9.公倍数和最小公倍数教学实录与评析

第9课时：公倍数和最小公倍数

（集体备课 执笔：修晓静）

学习内容：苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第43～44页例11、例12和

“练一练”，第45页练习七第9、10、14题。

学情分析：

这部分内容是在学生理解了倍数和因数的概念、会找一个自然数的倍数的基础上进行教学的。学习这部分内容，既可以帮助学生深化对自然数的认识，进一步体验数与数之间的关系，发展数感，同时又是学生以后学习通分和分数四则计算的基础。

教材简析：

本课主要教学公倍数和最小公倍数，包含例11、例12和“练一练”、练习七的第9—10题。教材安排了两个例题，注重在现实的情境中、让学生通过丰富的数学活动理解概念。例11首先安排了用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺边长6厘米和8厘米的正方形操作活动，并通过一系列的讨论，引导学生具体感知公倍数的含义，揭示公倍数的概念。整个例题的设计为学生形成新的数学概念积累丰富的感性材料，并适时地把感性认识提升成理性认识。例12教学求两个数的最小公倍数，出现了多种解决问题的方法，这些方法的思路都出自公倍数和最小公倍数的概念，从6和9的公倍数、最小公倍数的意义引发出来。教材安排学生在交流中体会各种方法，首先是理解各种方法的共同点，都在寻找既是6的倍数、又是9的倍数，而且是尽量小的那个数。然后是理解各种方法的个性特点，从中作出自己的选择。接着教材介绍用集合图表示6和9的倍数和公倍数，帮助学生进一步体会公倍数的含义。

“练一练”第1题通过找2的倍数、5的倍数、2和5的公倍数和最小公倍数的操作活动，引导学生在现实情境中，进一步理解找两个数的公倍数和最小公倍数的方法，感受倍数、公倍数和最小公倍数等概念的联系与区别。第2题要求学生先在直线上照样子画出4和6的倍数，再从中找出4和6的公倍数和最小公倍数，帮助他们借助几何直观进一步丰富对公倍数和最小公倍数的理解。

学习目标：

1、学生在具体的操作活动中，理解和认识公倍数和最小公倍数，能通过集合图理解两个数的倍数和公倍数之间的关系。

2、通过自主探索、交流对比等数学活动，学习用列举的方法找到两个数的公倍

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数和最小公倍数，体会方法的合理和多样，并能在解决问题的过程中进一步培养思维的条理性和严密性。

3、学生经历探索和发现数学知识的过程，积累数学活动的经验，进一步培养自主探索与合作交流的能力，体验数学学习的乐趣。

学习重点：

理解公倍数和最小公倍数的含义，掌握求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。

学习难点：

理解、掌握求两个数的公倍数和最小公倍数的方法，并解决简答的实际问题。

课前准备：

若干张长3厘米，宽2厘米的长方形纸片，边长6厘米和8厘米的纸片各一张。

课堂研学：

课前谈话：

师：同学们，我们都有自己的学号吧？那我们一起来玩个关于学号的游戏，好吗？（好）注意听清要求。（角落里板书3,5，便于回扣）

1、请学号是3的倍数的同学起立。（找3位同学进行判别）

2、请学号是5的倍数的同学起立。（找2位同学进行判别）

师：诶，老师发现有的同学站了两次呢，站起来给大家看看！你们的学号是多少呀？（15,30,45）

他们怎么会站两次呢？你们知道吗？

生：既是3的倍数又是5的倍数。

师：你们同意吗？

好的，待会儿啊，我们就继续来学习有关倍数的内容。准备好了吗？上课！

一、

复习铺垫，唤醒旧知

师：同学们，前面我们已经学习了许多关于因数、倍数的内容，那一个数的倍数你会找吗？老师来考考你。 2的倍数？（指名回答）

师：好的，那7的倍数呢？（指名回答）对吗？

师：那怎样求一个数的倍数呢，谁来说一说？

．．．师：说得真好，那一个数的倍数|有什么特点呢？

生：一个数的倍数的个数是无限的；一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。（若说不出，就引一引）

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二、

动手操作，感悟新知

1、

师：看来同学们对一个数的倍数掌握得都很不错！接下来，我们看这样一个问题。这里有两个正方形，边长分别是6cm，8cm。（出示正方形）现在要用长3厘米，宽2厘米的长方形，分别铺这两个正方形。（停顿）想一想，可以正好铺满哪个正方形？(手指正方形，然后出示问题。) 请大家拿出这2个正方形（手拿纸，指一指），然后用准备好的小长方形在上面试着铺一铺，说一说。

