4. 人造卫星 宇宙速度优质课教案

第4节人造卫星__宇宙速度

1．第一宇宙速度为7.9 km/s，其意义为最小发射速度或最大环绕速度。

2．第二宇宙速度为11.2 km/s，其意义表示物体脱离地球的束缚所需要的最小发射速度。

3．第三宇宙速度为16.7 km/s，其意义为物体脱离太阳引力的束缚所需的最小发射速度。

4．同步卫星的线速度、角速度、周期、轨道、向心加速度均是一定的。

一、人造卫星

1．卫星：一些自然的或人工的在太空绕行星运动的物体。

2．原理：一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由地球对它v2MEm的万有引力提供，即G2＝mr，则卫星在轨道上运行的线速度v＝r二、宇宙速度

1．第一宇宙速度

使卫星能环绕地球运行所需的最小发射速度，其大小为v1＝7.9_km/s，又称环绕速度。

2．第二宇宙速度

使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v2＝11.2_km/s，又称脱离速度。

3．第三宇宙速度

使物体脱离太阳的束缚而飞离太阳系，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v3＝16.7_km/s，也叫逃逸速度。

GMEr。

1．自主思考——判一判

(1)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s。(√) (2)绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的速度可以是10 km/s。(×) (3)无论从哪个星球上发射卫星，发射速度都要大于7.9 km/s。(×) (4)当发射速度v>7.9 km/s时，卫星将脱离地球的吸引，不再绕地球运动。(×)

(5)如果在地面发射卫星的速度大于11.2 km/s，卫星会永远离开地球。(√) (6)要发射一颗人造月球卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s。(×) 2．合作探究——议一议

(1)人造卫星能够绕地球转动而不落回地面，是否是由于卫星不再受到地球引力的作用？

图3-4-1 提示：不是，卫星仍然受到地球引力的作用，但地球引力全部用来提供向心力。

(2)通常情况下，人造卫星总是向东发射的，为什么？

提示：由于地球的自转由西向东，如果我们顺着地球自转的方向，即向东发射卫星，就可以充分利用地球自转的惯性，节省发射所需要的能量。

(3)“天宫一号”目标飞行器在距地面355 km的轨道上做圆周运动，它的线速度比7.9 km/s大还是小？

提示：第一宇宙速度7.9 km/s是卫星(包括飞船)在地面上空做圆周运动飞行时的最大速度，是卫星紧贴地球表面飞行时的速度。“天宫一号”飞行器距离地面355 km，轨道半径大于地球半径，运行速度小于7.9 km/s。

人造卫星的运动规律

1．人造卫星的轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它的万有引力充当向心力。因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道。当然也存在着与赤道平面呈某一角度的圆轨道。如图3-4-2所示。

图3-4-2 2．人造卫星的运行规律：人造卫星的运行规律类似行星运行规律。

(1)常用关系式

v2Mm4π22①G2＝ma＝mr＝mωr＝m2r。

rTMm②mg＝G2。

r(2)常用结论：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小。可以概括为“越远越慢”。

3．同步卫星

地球同步卫星是指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星，同步卫星又叫通讯卫星。同步卫星有以下几个特点：

特点

周期一定

理解

同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，即T＝24 h 由于与地球的自转同步，同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重轨道一定

3GMT2Mm4π2合。由G2＝m2r得r＝，所有同步卫星的轨道半径rT4π2相同，离地高度也就相同

环绕速度

大小一定

角速度

一定

向心加速度

大小一定

[典例]

(多选)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图3-4-3所示，则(

) 由v＝2πr知所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的T(3.08 km/s) 同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度

MmGM由G2＝ma得a＝2，所有同步卫星运动的向心加速度大小rr都相同

图3-4-3 A．a的向心加速度等于重力加速度g

B．在相同时间内b转过的弧长最长

πC．c在2小时内转过的圆心角是

6D．d的运动周期有可能是20小时

[思路点拨]

同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，角速度相同，根据a＝ω2r比较a与c的向心加速度大小，再比较c的向心加速度与g的大小。根据万有引力提供向心力，列出等式得出角速度与半径的关系，分析弧长关系。根据开普勒第三定律判断d与c的周期关系。

[解析]

