3.3.2 均匀随机数的产生国家获奖教案

(2)计算机模拟的方法：用Excel的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．

[小试身手]

1.一个靶子如右图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为(

) A．5

C．15 B．10 D．20 60°解析：选A 阴影部分对应的圆心角度数和为60°，所以飞镖落在阴影内的概率为360°11＝，飞镖落在阴影内的次数约为30×＝5. 662．已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一个元素x，则x∈M∩N的概率是(

) 1113A.

B.

C.

D.

9848解析：选B 因为N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6}，所以M∩N2－11＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率为＝. 6＋283.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，1它落在小狗图案内的概率是，则小狗图案的面积是(

) 3A.C.π 38π 3B.D.4π

316π

32解析：选D 设小狗图案的面积为S1，圆的面积S＝π×4＝16π，由几何概型的计算S1116π公式得＝，得S1＝.故选D. S334．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．

1－0解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为1－－1答案：

2

1＝. 2

2

与长度有关的几何概型

[典例] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．

(2)某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率．

[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的2长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝. 32答案：

3(2)解：设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图所示．

记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．

∴P(A)＝T1T的长度51＝＝，

T1T2的长度1531即该乘客等车时间超过10 min的概率是. 3

1．解几何概型概率问题的一般步骤

(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；

(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；

(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；

(4)利用概率公式计算．

2．与长度有关的几何概型问题的计算公式

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：

P(A)＝

构成事件A的区域长度.

试验的全部结果所构成的区域长度[活学活用] 一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

(1)红灯亮；

(2)黄灯亮；

3

(3)不是红灯亮．

解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．

红灯亮的时间302(1)P＝＝＝. 全部时间30＋40＋55黄灯亮的时间51(2)P＝＝＝. 全部时间7515不是红灯亮的时间黄灯亮或绿灯亮的时间453(3)法一：P＝＝＝＝. 全部时间全部时间75523法二：P＝1－P(红灯亮)＝1－＝. 55与面积和体积有关的几何概型

[典例] (1)(福建高考)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，x＋1，x≥0，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝1－x＋1，x<02

的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(

) 1A.

63C. 81B.

41D.

2(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

[解析] (1)依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD13的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×3×1＝，根据几何概型的概率求解公223S阴影21式，得所求的概率P＝＝＝，故选B. S矩形ABCD64(2)先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×1×2＝2π，1423以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×1＝π.则点P到点O的2332π3112距离小于1或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝. 2π3332[答案] (1)B (2)

32

4

1．与面积有关的几何概型的概率公式

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：

P(A)＝构成事件A的区域面积. 试验的全部结果所构成的区域面积2．与体积有关的几何概型概率的求法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为

P(A)＝

构成事件A的区域体积. 试验的全部结果所构成的区域体积[活学活用] 1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(

) A.6 π3 πB.3

2π23

3πC.D.解析：选D 由题意可得正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝343V113.球的体积V2＝πR＝π.则此点落在正方体内的概率为P＝＝＝232V23π223. 3π2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(

)

A.π 2B.D.π 4π 8π C. 612π·1阴影面积2解析：选B 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝长方形面积1×2

5

π＝. 4用随机模拟估计面积型的几何概型

[典例] 解放军某部队进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m，宽为14 m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m、2 m、5 m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．

[解] 设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．

(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND. (2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8,8]与[－7,7]上的均匀随机数．

(3)统计满足－8

用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别

(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；

(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．

[活学活用] 现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．

解：(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N组)；

(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，

N1Nb＝2(b1－0.5)；

6

4N1(3)数出满足不等式b＜2a－，即6a－3b＞4的数组数N1.所求概率P≈. 3N25可以发现，试验次数越多，概率P越接近. 144

[层级一

学业水平达标] 1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为(

) 1A.

92C. 31B.

61D.

362解析：选C 试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的＝，而932豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为，故选C. 32.如图所示，在一个边长为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形32内部的概率为(

) A.C.1 125 121B.

4D.7

12aa1115解析：选C S矩形＝ab，S梯形＝a＋ab＝ab. 232125abS梯形125故所投的点在梯形内部的概率为P＝＝＝. S矩形ab12113．已知函数f(x)＝log2x，x∈，2，在区间，2上任取一点x0，则使f(x0)≥0的22概率为________．

解析：欲使f(x)＝log2x≥0，

1则x≥1，而x∈，2，∴x0∈[1,2]，

22－12从而由几何概型概率公式知所求概率P＝＝. 132－2

7

2答案：

314．已知正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC<2VS­ABC的概率是________．

1VS­A0B0C0解析：由VP­ABC

8

[层级二

应试能力达标] 1.如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是(

) 1A. 61C. 32B.

3D.1

60解析：选A ∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60601度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT内的概率P＝＝，故选3606A. 2.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(

) 1A. 41C. 21B.

32D.

3解析：选C △ABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型知，点Q取自△ABE内1部的概率为. 23.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为(

) A.2 πB.1

π1C. 2

2D．1－

π8

12解析：选D S扇形＝×π×2＝π，

4S阴影＝S扇形－S△OAB＝π－×2×2＝π－2，

π－22∴P＝＝1－. ππ4.如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接12AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为(

) 1A. 21C. 3B.3

21D.

4解析：选C 如图，当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝60°，1201由圆的对称性及几何概型得P＝＝.故选C. 36035．方程x＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．

解析：由于方程x＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根，

1∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤，

4141又n∈(0,1)，∴有实根的概率为P＝＝. 1－041答案：

46．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．

解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，

2则P(A)＝＝0.005. 400答案：0.005 7．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________ 解析：点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．

9 22

143×πa831P＝＝π. 3a61答案：π

68.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

122解：记“射中黄心”为事件B，由于中靶点随机地落在面积为×π×122

cm的大圆内，4122而当中靶点落在面积为×π×12.2 cm的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为412×π×12.24P(B)＝＝0.01. 12×π×1224即“射中黄心”的概率是0.01.