师：铺好了吗？诶，可以正好铺满哪个正方形？ 生：可以正好铺满边长6厘米的正方形。

师：你认为呢？你呢？

①

师：诶，大家都认为可以正好铺满边长6厘米的正方形。为什么呢？谁能结合你铺的过程来说一说？（师指）

预设1：算式

师：你们也是这样想的吗？一起来看。（PPT图）

的确，横着铺正好铺满（ppt横铺），是因为6除以3没有余数；竖着铺正好铺满（ppt竖铺），是因为6除以2没有余数；其实也就是说6既是2的倍数（指|），也是3的倍数（指---），所以这个长方形可以正好铺满边长6厘米的正方形。(ppt铺满) 预设2：倍数，因数。（3是6的因数？我们也可以用除法算式表示成6÷3=2 ,2是6的因数，也可以表示成？）

师：你们也是这样想的吗？

好的，一起来看。（PPT图）

的确，横着铺正好铺满（ppt横铺），是因为6除以3没有余数；竖着铺正好铺满（ppt竖铺），是因为6除以2没有余数；其实也就是说6既是2的倍数（指|），也是3的倍数（指---），所以这个长方形可以正好铺满边长6厘米的正方形。(ppt铺满) ②

师：那为什么边长8厘米的正方形不能被正好铺满呢？谁也能结合铺的过程来说一说。

预设1： 8是2的倍数，但8不是3的倍数。(还有补充吗？) 预设2：8÷3=2……2，8÷2=4 师：你们也是这样想的吗？一起来看。

3

师：是呀，8除以2没有余数（ppt出示算式，竖着铺），但8除以3有余数（ppt出示算式，横着铺）也就是说8虽然是2的倍数（指|），但却不是3的倍数（指---），所以这个长方形不能正好铺满边长8厘米的正方形。（ppt铺不满）

2、

师：好的，同学们我们用长3厘米，宽2厘米的长方形正好铺满了边长6厘米的正方形，联系刚才的操作过程想一想，这样的长方形纸片还能正好铺满边长是多少厘米的正方形呢？（ppt出示题目要求和长方形）小组里交流一下。

3、

师：好了吗？（指ppt上长方形）这样的长方形纸片还能正好铺满边长多．少厘米的正方形？谁先来说一个？

．生：能正好铺满边长12厘米的正方形。（板书）

师：可以吗？

师：那你是怎样想的？

生：算式。

师：是这样吗？（ppt：①横竖铺②铺满）

师：恩，的确可以正好铺满边长12cm的正方形。（PPT：③正方形和边长）

那除了可以正好铺满边长12cm的正方形，还有吗？

①

生：可以正好铺满边长18厘米的正方形。

．．．．师：可以吗？

师：那你又是怎样想的？

A：算式

B：18既是2的倍数，又是3的倍数。

师：是这样吗？我们一起来看。（出示ppt图）

师：看来，用这样的长方形的确可以正好铺满边长18厘米的正方形。

．．．．②

师：那24厘米可以吗？你又是怎么知道的? 生：算式。

师：还有吗？（30厘米）0 师：可以吗？像这样，说得完吗？(省略号表示) 师：观察一下我们找到的这些正方形的边长，（把6补进去）它们与长方形的长、宽有什么关系？

生：

它们除以2没有余数，除以3没有余数，

师：除以2没有余数，除以3没有余数，说明它们既是2的……，又是……”；

4

师：好的，那么6、12、18、24…|这些数既是2的倍数，又是3的倍数，你能给它们取个名字吗？

生：公倍数

师：你是怎样想的？

师：是呀！6、12、18、24…既是2的倍数，又是3的倍数，它们就是2和3的-------公倍数。

师：一起来读一读。(板贴：公倍数) 4、师：那8是2和3的公倍数吗？为什么？

生： 8虽然是2的倍数，

但8不是3的倍数，所以8不是2和3的公倍数。

师：是呀！尽管8是2的倍数，但8不是3的倍数，所以8不是2和3的公倍数。

三、自主探索，深化体验

师：通过刚才的活动，我们发现6、12、18、24等等，都是2和3的公倍数。那怎样找两个数的公倍数呢？下面我们接着研究，看大屏幕。

1、研究例12：6和9的公倍数有哪些？

其中最小的是几？

师：根据我们对公倍数的认识，想一想，什么样的数就是6和9的公倍数？

生：既是6的倍数，又是9的倍数。

师：你打算怎样找出6和9的公倍数的呢？在练习纸的反面写一写，找一找。

师：谁来说说你是怎样找的？

预设1：依次分别列举6和9的倍数，然后找出其中相同的数。

ppt： 6的倍数是：

9的倍数是：

6和9的公倍数：18…，其中最小是18。

学生汇报时，如汇报少，则追问：我们再写几个。到54，… 师：她这样找可以吗？

这里为什么要加省略号？

预设1：公倍数的个数是无限的。

追问：你是怎么知道的？（达到预设2）

预设2：因为一个数的倍数的个数是无限的，所以两个数公倍数的个数也是无限的。

师：说得真好，同学们，在找两个数的公倍数时，一般要写上2-3个，再加省

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略号。所以，在列举倍数时，要多写几个（手指6的倍数，9的倍数）。