同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度MmGM相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大，由G2＝mg，得g＝2，卫星的轨道半径越rr大，向心加速度越小，则同步卫星的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度v2Mm约为g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由G2＝mr，得v＝rGMr，卫星的半径越大，线速度越小，所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故Bπ正确；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在2 h内转过的圆心角是，故C正确；由开6R3普勒第三定律2＝k知，卫星的半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24 h，T故D错误。

[答案]

BC

(1)人造卫星的a、v、ω、T由地球的质量M和卫星的轨道半径r决定，当r确定后，卫星的a、v、ω、T便确定了，与卫星的质量、形状等因素无关，当人造卫星的轨道半径r发生变化时，其a、v、ω、T都会随之改变。

(2)在处理人造卫星的a、v、ω、T与半径r的关系问题时，常用公式“gR2＝GM”来替换出地球的质量M，会使问题解决起来更方便。

1.国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为(

)

图3-4-4 A．a2＞a1＞a3

C．a3＞a1＞a2

B．a3＞a2＞a1

D．a1＞a2＞a3

解析：选D

卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地Mm1GMMm2点时有G＝m2a2，即a22＝m1a1，即a1＝2，对于东方红二号，有GR＋h1R＋h1R＋h22GM＝，由于h2＞h1，故a1＞a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方R＋h22红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，故a2＞a3，所以a1＞a2＞a3，选项D正确，选项A、B、C错误。

2．(多选)我国“中星11号”商业通信卫星是一颗同步卫星，它定点于东经98.2度的赤道上空，关于这颗卫星的说法正确的是(

) A．运行速度大于7.9 km/s B．离地面高度一定，相对地面静止

C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大

D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

解析：选BC

“中星11号”是地球同步卫星，距地面有一定的高度，运行速度要小于7.9 km/s，A错。其位置在赤道上空，高度一定，且相对地面静止，B正确。其运行周期为24小时，小于月球的绕行周期27天，由ω＝2π知，其运行角速度比月球大，C正确。T同步卫星与静止在赤道上的物体具有相同的角速度，但半径不同，由a＝rω2知，同步卫星的向心加速度大，D错。

3．(多选)在圆轨道上质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球的半径R，地球表面的重力加速度为g，则(

) A．卫星运动的线速度为2Rg

B．卫星运动的周期为4π 1C．卫星的向心加速度为g

21D．卫星的角速度为

2g

2R2R

gv2Mm解析：选BD

对卫星，万有引力提供向心力，有G＝m。在地球的表面又有g2R2R2

GM＝2。v＝

RGM＝2R2π×2R42πRgR，A错误。卫星的周期T＝v＝＝4π 2gR2Rg，B正g，D正确。

2Rv2v2g2π1确。卫星的向心加速度a＝r＝＝，C错误。卫星的角速度ω＝T＝

2R42对宇宙速度的理解

1．第一宇宙速度

(1)推导

对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g＝9.8 m/s2，则

(2)决定因素

由第一宇宙速度的计算式v＝

GMR可以看出，第一宇宙速度的值由中心天体决定，第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M和半径R，与卫星无关。

(3)理解

①“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。

②“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半v2Mm径最小，由G2＝mr可得v＝

rGMr，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。

2．发射速度与运行速度的对比

(1)三种宇宙速度都是指卫星的发射速度，而不是在轨道上的运行速度。

(2)人造地球卫星的发射速度与运行速度的大小关系：v运行≤7.9 km/s≤v发射<11.2 km/s。

[典例]

已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为(

) A．3.5 km/s

C．17.7 km/s

B．5.0 km/s

D．35.2 km/s [思路点拨]

航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力。

计算速率时可以借助于近地卫星采用比值法。而近地卫星的速度就是第一宇宙速度(7.9 km/s)。

[解析]

根据题设条件可知：M地＝10 M火，R地＝2R火，由万有引力提供向心力v2mR，可得v＝v火GM，即＝Rv地M火R地＝M地R火GMm＝R21，因为地球的第一宇宙速度为v地＝7.9 km/s，5所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率v火≈3.5 km/s，选项A正确。

[答案]

A

第一宇宙速度v＝GM＝gR，也可应用于其他星体，只不过公式中的M、R、g应R为相应天体的质量、半径和表面重力加速度。

1．一探月卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的1，811月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运4行的速率约为(

