探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学设计

三角函数的图象与性质

（一）知识要点

1正弦、余弦、正切函数的图像和性质

ysinx

ycosx定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性

[y

tanx1

x|xR且xk,kZ2R [1,1]

R [1,1]

2

奇函数

2

R 

22k,偶函数

奇函数

[2k1,；k,k22k]2上为增函数[2k,

2k1]上为减函数

（kZ）

上为增函数（kZ）

22k]上为增函数；[232k]22k,上为减函数（kZ）

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1yy=cosxo3222532724y--2-2-32x-4-72-5-321-1o2322527324x

y=tanx-32--2o232x

2yAsin(x)(A0,0)的图像和性质

y

x

（1）定义域

（2）值域

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（3）周期性

（4）奇偶性

（5）单调性

（二）学习要点

1会求三角函数的定义域

2会求三角函数的值域

3会求三角函数的周期

：定义法，公式法，图像法。如ysinx与ycosx的周期是.

4会判断三角函数奇偶性

5会求三角函数单调区间

6对yAsin(x)(A0,0)函数的要求

（1）五点法作简图

（2）会写ysinx变为yAsin(x)(A0,0)的步骤

（3）会求yAsin(x)的解析式

（4）知道yAcos(x)，yAtan(x)的简单性质

7知道三角函数图像的对称中心，对称轴

8能解决以三角函数为模型的应用问题

（三）例题讲解

例1求函数ytan(2x

例2已知函数f(x)2sin(2x3)的定义域，周期和单调区间。

44)

（1）求函数的定义域；

（2）

求函数的值域；

（3）

求函数的周期；

（4）求函数的最值及相应的x值集合；

（5）求函数的单调区间；

（6）若x[0,3]，求f(x)的取值范围；

4（7）求函数f(x)的对称轴与对称中心；

（8）若f(x)为奇函数，[0,2)，求；若f(x)为偶函数，[0,2)，求。

例3．（1）将函数y11sin(2x)的图象向______平移_______个单位得到函数ysin2x的

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图象(只要求写出一个值)

(2)要得到y1cos(2x)的图象,可以把函数ysin(x)cos(x)的图象向______平24662移_______个单位(只要求写出一个值). 例4.设xR,函数f(x)cos(x)且f()1(0,o),已知f(x)的最小正周期为,2281.

(1)求和的值;

(2)求的单调增区间. 4

例5.如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b

(1)求这段时间的最大温差

y温度/0C(2)写出这段曲线的函数解析式 30

20

10时间/h

10146xo

（四）练习题

一、选择题

1.将函数ysinx(0)的图象向左平移象所对应函数的解析式是

A．ysin(xC．ysin(2x个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图66)

6) B．ysin(x) D．ysin(2x)

33sinxa(0x)，下列结论2.设a0，对于函数fxsinx正确的是

A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值

3.函数y=1+cosx的图象

（A）关于x轴对称

（B）关于y轴对称

（C）关于原点对称

（D）关于直线x=对称

24.已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[A.34,]上的最小值是－2，则的最小值等于

23

B.

C.2

D.3

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5.设点P是函数f(x)sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则f(x)的最小正周期是

4

D.

