，它是支配天体运动的原因.地面物体间、微观粒子间的万有引力很小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计.

二、万有引力和重力的关系

1.万有引力和重力的关系：如图1所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，Mm则物体受到地球的吸引力为F，F＝G2，方向指向地心O.引力F可分解为F1、F2两个分力，R其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力F向，F2就是物体的重力mg.

图1 GMm2.近似关系：如果忽略地球自转，则万有引力和重力的关系：mg＝2，g为地球表面的重R力加速度. Mm3.重力与高度的关系：若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地R＋h2面h高度处的重力加速度).所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小.

一、对万有引力定律的理解

m1m2例1

对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G2，下列说法r正确的是(

) A.公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的

B.当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大

C.m1和m2所受引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关

D.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力

解析

引力常量G的值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的扭秤实验测定出来的，而不是像牛顿第二定律表达式中的k那样是人为规定的，所以选项A正确.当两物体间的距离r趋近于零时，物体就不能再视为质点，万有引力定律就不再适用，所以不能得出此时万有引力趋于无穷大的结论，选项B错误.两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误. 答案

AC 例2

如图2所示，操场两边放着半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2的篮球和足球，二者的间距为r.则两球间的万有引力大小为(

)

图2 Gm1m2A.2

rm1m2C.G

r1＋r22Gm1m2B.2

r1D.Gm1m2

r1＋r＋r22m1m2解析

万有引力定律的数学表达式为F＝G2.此定律的适用条件是：质量为m1和m2的两r个物体必须是质点，或者是可视为质点的两个物体.因此，公式中的r为两个质点间的距离.操场两边的篮球和足球是两个规则球体，这两球间的距离为两球心间的距离，即为r1＋r＋r2，所以两球间的万有引力大小为F＝G答案

D 二、万有引力定律的应用

例3

一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的(

) A.0.25倍

B.0.5倍

C.2倍

D.4倍

m1m2，故选D. r1＋r＋r22

GM地m解析

根据万有引力定律得：宇航员在地球上所受的万有引力F1＝2，在该星球上受到R地2GM星mF2M星R地12的万有引力F2＝2，所以＝＝×2＝2，故C正确. F1M地R22R星星答案

C 三、万有引力和重力的关系

例4

在离地面高度等于地球半径的高度处，重力加速度的大小是地球表面重力加速度大小的(

) 11A.2倍

B.1倍

C.倍

D.倍

24Rg′R211解析

由“平方反比”规律知，g∝2，故＝R＋h2＝r2R＝4. g地答案

D

内容万有引力定律表达式：F＝Gmmr普遍性万有引力定律万有引力的特性相互性宏观性引力常量首测者：英国物理学家卡文迪许大小：G＝6.67×10 N·m/kg

122万有引力定律的推导

－1122

1.(万有引力定律的发现)在牛顿发现太阳与行星间引力的过程中，得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，这是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是(

) A.研究对象的选取

C.类比

答案

C m解析

求太阳对行星的引力F时，行星是受力物体，有F∝2(m是行星的质量)，求行星对太rB.理想化过程

D.等效

M阳的作用力F′时，太阳是受力物体，类比可得F′∝2(M是太阳的质量)，故C正确. r2.(对万有引力定律的理解)如图3所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是(

)

图3 GMmA.地球对一颗卫星的引力大小为

r－R2GMmB.一颗卫星对地球的引力大小为2

rGm2C.两颗卫星之间的引力大小为2

3r3GMmD.三颗卫星对地球引力的合力大小为2

r答案

BC GMm解析

地球对一颗卫星的引力等于一颗卫星对地球的引力，由万有引力定律得其大小为2，rGm2故A错误，B正确；任意两颗卫星之间的距离L＝3r，则两颗卫星之间的引力大小为2，3rC正确；三颗卫星对地球的引力大小相等且三个引力互成120°角，其合力为0，故D错误. 3.(万有引力与重力的关系)假设某星球和地球都是球体，该星球的质量是地球质量的2倍，该星球的半径是地球半径的3倍，那么该星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为(

) 22A.

B.18

C.

D.6 93答案

A GMmGM解析

根据mg＝2，可得g＝2，然后根据两星球的质量和半径关系可得两星球的表面RR重力加速度之比为2∶9，A正确. 4.(万有引力定律的应用)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处.(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小；

R星1M星(2)已知该星球的半径与地球半径之比为＝，求该星球的质量与地球质量之比. R地4M地答案

(1)2 m/s2

(2)1∶80 解析

(1)在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，根据运2v0动学公式有t＝.同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t小球g2v0落回原处，则5t＝

g′1根据以上两式，解得g′＝g＝2 m/s2

5(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即

GMmgR2mg＝2，所以M＝

RGM星g星R2星111由此可得，＝·2＝×2＝. M地g地R地5480

题组一

对万有引力及万有引力定律的理解

1.关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是(

) A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力

Gm1m2B.只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝2计算

rGm1m2C.由F＝2知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大

rD.G的数值是为了方便而人为规定的

答案

C 解析

任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量分布均匀的球体Gm1m2间的万有引力也能用F＝2来计算，B错；物体间的万有引力与它们之间的距离r的二r次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许利用扭秤实验精确测出的，D错. m1m22.对于万有引力定律的表达式F＝G2，下列说法中正确的是(