) A．0.4 km/s C．11 km/s

B．1.8 km/s

D．36 km/s 解析：选B

对于环绕地球或月球的人造卫星，其所受万有引力即为它们做圆周运动v2Mm所需向心力，即G2＝mr，所以v＝rGMr。第一宇宙速度指的是最小发射速度，同时也是近地卫星的环绕速度。对于地球的近地卫星来说，其轨道半径近似等于地球半径，探v月月卫星绕月飞行的轨道半径约等于月球半径，所以＝v地地M月·r地＝M地·r月422＝，所以v月＝v81992＝×7.9 km/s≈1.8 km/s。故正确答案为B。

92．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落点之间的距离为3L。已知两落点在同一水平面上，该星球的质量为M，引力常量为G。求该星球的第一宇宙速度。

解析：设第一次抛出速度为v、高度为h，根据题意可得(如图所示)：

L2＝h2＋(vt)2

依图可得：(3L)2＝h2＋(2vt)2

1又h＝gt2，

2

解方程组得g＝23L。

3t2Mm根据万有引力等于重力得，mg＝G2

R解得R＝

GM＝

g3GMt2。

2Lv2根据mg＝m

R423GML解得第一宇宙速度v＝gR＝。

3t2423GML答案：

3t2卫星变轨问题

v2Mm1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，满足G2＝m。

rr2．当卫星由于某种原因速度改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。

Mmv(1)当卫星的速度突然增加时，G2

Mmv(2)当卫星的速度突然减小时，G2>mr，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做r近心运动，卫星的发射和回收就是利用这一原理。

3．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同。

4．飞船对接问题：两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接。

1.我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(

) 22

图3-4-5 A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

解析：选C

飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。

2.如图3-4-6所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是(

)

图3-4-6 A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同

B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同

C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度

D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度

解析：选B

在P点，沿轨道1运行时，地球对人造卫星的引力大于人造卫星做圆周mv12运动需要的向心力，即F引＞r，沿轨道2运行时，地球对人造卫星的引力刚好能提供人mv22造卫星做圆周运动的向心力，即F引＝，故v1＜v2，选项A错误；在P点，人造卫星r在轨道1和轨道2运行时，地球对人造卫星的引力相同，由牛顿第二定律可知，人造卫星在P点的加速度相同，选项B正确；在轨道1的不同位置，地球对人造卫星引力大小不同，故加速度也不同，选项C错误；在轨道2上不同位置速度方向不同，选项D错误。

1. (多选)如图1中的圆a、b、c，其圆心均位于地球的自转轴线上，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言，以下说法正确的是(

)

图1 A．卫星的轨道可能为a

B．卫星的轨道可能为b

C．卫星的轨道可能为c

D．同步卫星的轨道只可能为b

解析：选BCD

由于物体做匀速圆周运动时，合力一定是指向圆心的，所以地球卫星的圆心应与地球球心重合，A错误，B、C正确。同步卫星的轨道必须在赤道上方，选项D正确。

2.如图2所示，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，牛顿曾设想在高山上水平抛出物体，若速度一次比一次大，落点就一次比一次远。当速度足够大时，物体就不会落回地面而成为人造卫星了，这个足够大的速度至少为(不计空气阻力)(

)

图2 A．340 m/s

C．11.2 km/s

B．7.9 km/s

D．3.0×108 m/s 解析：选B

当物体的速度大到向心力恰好等于地球的万有引力时，物体就能成为地球的卫星而不落到地球上，这个足够大的速度是地球的第一宇宙速度，大小是7.9 km/s，B正确。

3．2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课。在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小(

) A．等于7.9 km/s B．介于7.9 km/s和11.2 km/s之间

C．小于7.9 km/s D．介于7.9 km/s和16.7 km/s之间

解析：选C

卫星在圆形轨道上运动的速度v＝

＝7.9 km/s，C正确。

GM。由于r＞R，所以v＜

rGMR4．(多选)假如做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍后，仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(

) A．根据公式v＝ωr可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍

mv21B．根据公式F＝可知卫星所需的向心力将减小到原来的

r2Mm1C．根据公式F＝G2可知地球提供的向心力减小到原来的

r4D．根据上述B和C中给出的公式可知，卫星运行的线速度减小到原来的2

2解析：选CD

卫星绕地球做匀速圆周运动时，所需向心力由万有引力提供，故F向＝MmmvMmG2＝r＝mω2r，得F＝G2，v＝rr小到原来的2GMr，ω＝GM2，ω减3，故v减小到原来的r221，F减小到原来的，C、D正确。

445．使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝2v1。已知某星1球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。不计其他星球的影响，6则该星球的第二宇宙速度为(

) A. C. 1gr

61gr

22

B.