24A．2π

B. π

C. 6.已知aR，函数f(x)sinx|a|,xR为奇函数，则a＝(

) （A）0

（B）1

（C）－1

（D）±1 x7为了得到函数y2sin(),xR的图像，只需把函数y2sinx,xR的图像上所有的点

36（A）向左平移（B）向右平移（C）向左平移1个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

631个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

636个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

（D）向右平移8.已知函数f(x)611(sinxcosx)sinxcosx,则f(x)的值域是

22(A)1,1

(B) 2,1

(C) 221,

(D) 221,

29.函数y|sin(x3)|的最小正周期是（

）

Ａ．12π

2

Ｂ．π

Ｃ．2π

Ｄ．4π

10.函数fxtanx的单调增区间为

4A．k2,k,kZ B．k,k1,kZ

2,kZ

C．k33,k,kZ D．k,k444411.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是

（A）ysinx6

（B）ysin2x

6第

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（C）ycos4x3

（D）ycos2x

612.已知函数f(x)asinxbcosx（a、b为常数，a0，xR）在x则函数yf(4处取得最小值，3x)是（

）

43,0)对称

2A．偶函数且它的图象关于点(,0)对称

B．偶函数且它的图象关于点(C．奇函数且它的图象关于点(3,0)对称

D．奇函数且它的图象关于点(,0)对称

213设，，，那么“”是“tantan”的（

）

Ａ．充分而不必要条件

Ｃ．充分必要条件

14.函数y=

Ｂ．必要而不充分条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

ππ2212sin2+4sinx,xR的值域是

2(A)［-133121212121,］

(B)［-,］

(C)［

,］

(D)［,］222222222222二、填空题

15.ysin(x4)在x[0,2]的增区间是

16.满足22cosx0(xR)的x的集合是

17.y8sin(x)的振幅,初相,相位分别是

4818.tanx1,且x是直线的倾斜角,则x

19.已知函数f(x)2sinx(0)在区间＿＿。

,上的最小值是2，则的最小值是＿＿3420.若f(x)asin(x)3sin(x)是偶函数，则a=

. 4421.如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈记

水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则

d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：dAsintkA0,0,22，且当P点

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从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：(1)A10；22；3；1564k5，则其中所有正确结论的序号是

三．解答题

22设函数y3cos(2x

。

3)

（1）用“五点法”作出在一个周期内的简图；

（2）写出它可由ycosx的图像经怎样的变化得到。

23已知函数f(x)sin2xacos2x的图像关于直线x

24已知f(x)2cos2x3sin2xa（aR是常数

（1）若f(x)的定义域为R，求f(x)的单调增区间；

（2）若x[0,

25已知函数yAsin(x)B(A0,0,||低点为(8,4)。求函数解析式。

26 已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0t24，单位小时）的函数，记作：yf(t)下表是某日各时的浪高数据：

t0 3 6 9 12 15 18 21 24 6对称，求a的值。

2]时，f(x)的最大值为4，求a的值。

2)在同一个周期上的最高点为(2,2)，最第

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时

y米

1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcostb。

（1）根据以上数据，求函数的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放。由（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

27已知函数f(x)=Asin2(x)(A>0,>0,0<<两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求; （2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).

三角函数的图象与性质答案

例1. 定义域x函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻2k5kk5,)

,周期,单调减区间(2828282（4）f(x)的最大值为2，此时x的取值集合例2 .（1）R

（2）[2，2]

（3）T

为{x|x3k,kZ}；f(x)的最小值为-2，此时x的取值集合为83{x|xk,kZ}；k]；f(x)的减区间（5）f(x)的增区间[k,888373k[k,k]。,kZ;对称中心（6）[2，2]

（7）f(x)的对称轴为x8882k59133(,0),kZ。（8）当，或，或，或，f(x)为奇函数；当，8288888第

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71115，或，或，f(x)为偶函数。

8887例3．（1）向左平移个单位；（2）向左平移个单位。

24813,k](kZ)

例4. (1)1



(2)[k242424或例5．解 (1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；

(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象

12=14－6,解得ω=, 2811由图示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，这时y=10sin(x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式2283可取φ=π 43综上所求的解析式为y=10sin(x+π)+20,x∈［6,14］

48∴一、选择题

1.

解：将函数ysinx(0)的图象向左平移个单位，平移后的图象所对应的函数为

673ysin(x)，由图象知，()，

61262所以2，因此选C。

2.解：令tsinx,t(0,1]，

则函数fxsinxa(0x)的值域为函数sinxaay1,t(0,1]的值域，又a0，所以y1,t(0,1]tt是一个减函减，故选B。

3.

