3.1.2 概率的意义第一课时教学设计

3.1.2

概率的意义

明目标、知重点

1.通过实例，进一步理解概率的意义.2.会用概率的意义解释生活中的实例.3.了解“极大似然法”和遗传机理中的统计规律.

1.对概率的理解

随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性. 2.游戏的公平性

(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则. 3.决策中的概率思想

如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.

[情境导学]

据澳大利亚媒体报道，最近澳大利亚税务局盯上了一个神秘的赌博俱乐部“庞特俱乐部”.传说这个天才赌博团19名成员全部由数学家组成，他们在全球各个赌场奔走，用专业的数学方法计算概率，号称“十赌九赢”，仅仅3年就赚取了超过24亿澳元(约156亿元人民币).今天我们就来学习概率. 探究点一

概率的正确理解

思考1

频率与概率有什么区别和联系？

答

①频率是随机的，在实验之前不能确定；②概率是一个确定的数，与每次实验无关；③随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率；④频率是概率的近似值，概率是用来度量事件发生可能性的大小. 思考2

有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你认为这种想法正确吗？

答

这种说法是错误的，抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，它是大量试验得出的一种规

律性结果，对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性，在连续抛掷一枚硬币两次的试验中，可能两次均正面朝上，也可能两次均反面朝上，也可能一次正面朝上，一次反面朝上. 思考3

试验：全班同学各取一枚同样的硬币，连续抛掷两次，观察它落地后的朝向.将全班同学的试验结果汇总，计算三种结果发生的频率.你有什么发现？

答

“两次正面朝上”的频率约为0.25，“两次反面朝上”的频率约为0.25，“一次正面朝上，一次反面朝上”的频率约为0.5. 小结

随机事件在一次实验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着实验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率. 例1

下列说法正确的是(

) A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，

则一定为一男一女

B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖

C.10张票中有1 张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D.10张票中有1 张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 答案

D 解析

一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确. 反思与感悟

(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值. (2)随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，并不是概率大就一定会发生，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件. 跟踪训练1

某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？

解

从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为大时，击中的次数就越接近9n. 109n，其中n为射击次数，而且当n越10探究点二

概率思想的实际应用

思考1

在乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，裁判员拿出一个抽签器，它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签器落到球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上.如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方先发球.你认为公平吗？为什么？

答

公平.因为当抽签器上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率都是0.5，因此任何一名运动员

猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. 思考2

如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的，还是不均匀的？如何解释这种现象？

答

这枚骰子的质地不均匀，标有6点的那面比较重，会使出现1点的概率最大，才有可能1连续10次都出现1点.如果这枚骰子的质地均匀，那么抛掷一次出现1点的概率为，连续6110次都出现1点的概率为()10＝0.000 000 016 538，这是一个小概率事件，几乎不可能发生. 6小结

(1)如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法. (2)如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大，那么判断正确的可能性也最大，这种判断问题的方法在统计学中被称为似然法. 思考3

天气预报是气象专家依据观测到的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的.某地气象局预报明天本地降水概率为70%，能否认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨？为什么？你认为应如何理解？天气预报说昨天的降水概率为90%，结果昨天根本没下雨，能否认为这次天气预报不准确？如何用概率的思想给出解释？

答

不能这样认为，因为降水概率≠降水区域，应该理解成明天本地下雨的可能性为70%. 不能，尽管概率为90%的事件发生的可能性很大，但“明天下雨”是一次实验中的随机事件，也有可能不发生. 思考4

奥地利遗传学家孟德尔1856年开始用豌豆作试验，他把黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是黄色的.第二年，他把第一年收获的黄色豌豆再种下，收获的豌豆既有黄色的又有绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是圆形的.第二年，他把第一年收获的圆形豌豆再种下，收获的豌豆却既有圆形豌豆，又有皱皮豌豆.类似地，他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂交，第一年长出来的都是长茎的豌豆.第二年，他把这种杂交长茎豌豆再种下，得到的却既有长茎豌豆，又有短茎豌豆.试验的具体数据如下：

性状

子叶的颜色

种子的性状

茎的高度

显性

黄色

圆形

长茎

6 022

5 474

787

隐性

绿色

皱皮

短茎

2 001

1 850

277

显性∶隐性

3.01∶1 2.96∶1 2.84∶1 你能从这些数据中发现什么规律吗？纯黄色和纯绿色的豌豆均由两个特征因子组成，用符号YY代表纯黄色豌豆的两个特征，符号yy代表纯绿色豌豆的两个特征，其中Y为显性因子，y为隐性因子，那么如何解释显性与隐性之比接近3︰1? 答

孟德尔的豌豆实验表明，外表完全相同的豌豆会长出不同的后代，并且每次试验的显性与隐性之比都接近3︰1. 下面给出简单的解释：

由于下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征，因此在第二代中YY，yy出现的概率是1/4，Yy出现的概率是1/2.所以黄色豌豆(YY，Yy)∶绿色豌豆(yy)约等于3∶1.实际上，遗传机理中的统计规律问题可以化归为同时抛掷两枚硬币的试验问题，把正面看成显性因子，反面看成隐性因子. 例2

设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球.今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.问这球是从哪一个箱子中取出的？

99解

甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是.乙箱中有11001个白球99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可见，这一白球从甲箱中100抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.由极大似然法，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的.所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中抽出的. 反思与感悟