9．已知圆C：x＋y＝12，直线l：4x＋3y＝25. (1)求圆C的圆心到直线l的距离；

(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．

解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝254＋32222＝5. (2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.

60°1故所求概率为P＝＝. 360°6

(时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列事件中随机事件的个数为(

) ①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点；

10

②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；

③某人买彩票中奖；

④已经有一个女儿，第二次生男孩；

⑤在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾．

A．1

C．3 B．2 D．4 解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾，是不可能事件．故选C. 2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(

) A．至少有一个黑球与都是红球

B．至少有一个黑球与都是黑球

C．至少有一个黑球与至少有一个红球

D．恰有1个黑球与恰有2个黑球

解析：选D A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D. 3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为(

) 1A. 5C.3 102B.

5D.7

10解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)4种，故P＝＝. 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中随机取一点，则点落在四棱锥O­ABCD内(O为正方体的对角线的交点)的概率是(

) 1A. 31C. 21B.

61D.

442105V61V解析：选B 设正方体的体积为V，则四棱锥O­ABCD的体积为，所求概率为＝. 6V6

11

5．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为(

) 1A. 21C. 41B.

31D.

5解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m，试验的全部结果21所构成的区域长度为6 m，故灯与两端距离都大于2 m的概率为＝. 636．从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(

) 3A. 51C. 42B.

51D.

8{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}解析：选C 符合要求的是∅，15共8个，而集合{a，b，c，d，e}共有子集2＝32个，∴P＝. 47．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，那么点P在圆x＋y＝17内部的概率是(

) 1A. 91C. 32B.

94D.

92222解析：选B 点P(m，n)的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P在圆x＋y＝17内部2只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为. 98．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(

) A.1 101B.

81D.

51C. 6解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点31的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为＝.故选D. 1559．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班

12

的概率是(

) 1A. 61C. 31B.

41D.

2解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概1率为. 310．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(

) 1A. 32C. 31B.

23D.

4解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有：31甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P(A)＝＝. 9311．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为(

) 3A. 41C. 25B.

81D.

4解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符1合题意的取法有2种，故所求概率P＝. 212．设一元二次方程x＋Bx＋C＝0，若B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为(

) A.C.1 1213 36B.D.7

3619

362解析：选D 因为B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B－4C≥0，显然B≠1.当B＝2时，C＝1(1种)；当B2

13

＝3时，C＝1,2(2种)；当B＝4时，C＝1,2,3,4(4种)；当B＝5时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B＝6时，C＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的19概率是. 36二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．

解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知2S内切圆776π×1776≈，即2≈，解得π≈3.104.

S正方形1 00021 000答案：3.104 14．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．

解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师4120÷＝300(人)．

10采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的301概率为P＝＝. 300101答案：

1015．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是________．

解析：连接AC交弧DE于点F，∠BAC＝30°，

P＝弧EF的长1＝. 弧DE的长31答案：

316．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．

14

解析：如图所示，圆周上使AM的长度等于1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧M1AM2长为2，点B落在优弧M1AM2上就能使劣弧AB的长度小于1，所以劣弧AB的长度2小于1的概率为. 32答案：

3三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：

抽取件数n 次品件数m 次品率

(1)求次品出现的频率；

(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；

(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？

解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05. (2)当n充分大时，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)≈0.05.

(3)设进货衬衣x件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x≥1 000，得x≥1 053.

∴至少需进货1 053件衬衣．

18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：

(1)所取的2道题都是甲类题的概率；

(2)所取的2道题不是同一类题的概率．

解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．

(1)用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，62{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝. 155(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，50

0

100

2

200

12

500

27

600

27

700

35

800 40

mnmn

15

8{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝. 1519．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：

X f

1

2

0.2

3

0.45

4

5 a b c

(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；

(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．

3解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15. 202等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1. 20从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1. 所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1. (2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．

设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．

4故所求的概率P(A)＝＝0.4. 1020．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．

(1)求点P落在区域C：x＋y≤10上的概率；

(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．

解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x＋y≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)2222

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422共4种，故点P落在区域C：x＋y≤10上的概率为. 9(2)区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区2域M上的概率为. 5π21．(本小题满分12分)一条笔直街道上的A，B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C，D，路灯次序为A，C，D，B，求A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率．

解：设A与C之间的距离为x米，B与D之间的距离为y米，(x，y)可以看成平面中的点，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，(x，y)的所有可能结果构成的区域为Ω＝{(x，y)|00，y>0}，即两直角边边长都为120米的等腰直角三角形区域(不包括边界)．而“A与C，B与D之间的距离都不小于40米”(记为事件M)的所有可能结果构成的区域为M＝{(x，y)|x≥40，y≥40，(x，y)∈Ω}，即图中的阴影部分．

1×40×4021由几何概型的概率计算公式得P(M)＝＝.故A与C，B与D之间的距离都19×120×12021不小于40米的概率为. 922.(本小题满分12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．

地区

数量

A 50

B 150

C

100 (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是

61＝，

50＋150＋10050所以样本中包含三个地区的个数数量分别是

11150×＝1,150×＝3,100×＝2. 505050所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2. (2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.

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则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为

{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．

每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D，则事件D包含的基本事件有

{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．

所以P(D)＝415，

即这2件商品来自相同地区的概率为415. 18 C2