D.gr

1gr

3解析：选B

设某星球的质量为M，半径为r，绕其飞行的卫星质量m，由万有引力提GMmmv1供向心力得：2＝

rr解得：v1＝

GM①

r1又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。

6GMmg得：2＝m②

r6v2＝2v1③

由①②③解得：v2＝gr，故选B。

36．已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量

为G。有关同步卫星，下列表述正确的是(

) 3GMT2A．卫星距离地面的高度为

4π2B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度

MmC．卫星运行时受到的向心力大小为G2

RD．卫星运行的向心加速度大于地球表面的重力加速度

3GMT2GMmm·4π2r解析：选B

根据万有引力提供向心力，2＝，r＝R＋h，解得h＝rT24π2－R，故A错误；第一宇宙速度为v1＝

GM，故B正确；卫星运行时受到的向心力大小RGMmGM是，故C错误；地表重力加速度为g＝，卫星运行的向心加速度小于地球表面的R2R＋h2重力加速度，故D错误。

7. (多选)2013年12月2日，肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100 km的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，如图3所示，则下列说法正确的是(

)

图3 A．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长

B．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长

C．“嫦娥三号”经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大

D．“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等

解析：选AD

由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径，也大于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ>TⅡ>TⅢ，故A正确，B错误。“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为vⅠ>vⅡ>vⅢ，所以C错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确。

8．(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是(

) a1rA.＝

a2Rv1rC.＝

v2Ra1R2

B.＝

a2rv1

D.＝v2R

r解析：选AD

设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，近地卫星的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有：

a1＝ω12r，a2＝ω22R，ω1＝ω2

a1r故＝R，可知选项A正确，B错误。

a2v12Mm1由万有引力定律得：对同步卫星：G2＝m1r

rv22Mm2对近地卫星：G2＝m2

RRv1由以上两式解得：＝v2

9．(多选)据英国《卫报》网站2015年1月6日报道，在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒438b”。假设该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍。则该行星与地球的(

) 3A．轨道半径之比为p2q

3qC．线速度之比为

p3

B．轨道半径之比为p2

D．线速度之比为1

pGMm＝R2Rr，可知选项D正确，C错误。

解析：选AC

行星公转的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律，有：3GMT24π2m2R，解得：R＝，该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地T4π2R行3M橙T行232球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍，故：＝＝qp，故A正R地M日T地v行R行T地3213q2πR确，B错误；根据v＝T，有：＝·＝qp·p＝p，故C正确，D错误。

v地R地T行10．(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图4中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关

系，它们左端点横坐标相同。则(

)

图4 A．P1的平均密度比P2的大

B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小

C．s1的向心加速度比s2的大

D．s1的公转周期比s2的大

解析：选AC

由图像左端点横坐标相同可知，P1、P2两行星的半径R相等，对于两MmR2a行星的近地卫星：G2＝ma，得行星的质量M＝，由a-r2图像可知P1的近地卫星的向GRMmmv心加速度大，所以P1的质量大，平均密度大，选项A正确；根据G2＝R得，行星的第R一宇宙速度v＝

GMR，由于P1的质量大，所以P1的第一宇宙速度大，选项B错误；s1、22πMms2的轨道半径相等，由a-r2图像可知s1的向心加速度大，选项C正确；根据G2＝mTr2r得，卫星的公转周期T＝2π r3GM，由于P1的质量大，故s1的公转周期小，选项D错误。

11．已知地球的半径是6.4×106 m，地球的自转周期是24 h，地球的质量是5.98×1024kg，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，若要发射一颗地球同步卫星，试求：

