探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学设计第一课时

利用单位圆研究y=A sin(ωx+φ)的图像与性质

来安三中

胡红章

一、教学目标：

1、知识与技能：(1)熟练掌握由单位圆画出y=s inx、y=c o s x、y= t a n x 图象的方法；

(2) )会由函数y＝A sin(ω x＋φ)的图像讨论其性质；

(3)能解决一些综合性的问题。

2、情感态度与价值观：

通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。

二、教学重点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质

三、教学难点：

各种性质如：定义域、值域、最值、周期性、单调性和奇偶性的综合应用

四、教学方法：探究法

五、教学过程：

（一）知识回顾，学生动手做：

知识回顾y=sinx x[0,2]y=sinx xRf(x2k)f(x)利用图象平移By1O1AO 32343532x-1描图：用光滑曲线将这些正弦线的终点连结起来

正余弦曲线１．正弦曲线y1-4-3-2-o-123456x２．余弦曲线y1-4-3-2-o-123456x

正切曲线yytanx 22o22x4.yAsin(x)(A0,0)五点法

（二）性质探究，完成填空

y=sinx定义域值域奇偶性y=cosxR[-1,1]y=tanx{x|xR[-1,1]k,kZ}2R奇函数增区间：奇函数增区间：2k,2k(kZ)22减区间：32k,2k(kZ)22偶函数增区间：2k,2k(kZ)减区间：单调性k,k(kz)222k,2k(kZ)T22周期性对称性T2T对称中心：对称中心：(k,0)(kZ)对称中心：(k,0)(kZ)对称轴：xk(kZ)对称轴：xk(kZ)2(k,0)(kZ)2

（三）题型探究，高瞻远瞩

五种题型题型一：三角函数周期性题型二：三角函数值域与最值题型三：三角函数单调性题型四：y=Asin(ωx+φ)图象题型五：综合应用

（四）例题与练习，实战演练

有关正切函数定义域2y的定义域。tanx1xxk且xk，kZ42

基础训练(1)y2sin5kZ2k,2k66x1的定义域是(2)yxsinx的奇偶性是偶函数(3)y2tan3x的最小正周期是T3(4)函数ysin(2x)图象的一条对称轴是直线x8,k4,kZ

（五）加深难度，勇于攀登

1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个题非零的常数T，使得定义域内的每一个型x的值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数一f(x)就叫做周期函数：非零常数T叫做这个函数的周期周2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有期的周期中存在一个最小的正数，那么这性个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。

三角函数周期求法：1。定义法2。公式法一般地，函数y=Asin(ωx+φ) 及y=Acos(ωx+φ) （其中A,ω,φ为常数，且A≠0, ω≠0）的周期是:2 T(0)函数y=Atan(ωx+φ) (A≠0, ω≠0)周期T为

1、y=sinxcosxT222、y=|sinx| y=|sinx+ |3、y=|sinx|+|cosx|12TT2T2求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期求解公式进行．

周期应用例：若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期;(2)求t=10s时钟摆的高度h6055505045403530252010o2015105123456789123tf(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20,

题型二：求三角函数的值域和最值求函数ycos(2x)(x0,)的值域。63变式：已知函数yacos(2x)b的定义域是0，，63值域为31，，试确定a,b的值。当a=0a0时显然不成立62x6,0cos(2x)1,值域为[0，1]26ab1a4a0时当a>0b3b3ab3a4a当a<00时b1b1

题型三：三角函数的单调性例2 求y3sin(x)的单调递增区间。4法一：由y3sinu，u4x复合而成，u4x是减函数，3，2235即2kx2k，得-2kx-2k242445递增区间为[-2k，-2k]，kZ44则即需y3sinu递减，2ku2k法二：化为ysin（x），即需43372kx2k，2kx2k2424437递增区间为[2k，2k]，kZ44



二、根据三角函数的单调性求解参数

π【示例】►

(2011·镇江三校模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋3(ω＞0)的单调递增区间为5ππkπ－，kπ＋1212(k∈Z)，单调递减区间π7π为kπ＋12，kπ＋12(k∈Z)，则ω的值为________．



题型四:y=Asin(ωx+φ)图象某地一天从6时到14时的温度变化曲线T/度近似满足函数y=Asin(ωx+φ) +b30写出这段曲线的函数解析式201b(3010)20,A1022110146 o682因为点（6，10）是图象上的点，故1014t/h8所求函数解析式为633,解得24y10sin(x3)20，x[6,14]84

三、小结：

虽然题型变化多样，抓住事物的本质，最根本的就是利用单位圆，单位圆可以解决几乎所有的y=A sin(ωx+φ)的图像与性质问题。

四、作业：（自主选择进度与数量）