过渡：师：她是这样找的，还有不同的方法吗？

预设2：先找9的倍数，再从9的倍数中找出6的倍数。

师：你能具体说一说吗？（ppt出示）

师：还有吗？

预设3：先找出6的倍数，再从6的倍数中找出9的倍数。 学生说，教师板书。

师：真不错，同学们想到了这几种方法。找两个数的公倍数可以先分别有序列举两个数的倍数，再找出他们公有的倍数。（指1）也可以先有序列举出一个数的倍数，再从中找出另一个数的倍数。（指2,3）其实，不管用哪种方法，只要找到的既是6 的倍数，又是9的倍数，就是6和9的公倍数。

其中，最小的是18，所以我们就说18是6和9的最小公倍数。（说完贴：最小公倍数。）

4、

师：在前面公因数的学习中我们已经认识了集合图。同样的，两个数的倍数和公倍数也可以用集合图来表示。如果让你来画这张集合图，你打算怎样画？

生：这个圈表示6的倍数。

这个圈表示9的倍数。

这里表示6和9的公倍数。 师：这些数该怎样填呢？

生：这里填6和9的公倍数：18,36,54。（板贴：18,36,54）这里填6的倍数但不是9的倍数：6,12……，这里填9的倍数但不是6的倍数：9,27……

（1）若没有省略号，让其他学生补充。并问为什么，后面不用说注意点了。

你们也是这样想的吗？

（2）若有省略号，则让学生全部说完。

你们也是这样想的吗？

师：好的，我们一起完成了这张集合图。你们觉得在填数的时候有什么要注意的地方呢？

生：每一部分都要加上省略号，公倍数不要重复填。

四、巩固练习，内化提升

1、练一练”第1题。

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师：同学们，看这是一张数表。要求在2的倍数上画三角，在5的倍数上画圈，再填空。会做吗？完成练习纸第一题。

交流：2的倍数是？5的倍数是？

2和5的公倍数是？你又是怎么找的？

预设1：从图中可以看出，又是三角又是圆的，就是2和5的公倍数。

师：还有别的想法吗？（没有则观察公倍数的特征，追问：你想到了什么？）

预设2：既是2的倍数，又是5的倍数的数，个位上只能是0。

师：这与我们以前学习的既是2的倍数，又是5的倍数的数的特征是一样的。

师：这里要填省略号吗？为什么？

指出这里研究的是30以内的数，个数是有限的。

所以最小公倍数是？

2、“练一练”第2题

师：同学们，这是一条数轴。你能在上面分别画出4和6的倍数，再完成填空吗？

师：这样画对吗？

4和6的公倍数有哪些？你是怎样找到的？（共同的点）

如果学生没有省略号，则马上追问：这样共同的点后面还有吗？找的完吗？所以这里还要写上省略号。

如果学生有省略号，问：这里为什么要加省略号？

指出：这是一条数轴，后面这样共同的点还有很多，找不完。（如果学生已经说清楚了，就不用说了，肯定一下就行）

师：最小公倍数是几？

3、

练习七第9题

师：如果要你在集合圈填数，会填吗？完成第3题

师：填好了吗？谁来说说你是怎样填的？

师：这里为什么没有省略号啊？

4、

练习七第10题。

师：诶，你能找出8和20的公倍数和最小公倍数吗？

师：好了吗？谁来说说你的答案。ppt出示

追问：这里是按怎样的方法找出8和20的公倍数和最小公倍数的？

生：这里先分别找出两个数的倍数，再找其中的公倍数和最小公倍数。

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追问：除了这种方法，还有别的方法吗？

说明：还可以先找一个数的倍数，再从中找出另一个数的倍数，其中最小的就是最小公倍数。

师：你觉得在解决这个问题时，有什么要注意的地方吗？

5、练习七第11题。

学生读题

师：这个问题，你会解决吗？完成练习纸第5题。

师：这两路车第二次同时出发的时间是多少？你是怎么思考的？

师：刚才解决这个问题，我们用了列举的方法，你还有其他方法吗？

生：6和8的公倍数。

师：的确，找出的数是6和8的公倍数，就能知道他们同时发车的时间。这里求的是第二次同时发车的时间，其实也就是求6和8的最小公倍数。

五、全课总结

师：同学们，今天我们一起学习了公倍数和最小公倍数。通过今天课堂上的交流，你有哪些收获？

师：大家收获真多！回想一下，我们上课前玩的游戏，老师分别让学号是3的倍数，5的倍数的同学站起来，有的同学站了两次，现在你能用今天的学的知识解释一下。

六、板书设计

公倍数和最小公倍数

6，12，18，24，30，…

既是2的倍数，也是3的倍数

它们是2和3的公倍数。

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