解：函数y=1+cos是偶函数，故选B 4.

解：函数f(x)2sinx(0)在区间,上的最小值是2，则ωx的取值范围是3433≤≥，

∴

或，∴

的最小值等于，选B. ,32422345.

解析：设点P是函数f(x)sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴

最小正周期为π，选B. 46.解法1由题意可知，f(x)f(x)得a=0

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解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0, 解法3由f(x)是奇函数图象法函数画出fxsinxa,xR的图象选A

7.先将y2sinx,xR的图象向左平移得到函数y2sin(x个单位长度，

66),xR的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵x),xR的图像，选择C。

36坐标不变）得到函数y2sin(8. 解:f(x)cosx(sinxcosx)11

(sinxcosx)sinxcosx22sinx(sinxcosx)即等价于{sinx,cosx}min，故选择答案C。

9. 解：ysin(12x3)的T4，选C 12210. 解：函数fxtanx4的单调增区间满足k2x4k2，

∴

单调增区间为k11. 解析：从图象看出，3,k,kZ，选C. 441，所以函数的最小T=41264正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，即6ysin2(x)=sin(2x)cos(2x)cos(2x)，选63236D.

2212. 解：函数f(x)asinxbcosx(a、b为常数,a0,xR)，∴

f(x)absin(x)的周期为2π，若函数在x)则函数，43333yf(x)=sin(x)sinx，所以yf(x)是奇函数且它的图象关于点4444(处取得最小值，不妨设f(x)sinx34(,0)对称，选D. 13. 解析：在开区间(,)中，函数ytanx为单调增函数，所以设,(,),那么2222第

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

""是"tantan"的充分必要条件，选C. 14. 解析：y111121

sin2xsin2xsin2xcos2xsin2x，故选择C。2222242本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为

yAsinxb或yAcosxb的模式。

二、填空题

15.[0,][,2]

16.{x|2k17.

8,

34744x2k5，kZ}

48,

x3

18.

[0,][,2)

444819.

解：函数f(x)2sinx(0)在区间,上的最小值是2，则ωx的取值范围是3433≤≥，

∴

或，∴

的最小值等于. ,324223420.解析：f(x)asin(x2222)3sin(x)a(sinxcosx)3(sinxcosx)是偶442222函数，取a=－3，可得f(x)32cosx为偶函数。

21.（1）（2）（4）

三．解答题

22（2）ycosx左移1个单位得ycos(x)横坐标变为倍得ycos(2x)

3332纵坐标变为3倍得y3cos(2x3)

23 a3

324（1）[k25 y3sin(,k](kZ)

（2）a1

36x)1

662

26 （1）由表知T12，T6第

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

由t=0,y=1.5,得A+b=1.5

由t=3,y=1.0，得b=1.0

所以A=0.5,b=1,A1

2y1cost1

26(2)由题知,当y>1时才可对冲浪者开放.

1cost11,cost0

2kt2k

266262即12k-3

因为0t24,故k分别为0,1,2,得

0t3或9t15或21t24

所以在规定时间内,有6个小时可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00. AAcos(2x2).

22AAyf(x)的最大值为2，A0.2,A2.

2212)2,.

又其图象相邻两对称轴间的距离为2，0，(22422f(x)cos(x2)1cos(x2). 222227.

解：（I）yAsin(x)2yf(x)过(1,2)点，cos(2)1.

2又222k,kZ,22k02,kZ,k4,kZ,

2,4. （II）解法一：4，y1cos(x)1sinx.

222f(1)f(2)f(3)f(4)21014. 又yf(x)的周期为4，20084502，

f(1)f(2)f(2008)45022008.

解法二：f(x)2sin2(3x)f(1)f(3)2sin2()2sin2()2,

444f(2)f(4)2sin2()2sin2()2,f(1)f(2)f(3)f(4)4.

2又yf(x)的周期为4，20084502，f(1)f(2)f(2008)45022008.

第

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