) rA.公式中的G为比例常数，无单位

B.m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等，方向相反，是一对作用力和反作用力

C.当r趋近于0时，F趋向无穷大

D.当r趋近于0时，公式不成立

答案

BD 解析

万有引力公式中的G为引力常量，不但有大小而且有单位，单位是N·m2/kg2，故A错误；m1与m2之间的万有引力是一对作用力和反作用力，B正确；当r趋近于0时，无论是球体还是其他形状的两个物体，都不能看成质点，故公式不成立，C错误，D正确. 3.关于引力常量G，下列说法中正确的是(

) A.G值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值

B.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的二次方成正比

C.引力常量G在数值上等于两个质量都是1 kg的可视为质点的物体相距1 m时的相互吸引力

D.引力常量G是不变的，其大小与单位制的选择无关

答案

AC 解析

引力常量G是一个普遍适用的常量，其物理意义是两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的万有引力为6.67×10－11 N，它的大小与所选的单位制有关. 4.关于万有引力，下列说法中正确的是(

) A.万有引力只有在研究天体与天体之间的作用时才有价值

B.由于一个苹果的质量很小，所以地球对它的万有引力几乎可以忽略

C.地球对人造卫星的万有引力远大于人造卫星对地球的万有引力

D.地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近的

答案

D 解析

由万有引力定律知D对；万有引力定律不但在研究天体之间的作用时有价值，在天体与物体间也有价值，如重力，故A、B错；由牛顿第三定律知C错. 题组二

万有引力定律的应用

5.某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到匀质球对它的万有引力大小为(

) MmA.G2

RMmC.G2

h答案

B 解析

万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h. 6.两辆质量均为1×105 kg的装甲车(看做质点)相距1 m时，它们之间的万有引力相当于(

) A.一个人的重力量级

B.一个鸡蛋的重力量级

C.一个西瓜的重力量级

MmB.G

R＋h2MmD.G22

R＋h

D.一头牛的重力量级

答案

B m1m2解析

由F＝G2得F＝0.667 N，相当于一个鸡蛋的重力量级. r7.两个相距为r的小物体，它们之间的万有引力为F.保持质量不变，将它们间的距离增大到3r.那么它们之间万有引力的大小将变为(

) FFA.F

B.3F

C.

D.

39答案

D Mm解析

甲、乙两物体相距r，它们之间的万有引力为F＝G2；若保持它们各自的质量不变，rGMmF将它们之间的距离增大到3r，则甲、乙两物体间的万有引力F′＝＝. 3r298.地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为(

) A.1∶9

B.9∶1

C.1∶10

D.10∶1 答案

C 解析

设月球质量为m，则地球质量为81m，地月间距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器r－r′mm081mm0距月球为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G2＝G所以＝2，r′r－r′r′9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C正确. 9.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的1质点.现从M中挖去半径为R的球体，如图1所示，则剩余部分对m的万有引力F为(

) 2

图1 7GMmA.

36R2GMmC.

18R2答案

A 解析

质量为M的球体对质点m的万有引力

MmMmF1＝G

2＝G4R22R7GMmB.

8R27GMmD.

32R2

4R3π32M挖去的球体的质量M′＝M＝

438πR3质量为M′的球体对质点m的万有引力

M′mMmF2＝G＝G

R218R2R＋2则剩余部分对质点m的万有引力

MmMm7GMmF＝F1－F2＝G2－G＝.故选项A正确. 4R18R236R2题组三

万有引力和重力的关系

10.设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而g产生的加速度为g，则为(

) g0111A.1

B.

C.

D.

9416答案

D 解析

地球表面的重力加速度和在离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，忽略地球自转，所以有

mM在地面上，G2＝mg0，①

RmM离地心4R处，G＝mg，②

4R2R21g由①②两式得＝＝. g04R1611.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d(矿井宽度很小).已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(

) dA.1－

RC.R－d2R

dB.1＋

RRD.R－d2

答案

A 解析

设地球的密度为ρ，地球的质量为M，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速GM4度g＝2.地球质量可表示为M＝πR3ρ.因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所R3R－d34以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝π(R－d)3ρ，解得M′＝3RM，则矿井底部处的重力加速度g′＝GM′，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之R－d2

g′d比为＝1－，选项A正确，B、C、D错误. gR12.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N.由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为(

) A.0.5

B.2

C.3.2

D.4 答案

B Mmm0gM0r2解析

若地球质量为M0，则“宜居”行星质量为M＝6.4M0，由mg＝G2得＝·2＝rm0g′Mr0600r，所以＝960r0600 M＝

960 M0600×6.4 M0＝2，选项B正确. 960 M0113.火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的.一位宇航员连同宇航服在地球9上的质量为

50 kg.求：

(1)在火星上宇航员所受的重力为多少？

(2)宇航员在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？(取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2) 答案

(1)222.2 N

(2)3.375 m MmGM解析

(1)忽略自转由mg＝G2，得g＝2. RR1G·M9GM4GM在地球上有g＝2，在火星上有g′＝＝2，

R1R29R240所以g′＝

m/s2，

9那么宇航员在火星上所受的重力

40mg′＝50×

N≈222.2 N. 9v20(2)在地球上，宇航员跳起的高度为h＝

2gv20在火星上，宇航员跳起的高度h′＝

2g′联立以上两式得h′＝3.375 m.