复习参考题教学设计(第二课时)

卓同教育集团安居育才中学

专题 平面向量的应用(一) --------模、系数的最值、范围问题

卓同教育集团安居育才中学 喻小琴

一、考情分析-----紧扣考纲、走进高考

1、考纲解读 高考中本专题考查一般以选择、填空形式出现，考查平面向量的概念的正误，应用三角形法则或平行四边形法则进行平面向量的线性运算。应用平面向量基本定理解决数量积运算以及向量的坐标化运算，体现了平面向量的几何性与代数性，注重向量在解析几何、三角函数中的应用。

2、考点分布 坐标运算、数量积、夹角、模、参数

3、位置分布

2017年

2016年

2015年

理12 理7、文2 四川卷

全国Ⅰ卷

理13、文13 理7、文2 全国Ⅱ卷

理12、文4 理4、文13 理13、文4 全国Ⅲ卷

理12、文13 理3

（Ⅲ卷）理12、文13 理13、文13

【

走进高考 体验高考 享受高考】

1、（2017年全国卷三理科12．）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若APABAC

，则的最大值为（ ）

A．3

B．22

C．

5

D．2 2、（2017年全国卷三文科13．）已知向量a且ab，则m= . (2,3)，b(3,m)，

3、（2017年全国卷二理科12．）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面内ABC 一点，则PA(PBPC)的最小值是（ ）

A．-2

B．3

2

C．4

3D．-1 4、（2017年全国卷二文科4．）设非零向量a、b，满足abab，则( ) 5、A．ab B． ab C．a//b D．ab

6、（2017年全国卷一理科13．）已知向量a、b的夹角为60°，a2，b1，则a2b= . 7、（2017年全国卷一文科13．）已知向量a(1,2)，b(m,1)．若向量ab与a垂直，则m=________．

1331),BC(,)，则ABC 8、（2016高考新课标3理数）已知向量BA(,2222（ ）

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(A) 300 (B) 450 (C) 600 (D)1200

9、（2016年高考四川理数）在平面内，定点A，B，C，D满足DADBDC,DADBDBDCDCDA2，动点P，M满足AP1，PMMC，则BM的最大值是2( ) 433763 （B）49 （C） （D）3723

4444二、学情分析------走进学生、换位思考

学生通过对教材的学习，基本掌握了向量的定义，三角形法则、平行四边形法则，能很好理解并合理运用向量的两个基本定理，能熟记数量积公式，并理解数量积所体现的几何意义，能通过坐标运算、转化与化归、数形结合等思想方法解决一些基本的向量问题。

为了进一步激发学生对向量的深刻认识，培养学生的思维能力及创新意识，让学生真正体会向量在生活和学习中的巨大魅力，特制作一些重要专题，共探讨、共提升。

三、经验分享------方法引领、精准导航

1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷. 2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处. 3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．

四、例题剖析------精讲精练、实战演习

题型一 模的范围问题

（A）

设a(x,y),则a易, 可以将向量用基底向量表示再求．

例1、（2018年绵阳三诊理11）已知ABC中，点P是ABC

AB5,Ac10,ABAC25，内（包括边界）一动点，且AP A.32ABAC，则AP模的最大值（ ）

55x2y2,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量

的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不33 B.37 C.39 D.41

2【设计意图】考查学生共线向量基本定理、平面向量基本定理、坐标运算基本知识点，要求学生理解并掌握常用的思想方法：划归与转化、数学结合思想。

解析：法一 （共线向量基本定理）

法二 （平面向量基本定理）

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法三 （坐标法）

【总结反思】知识点总结：

方法总结：

易错总结：

实战演习、（2018成都二诊模拟8）设A、B在圆x2y21上运动，且AB3，点P在直线l：3x4y120上运动，则PAPB最小值为（ ）

A.12171921 B. C. D.

5555 【设计意图】考查学生数学结合思想、划归与转化思想，要求学生掌握常用思想方法，培养其思维能力。

解析：法一（垂径定理）

法二（三点共线）

题型二 平面向量系数的取值范围问题

平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系, 通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．

其次对于特殊的几何图形中向量问题，要善于建系，转化为坐标运算建立相应的关系式，特别注意与圆或椭圆有关的曲线，要注意参数方程的应用。

【例2】已知扇形AOB的圆心角是600,半径是1, C是弧AB上不与A、B 重合的一点,设OCxOAyOB,若xy存在最大值,则实数的取值范围为( )  A.,2 B. ,1 C. ,3 D. 1,3

121213【设计意图】平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．还可渗透化归的思想，培养学生灵活运用运算法则的解题能力，进一步让学生体会向量的载体作用、工具性作用，培养学生的数学应用意识。

