3. 万有引力定律的应用教学设计及教案分析

万有引力定律的应用教案

教学目标：

（一）知识与技能

1、了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2、会用万有引力定律计算天体质量和密度。

3、理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

（二）过程与方法

1、通过万有引力定律推导出计算天体质量的公式。

2、了解天体中的知识。

（三）情感、态度与价值观

体会万有引力定律在人类认识自然界奥秘中的巨大作用，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点

教学重点：

1、行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的。

2、会用已知条件求中心天体的质量和密度。

教学难点：

根据已有条件求中心天体的质量和密度。

教学方法：

教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。

教学过程：

（一）复习提问，引入新课

复习1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：

地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图1，万有引力为F引，重力为G，自转向心力为F′.当然，真实情况不会有这么大偏差. (1)物体在一般位置时

F′＝mrω2，F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引

图1

Mm方向有偏差，重力大小mg

Fmax′＝mRω2，此时重力最小；

MmGmin＝F引－Fmax′＝G2－mRω2. r(3)当物体在两极时F′＝0 G＝F引，重力达最大值Gmax＝GMm. r2可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力

(4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引Mm力，mg≈G2，g为地球表面的重力加速度. R2.重力与高度的关系：

Mm若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加R＋h2速度).所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小. 复习2天体运行的各物理量与轨道半径的关系

v2Mm4π22G2＝man＝m＝mωr＝m2r. rrT设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动. vMm(1)由G2＝m得v＝rrMm(2)由G2＝mω2r得ω＝r2GM，r越大，v越小. rGM，r越大，ω越小. r3r3，r越大，T越大. GM2π2Mm(3)由G2＝mTr得T＝2πrMmGM(4)由G2＝man得an＝2，r越大，an越小. rr

（二）新课教学

1、预言彗星回归

哈雷根据牛顿的引力理论对1682年出现的大彗星（哈雷彗星）的轨道进行了计算，并预言了再次出现的时间，经过克雷洛再次计算得出准确时间，最终预言得到证实，从而证明了万有引力定律同时适用于彗星。

2、预言未知天体

教师引导学们阅读课文“发现未知天体”部分的内容，并思考：应用万有引力定律除可估算天体质量外，还可以在天文学上有何应用？

学生阅读课文，从课文中找出相应的答案：应用万有引力定律还可以用来发现未知的天体。

教师引导学生深入探究：人们是怎样应用万有引力定律来发现未知天体的?发表你的看法。

学生讨论并发表见解：人们在长期的观察中发现天王星的实际运动轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差，所以怀疑在天王星周围还可能存在有行星，然后应用万有引力定律，结合对天王星的观测资料，便计算出了另一颗行星的轨道，进而在计算的位置观察新的行星。

总结：万有引力定律的发现，为天文学的发展起到了积极的作用，用它可以来计算天体的质量，同时还可以来发现未知天体。

3、计算天体的质量和密度

卡文迪许为什么说自己的实验是“称量地球的重量（质量）”？请你解释一下原因。

活动（1）推导出地球质量的表达式，说明卡文迪许为什么能把自己的实验说成是“称量地球的重量”？

活动（2）设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R

=6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 Nm2/kg2，试估算地球的质量，如果求地球密度呢。

学生阅读课文，推导出地球质量的表达式，在练习本上进行定量计算。

教师投影学生的推导、计算过程，师生一起点评。

gR29.8(6.4106)2M3g24M610kg ρ＝＝

1144πRG3G6.6710πR3活动（3）宇航员站在一个星球表面上的某高处h自由释放一小球，经过时间t落地，该星球的半径为r，你能求解出该星球的质量吗？

2hr2MGt24、计算天体的质量和密度

引导学生阅读教材，同时思考下列问题

（1）应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么? （2）求解天体质量的方程依据是什么?

学生阅读课文第一部分，从课文中找出相应的答案. （1）应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是：根据环绕天体的运动情况，求出其向心加速度，然后根据万有引力充当向心力，进而列方程求解. （2）从前面的学习知道，天体之间存在着相互作用的万有引力，而行星（或卫星）都在绕恒星（或行星）做近似圆周的运动，而物体做匀速圆周运动时合力充当向心力，故对于天体所做的圆周运动的动力学方程只能是万有引力充当向心力，这也是求解中心天体质量时列方程的根源所在. 教师引导学生深入探究，让学生结合课文知识以及前面所学匀速圆周运动的知识，加以讨论、综合，然后思考下列问题［投影出示］。

（1）天体实际做何运动?而我们通常可认为做什么运动? （2）应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力求出的天体质量有几种表达式? （3）应用此方法能否求出环绕天体的质量? （4）如何计算中心天体的密度？

学生分组讨论，得出答案。

（1）天体实际运动是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动. （2）应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表述方式可得三种形式的方程，即

v2Mm4π22G2＝man＝m＝mωr＝m2r.

rrT从上述动力学方程的三种表述中，可得到相应的天体质量的三种表达形式：

①M=v2r/G. ②M=ω2r3/G. ③M=4π2r3/GT2. 上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的线速度v，角速度ω，周期T时求解中心天体质量的方法. 以上各式中M表示中心天体质量，m表示环绕天体质量，r表示两天体间距离，G表示引力常量. （3）从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而

不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉。

（4）计算中心天体的密度ρ＝4MπR33πr3＝23

GTR3总结：从上面的学习可知，在应用万有引力定律求解天体质量时，只能求解中心天体的质量，而不能求解环绕天体的质量。而在求解中心天体质量的三种表达式中，最常用的是已知周期求质量的方程。因为环绕天体运动的周期比较容易测量。

例2：

假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G. (1)则该天体的密度是多少？

(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？

设卫星的质量为m，天体的质量为M. Mm4π24π2R3(1)卫星贴近天体表面运动时有G2＝m2R，M＝

RT1

GT1

24根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3

3M4π2R33π故该天体的密度为ρ＝＝＝. VGT1

2243GT

1·πR3(2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有

Mm4π2G＝m2(R＋h) T2

R＋h24π2R＋h3M＝

GT2

2M4πR＋h3πR＋hρ＝＝＝

VGT2

2R3243GT2

·πR3233

（三）课堂小结

学生自己概括总结本节的内容并与同学交流。

（四）布置作业