统计中极大似然法思想的概率解释：在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大. 跟踪训练2

如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上1的概率大于，这种理解正确吗？

2解

这种理解是不正确的.掷一枚质地均匀的硬币作为一次试验，其结果是随机的，但通过1大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”，“反面向上”的可能性都为，2连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向11上和反面向上的可能性还是，而不会大于. 22

1.“某彩票的中奖概率为1”意味着(

) 1 000A.买1 000张彩票就一定能中奖

B.买1 000张彩票中一次奖

C.买1 000张彩票一次奖也不中

D.购买彩票中奖的可能性是答案

D 1

1 0002.同时向上抛掷100枚质地均匀的铜板，落地时这100枚铜板全都正面向上，则这100枚铜板更可能是下面哪种情况(

) A.这100枚铜板两面是一样的

B.这100枚铜板两面是不一样的

C.这100枚铜板中有50枚两面是一样的，另外50枚两面是不一样的

D.这100枚铜板中有20枚两面是一样的，另外80枚两面是不一样的

答案

A 解析

一枚质地均匀的铜板，抛掷一次正面向上的概率为0.5，从题意中知抛掷100枚结果正面都向上，因此这100枚铜板两面是一样的可能性最大. 3.给出下列四个命题：

①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；

51②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；

100③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；

9④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是. 50其中正确命题有________. 答案

④

解析

①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的.②③混淆了频率与概率的区别.④正确. 4.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？

解

两枚硬币的点数和可列下表：

一枚

另一枚

1点

2点

1点

2

3

2点

3 4 很明显，试验的结果共有4种，而点数3占了两种，点数2和4各占一种，因此，每个班被选中的概率是不同的，这种选法是不公平的. [呈重点、现规律]

1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件

一定会发生，只是认为事件发生的可能性大. 2.概率与频率关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率，概率是频率的稳定值. 3.利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.

一、基础过关

1.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(

) A.64个

C.16个

答案

C 解析

80×(1－80%)＝16. 2.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理(

) A.甲公司

C.甲与乙公司

答案

B 1001解析

由于甲公司桑塔纳的比例为＝，

100＋3 000313 00030乙公司桑塔纳的比例为＝，根据极大似然法可知应选B. 3 000＋100313.下列说法正确的是(

) A.某事件发生的频率是1.12 B.不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1 C.小概率事件是不会发生的，大概率事件必然要发生

D.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化

答案

B 解析

∵事件发生的概率0≤P(A)≤1，∴A错；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生.大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，∴C错；某事件发生的概率为一个常数，不随试验的次数变化而变化，∴D错；B正确. B.乙公司

D.以上都对

B.640个

D.160个

4.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大(

) A.至少一枚硬币正面向上

B.只有一枚硬币正面向上

C.两枚硬币都是正面向上

D.两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上

答案

A 解析

抛掷两枚梗币，其结果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大. 5.给出下列三个结论：

①小王任意买1张电影票，座号是3的倍数的可能性比座号是5的倍数的可能性大；

②高一(1)班有女生22人，男生23人，从中任找1人，则找出的女生可能性大于找出男生的可能性. ③掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上的可能性与反面朝上的可能性相同. 其中正确结论的序号为________. 答案

①③

6.将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面与两次均出现反面的概率比为________. 答案

3∶1 解析

将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).至少出现一次正面有3种情形，两次均出现反面有1种情形，故答案为3∶1. 7.解释下列概率的含义：

(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；

(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2. 解

(1)说明该厂产品合格的可能性为90%.也就是说每100件该厂的产品中大约有90件是合格品. (2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100个人参加抽奖，约有20人中奖. 二、能力提升

8.每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的.某次考试共有12道选择题，某1人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3个题选择结4果正确”这句话(

) A.正确

C.不一定

B.错误

D.无法解释

答案

B 解析

解答一个选择题作为一次试验，每次选择的正确与否都是随机的.即选择正确的概率1是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果4都正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大.同时也有可能都选错，亦或有2题，4题，甚至12个题都选择正确. 9.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是(

) A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜

B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜

C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜

D.甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜

答案

B 1解析

对于A、C、D甲胜，乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于72和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平. 10.从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：

492

496

494

495

498 497

501

502

504

496 497

503

506

508

507 492

496

500

501

499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为________. 答案

0.25 5解析

袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的共有5袋，所以其概率约为＝0.25. 2011.为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾.试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数. 解

设水库中鱼的尾数为n，从水库中任捕一尾，每尾鱼被捕的频率(代替概率)为2 000，第n40二次从水库中捕出500尾，带有记号的鱼有40尾，则带记号的鱼被捕的频率(代替概率)为，5002 00040由≈，得n≈25 000. n500所以水库中约有25 000尾. 12.元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目.高一(2)班的小明、小华和小

利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定，机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎样认为的？说说看. 解

其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的.我们取三张卡片，上面标有1、2、3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：

情况

人名

甲

乙

丙

一

1

2

3

二

1

3

2

三

2

1

3

四

2

3

1

五

3

1

2

六

3 2 1 从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签.甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后. 三、探究与拓展

13.如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？

解

列表如下：

B

A 1

2

3

3

4

5

6

4

5

6

7

5

6

7

8

6 7 8 9 由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种. 31因为P(和为6)＝＝，所以甲、乙获胜的概率不相等. 124所以这样的游戏规则不公平.如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的.