探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优质教案设计

课题：1.5函数yAsin(x)的图象

（人教A版必修4）

安庆石化一中 汪全兵

三维目标：

1、理解A、、分别对yAsin(x)的图象的影响；

2、通过探究图象变换，会用图象变换法画出图象的简图；

3、通过对问题的探究，渗透数形结合的思想，培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，激发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。

教学重点：用参数思想分层次、逐步探究字母A、、变化时对yAsin(x)图象的影响。

教学难点：由正弦曲线ysinx到yAsin(x)的图象的变换过程

一、复习引入（提出问题，创设情境）

同学们知道，函数图象是研究函数性质的有效载体，数形结合又是解决函数问题的重要思想方法，总之，函数图象在函数学习中的作用不言而喻。我们在前面学习了正弦函数ysinx的图象，且会用“五点法”通过描出五个关键点作出图象，那么在实际问题中会碰到一些复杂的三角函数，例如yAsin(x)，它们的图象又有怎样的特点？与ysinx的图象有何关系？在图象变换的过程中又隐藏着怎样的规律呢？让我们共同来探究！

二、新课讲解（突出重点，突破难点）

按照由“简单到复杂”、“特殊到一般”的原则，我们可以通过几个具体的例子来研究yAsin(x)与ysinx之间的关系。

例1、试研究y2sinx、y1sinx与ysinx的图象关系。

2分析：这三个函数的周期都是2，我们只要在同一坐标系中绘出它们在一个周期内的图象，即可观察它们的图象关系。

步骤1、列表：

x

sinx

0 0 0 0 [

21 2 1

2

0 0 0 3

22

-1 -2 -1

20 0 0 2sinx

1sinx

2步骤2：描点

步骤3：连线

请同学们根据上面的图象思考：如何由ysinx的图象得到y2sinx及y的图象（观察图象变换）

结论：一般地，yAsinx（A＞0）的图象是由ysinx的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）到原来的A倍而得到的。

例2、试研究ysin2x、ysin1x与ysinx的图象的关系。

21sinx2分析：这两个函数的周期分别是和2，因此我们仍可以运用“五点法”作出它们在同一坐标系下的一个周期的图象进行观察，从而抽象出ysinx和ysinx之间的关系。

（请同学们仿照上例在同一坐标系中作出这三个函数的图象）

1请同学们思考：如何由ysinx的图象得到ysin2x及ysinx的图象？（观察图2象变换）

结论：一般地，ysinx（＞0）的图象是由ysinx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长（0＜＜1）或缩短（＞1）到原来的1倍得到的。

例3、试研究ysin(x)、ysin(x)与ysinx的图象关系。

36请同学们根据平移变换的规律作出三个图象的简图，并根据图象回答ysin(x)的图象与ysinx的图象有何关系。

结论：一般地，ysin(x)的图象是由ysinx的图象向右（＜0）或向左（＞0）平移个单位得到。

根据上面的三个结论，我们能否由ysinx的图象变换得出yAsin(x)的图象呢？如何变换呢？

例4 1如何由ysinx变换得到y2sin(x)的图象？（填空）

26方法1：（1）将ysinx的图象向左平移个单位，得到ysin(x)的图象；

661（2）将图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到ysin(x)的26图象；

1（3）将图象上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y2sin(x)26的图象。

1方法2：（1）将图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到ysinx2的图象；

（2）将图象向左平移1个单位，得到ysin(x)的图象；

2631（3）将图象上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y2sin(x)26的图象。

问题：由ysinx的图象得到yAsin(x)的图象可以如何变换？根据刚才的例题可以得到什么结论？

结论：方法一般有两种，一种为按照、、A顺序变换，即先将ysinx的图象向左（＞0）或向右（＞0）平移个单位得ysin(x)的图象，再将ysin(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长（0＜＜1）或缩短（＞1）到原来的1倍得到ysin(x)的图象，最后将ysin(x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）到原来的A倍即可得到yAsin(x)的图象。

另一种为按照、、A顺序变换，即先将ysinx图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长（0＜＜1）或缩短（＞1）到原来的象向左（＞0）或向右（＞0）平移1倍得到ysinx的图象，再将ysinx图个单位得到ysin(x)的图象，最后将图象上各点的各点的横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）到原来的A倍即可得到yAsin(x)

的图象。

三、课堂练习（锻炼能力，巩固新知）



已知函数y2sin(2x)，这个函数的图象可以由ysinx的图象经过怎样的变换4得到？

答案：

1、先将ysinx的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短41为原来的（纵坐标不变），最后将所得图象上各点纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不2变）即可得到y2sin(2x)的图象。

4四、课堂小结（理清思路，延伸主题）

本节课我们主要研究了yAsin(x)的图象特征，以及yAsin(x)的图象与正弦函数图象的变换关系，并进一步熟练了“五点法”作图。

需要特别注意的是：将ysinx的图象变换为ysin(x)的图象时，是将ysinx的图象向左或向右平移个单位，而不是个单位。

五、课后反思（总结得失，提升能力）

本课题设计中通过对问题的探究，渗透数形结合的思想，培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，激发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。上完课后较好地达到了预期目标：（1）学生理解A、、分别对yAsin(x)的图象的影响；（2）学生会用图象变换法画出图象的简图；（3）学生理解问题探究过程中数形结合思想以及运动变化的观点，学习兴趣浓厚。本课的优点：思路清晰，层次分明，重点突出，难点处理得当；不足之处：课堂练习应补充一个拓展题，进行课堂延伸。需要完善的地方有：补充课堂练习第2题：把函数ysin(2x的横坐标缩短为原来的

4)的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点81，求所得函数的解析式。

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