(1)地球同步卫星的轨道半径r；

(2)地球同步卫星的环绕速度v。

3GMT2GMm2π2解析：(1)根据万有引力提供向心力得2＝mωr，ω＝T，则r＝

r4π236.67×10－11×5.98×1024×24×3 6002＝

m≈4.2×107 m。

24×3.14v2GMm(2)根据2＝m得：

rrv＝GMr＝6.67×1011×5.98×1024

m/s≈3.1×103 m/s＝3.1 km/s。

74.2×10－答案：(1)4.2×107 m

(2)3.1×103 m/s

12．取地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，地球表面的重力加速度为g＝10 m/s2，某行星

的质量是地球的8倍，半径是地球的2倍，则此行星的第一宇宙速度大小为多少？一个质量60 kg的人在该行星表面上的重力大小是多少？

解析：设卫星的质量为m，中心天体的质量为M，半径为R，天体的第一宇宙速度即为卫星绕天体表面做圆周运动的运行速度，设为v。

即F向＝F引，

GMmmv所以2＝，

RR解得v＝

GM。①

R2由题意可得M行＝8M地，R行＝2R地，②

由①②得v行＝2v地＝15.8 km/s。

设人的质量为m′，当人在一个中心天体表面上时有

m′g＝F引，

GMm′所以m′g＝，

R2解得g＝GM。③

R2由②③得：g行＝2g地＝20 m/s2。

所以在该行星表面上，一个质量60 kg的人的重力大小为m′g行＝1 200 N。

答案：15.8 km/s

1 200 N

万有引力定律的应用

1.如图1所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转1半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是(

) 9

图1 1A.天

9C．1天

1

B.天

3

D．9天

r卫3r月31解析：选C

由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律2＝2，可得T卫＝19T卫T月天，故选项C正确。

2．卫星电话在抢险救灾中能发挥重要作用。第一代、第二代海事卫星只使用静止轨道卫星，不能覆盖地球上的高纬度地区。而第三代海事卫星采用同步和中轨道卫星结合的方案，解决了覆盖全球的问题。它由4颗同步卫星与12颗中轨道卫星构成。中轨道卫星高度约为地球半径的2倍，分布在几个轨道平面上(与赤道平面有一定的夹角)。地球表面处的重力加速度为g，则中轨道卫星处的重力加速度约为(

) gA.

4C．4g

g

B.

9

D．9g

解析：选B

由题意可知中轨道卫星的轨道半径是地球半径的3倍，设地球半径为R，Mm则中轨道卫星的轨道半径为3R，在地球表面有：G2＝mg

RMm对中轨道卫星有：G＝ma

3R2g解得：a＝，故选B。

93．人造卫星在太空绕地球运行中，若天线偶然折断，天线将(

) A．继续和卫星一起沿轨道运行

B．做平抛运动，落向地球

C．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动，远离地球

D．做自由落体运动，落向地球

解析：选A

当地球对卫星的万有引力提供向心力时，人造卫星绕地球做匀速圆周运v2Mm动，由：G2＝m得，v＝

rrGM。卫星的天线偶然折断了，天线的线速度不变，其受r到的万有引力恰好为天线提供绕地球做圆周运动的向心力。所以天线继续和卫星一起沿轨道做匀速圆周运动。故A正确，B、C、D错误。

4. (多选)某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，如图2所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为T，则该行星(

)

图2 A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间

B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间

TC．a到b的时间tab<

4TD．c到d的时间tcd>

4

解析：选CD

根据开普勒第二定律知行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。行星由a到b运动时的平均速度大于由c到d运动时的平均速度，而弧长ab等于弧长cd，故TTA错误；同理可知B错误；在整个椭圆轨道上tab＝tda<，tcd＝tbc>，故C、D正确。

445．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星。中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人。若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为

A．7.9 km/s C．2.9×104 km/s

B．16.7 km/s

D．5.8×104 km/s 解析：选D

中子星上的第一宇宙速度即为它表面处的飞行器的环绕速度。飞行器的Mm轨道半径近似认为是该中子星的半径，且中子星对飞行器的万有引力充当向心力，由G2rv2＝m，得v＝

r1×10×4GM4πr3，又M＝ρV＝ρ，得v＝rr3－114πGρ＝34×3.14×6.67×103×1.2×1017

m/s＝5.8×107 m/s＝5.8×104 km/s。

6.三个人造地球卫星A、B、C，在地球的大气层外沿如图3所示的方向做匀速圆周运动，已知mA＝mB＜mC，则下列关于三个卫星的说法中错误的是(

)