解析：法一：（平面向量基本定理）

法二：（函数与方程思想）

法三：（等和定理）

【总结反思】知识点总结：

方法总结：

易错点总结：

实战演习（2018信息题）．如图，在三角形OPQ中，M、N分别是边OP、OQ的中点，点R在

MN直线上，且ORxOPyOQ，则代数式x2y2xy的最小值为__________．

【设计意图】通过自主探究学习，进一步巩固平面向量的模、系数的最值或范围问题，培养学生自主学习能力，思考问题、解决问题的能力。

解析：法一：

法二：

五、总结反思------题型归类、方法匹配

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向量的常考题型有：数量积的运算、模、夹角的求解、及参数的范围最值问题， 解决向量问题的常用方法是：

（1）利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；

（2）将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；

（3）建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. （4）参数方程，特殊图形（如圆、椭圆）中的最值问题，利用点的参数坐标往往

可降低思维能力，简化运算，高效解决问题。

通过以上例题，不仅能更牢固地掌握和运用所学知识，而且通过一题多解、

分析对比，寻找解题的最佳途径和方法，能够培养学生思维能力，通过归纳总结

达到多题一解的目的。

六、当堂检测------课堂反馈、精准扶贫

n是两个非零向量,且m1,m2n3，1．【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知m、则mnn的最大值为（ ）

A.5 B. 10 C. 4 D. 5 2．【2018届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】已知G是三角形ABC的重心,过点G 作直线MN与 AB、AC 交于点M、N,且AMxAB,ANyAC,(x,y0)，则3xy的最小值是

( ) A.8 B.7 C.5 D.4233233 七、课后拓展------加强培优、个性发展

向量与三角形“四心”间的关系

重心：中线交点（注意：2:1比例关系）

若O是三角形ABC的重心OAOBOC0,1若O是三角形ABC的重心，则SBOCSAOCSAOBSABC31若PG(PAPBPC)G为ABC的重心.

3

xxxyy2y3若（Ax1,y1),B(x2,y2),C（x3,y3),则重心坐标G（123,1)33垂心：高线交点

若O是ABC的垂心OAOBOBOCOCOA若O是ABC（非直角三角形）的垂心则：(1)SBOC:SAOC:SAOBtanA:tanB:tanC重心坐标公式：

若O是ABC的垂心OAOBOBOCOCOA（非直角三角形）的垂心则：

若O是ABC

(1)SBOC:SAOC:SAOBtanA:tanB:tanC(2)tanAOAtanBOBtanCOC0外心：中垂线交点（外接圆圆心）

若O是ABC的外心OAOBOC(2)tanAOAtanBOBtanCOC0

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若O是ABC的外心则：（）1SBOC:SAOC:SAOBsin2A:sin2B:sin2C(2)sin2AOAsin2BOBsin2COC0第

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

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内心：角平分线交点（内切圆圆心，注意比例关系）

(1)设三角形ABC三边分别为a,b,c,面积为S，内切圆半径为r1则有S(abc)r2(1)设三角形ABC三边分别为a,b,c,面积为S，内切圆半径为r1则有S(abc)r2

若O是内心，则：ACDC若O是内心，则：若O是内心，则：ABACBABCCACB（）OAABACOBBABCOCCACB（）1OA()OB()OC()0ABBACAABACACBABCBCCACBCB（）1OA(ABAC)OB(BABC)OC(CACB)0ABACBABCCACB0(2)sinAOAsinBOBsinCOC(2)sinAOAsinBOBsinCOC0(2)sinAOAsinBOBsinCOC0(3)aOAbOBcOC0(3)aOAbOBcOC0(4)S:OBSAOC:SAOBa:b:cBOC(3)aOAbcOC0(4)SBOC:SAOC:SAOBa:b:c(4)SBOC:SAOC:SAOBa:b若ABPCBCPACAPB:0cP为ABC的内心若ABPCBCPACAPB0P为ABC的内心若ABPCBCPACAPB0P为ABC的内心ABBD(2)若BADDAC,则有：

若O是内心，则：

（）OAABABACACOBBABABCBCOCCACACBCB(2)sinAOAsinBOBsinCOC0(3)aOAbOBcOC0

(4)SBOC:SAOC:SAOBa:b:c

若ABPCBCPACAPB0P为ABC的内心

1.(江苏高考）已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线三个点，满足

ABAC

OPOA(),0，+则P点的轨迹一定通过ABC的（）ABAC

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

变式1.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线三个点，满足OPOA(ABABcosBACACcosC),0，+则P点的轨迹一定通过ABC的（）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

变式2.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线三个点，满足OPOA(ABABsinBACACsinC),0，+则P点的轨迹一定通过ABC的（）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

变式3.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线三个点，满足PBPC(ABABcosBACACcosC),0，+则P点的轨迹一定通过ABC的（）

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A.

外心 B.内心 C.重心 D.垂心

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