图3 A．线速度大小的关系是vA＞vB＝vC

B．周期关系是TA＜TB＝TC

C．向心力大小的关系是FA＝FB＜FC

RA3RB3RC3D．轨道半径和周期的关系是2＝2＝2

TATBTC解析：选C

卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，由F＝GMm4π2mv＜mC，rA＜rB＝rC，知FA＞FB，FB＜FC；由2＝mr2＝r知，v＝

rT2GMm，mA＝mBr2GMr，vA＞vBr3GMRA3RB3RC3＝vC；由于2＝2，所以TA＜TB＝TC，2＝2＝2，综上所述此题应选C。

T4πTATBTC7．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，1轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为(

) 20

1A.

10C．5

B．1

D．10 解析：选B

行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定MmM1r13T221336524π2律得G2＝m

2r，则＝·＝×≈1，选项B正确。

rTM2r2T12048．登上火星是人类的梦想。“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比(

) 行星

地球

火星

A.火星的公转周期较小

B．火星做圆周运动的加速度较小

C．火星表面的重力加速度较大

D．火星的第一宇宙速度较大

GMm4π2解析：选B

火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由2＝m2rTr3GMGMr＝ma知，因r火＞r地，而2＝2，故T火＞T地，选项A错误；向心加速度a＝2，则aT4πr火半径/m

6.4×106

3.4×106

质量/kg

6.0×1024

6.4×1023

轨道半径/m 1.5×1011

2.3×1011

＜a地，故选项B正确；地球表面的重力加速度g地＝GM地GM火，火星表面的重力加速度g＝，火R地2R火2GM地，R地代入数据比较知g火＜g地，故选项C错误；地球和火星上的第一宇宙速度：v地＝

v火＝

GM火，v地＞v火，故选项D错误。

R火9．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(

) dA．1－R

R－d2C.R

d

B．1＋R

R

D.R－d2

解析：选A

令地球的密度为ρ，则在地球表面，物体的重力和地球对物体的万有引力M4大小相等，有：g＝G2，由于地球的质量为：M＝ρπR3，所以重力加速度的表达式可写成：

R34ρπR33GM4g＝2＝G2＝GρπR。

RR3

根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，在深度为d的井底，物体受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加4GρπR－dg′3R－dd4速度g′＝Gρπ(R－d)，所以有＝＝＝1－，故选A。

gRR34GρπR310．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到1它的自转周期为T＝

s。

30问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。(引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2) 解析：考虑中子星赤道处一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，GMm2π4自转角速度为ω，位于赤道处的小块物体质量为m，则有2＝mω2R，ω＝，M＝πR3ρ，TR3由以上各式得ρ＝3π1432，代入数据解得ρ≈1.27×10 kg/m。

GT答案：1.27×1014 kg/m3

11．甲、乙两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运行，甲距地面高度为地球半径的0.5倍，乙距地面高度为地球半径的5倍，两卫星在某一时刻正好位于地球表面某处的正上空，试求：

(1)两卫星运行的速度之比；

(2)乙卫星至少经过多少周期时，两卫星间的距离达到最大？

GMmmv解析：(1)卫星的向心力由万有引力提供，2＝r，

r得：v＝

v1所以：＝v2GMr

r2＝

r11＋52＝。

1＋0.512GMm4π2r(2)卫星的向心力由万有引力提供：2＝m2

rT得：T＝

T甲所以：＝T乙4π2r3GM

r131＝

r2382π2πt－t＝π

T甲T乙又因为卫星间的距离第一次最大时，它们转过的角度差为π，可得：解得：t＝T乙。

14

T乙答案：(1)2∶1

(2)

1412．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。

(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？

解析：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有

Gm2Gm2F1＝2，F2＝

R2R2mv2F1＋F2＝R

①

运动星体的线速度v＝5GmR

②

2R2πR设周期为T，则有T＝v

③

T＝4π

R3。

④

5Gm

(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为

r2R′＝

⑤

cos 30°由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有

Gm2F合＝22cos 30°

⑥

r4π2F合＝m2R′

⑦

T121由④⑤⑥⑦式得r＝53R。

5GmR答案：(1)

4π 2R

121R3

(2)53R

5Gm