复习参考题第一课时教学实录

高三理科数学高考二轮复***面向量专题

高三（

）班

姓名：

学号：

一．高考考试大纲说明：

平面向量具有几何形式和代数形式，是中学数学知识的一个交汇点。高考主要考查平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理、坐标表示、数量积及其应用。平面向量的考查重点是基础知识、基本技能和数形结合的思想方法，考查中将几何知识和代数知识有机结合，体现思维的灵活性。

二．基础知识：

1.两个向量平行（共线）的充要条件

（1）如果a0，则ab的充要条件是有且只有一个实数，使得ba（没有坐标背景）. （2）如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a||b的充要条件是x1y2x2y10(坐标背景) (3)如果OA1OB2OC(121),则A、B、C三点共线.反过来，该结论也成、OB、OC的起点必须相同) 立.(注意OA2.两个向量垂直的充要条件

（1）abab0（没有坐标背景）

（2）设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则abx1x2y1y20（(坐标背景). 3.基本定理

e1,e2不共线，存在唯一的实数对(,)，使ae1e2。若e1,e2为x,y轴上的单位正交向量，(,)就是向量a的坐标。

三．考题回放：

（2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理5）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足CMCB2CA，则MAMB

A.3

B.2

C.23

D.3

四．基本方法：

ABC60，例1.（深圳市2019年高三年级第一次调研考试理7）. 在ABC中，BC2AB2，E为AC的中点，则ABBE=

（A）2

（B）1

（C）0 （D）1

答案B →＝λAM→＋μDB→，则λμ＝练***行四边形ABCD中，M为BC的中点，若AB________．

→→→→→→→→→→解析：因为DB＝AB－AD＝AB－BC＝AB－2BM＝3AB－2AM，所以AB→→→→→→→＝λAM＋3μAB－2μAM，所以(1－3μ)AB＝(λ－2μ)AM，因为AB和AM是不共线向量，

1－3μ＝0，所以解得λ－2μ＝0，2所以λμ＝.

29λ＝3，μ＝3，12答案：

9

例2.(2018·武汉调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足|DP|＝|BQ|，则PA·PQ的最小值为 ．

（建系技巧）解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知―→―→―→0≤x≤2，－2≤y≤0.∵|DP|＝|BQ|，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵PA＝―→―→―→(－x，－1)，PQ＝(2－x，y－1)，∴PA·PQ＝－x(2－x)－(y－1)＝―→―→―→―→x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝x－2＋，∴当x＝时，PA·PQ取得最小值，为.

213412―→―→343答案：

4

五．综合应用

x2y2例3.

设双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直ab线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OPOAOB(,R)，A．32

21，则该双曲线的离心率为（ ）

8B．2 C．23

3D．2

【答案】D

bcbcbb(,,)(,Bc,)(,Pc)【解析】双曲线的渐近线为：yx，设焦点Fc,0，则Acaaaa2，b2bc因为OPOAOB，所以，(c,)(()c,())，所以，aa1,，

cbcbc2b21a211,e2，解得：，又由，得：2，解得：2，所以，2c2c8824cc选D.

bc例4.设O为△ABC所在平面内一点，已知|OA|2|BC|2|OB|2|AC|2|OC|2|AB|2，则点O 是△ABC的（

）

A．重心

B．垂心

C．外心

D．内心

.B解：由|OA|2|BC|2|OB|2|AC|2，得OAOBBCAC0，

即(OAOB)(OAOB)(BCAC)(BCAC)0，所以(OAOB)BA(BCAC)BA0，

即BA(OAACOBBC)0，即BA2OC0，所以BA⊥OC．

同理，AC⊥OB，BC⊥OA，所以点O是△ABC的垂心，故选B．

知识链接：三角形的四个“心”

重心：三角形三条中线交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的角平分线相交于一点.

2222六．课堂总结：

1.

平面向量解题基本方法：

①

②

③

2.

平面向量的综合应用：

①向量与解析几何综合

②向量与三角形四心问题综合

③向量与三角函数综合

④向量与解三角形综合

七．课后作业

1.设a、b是两个不共线的非零向量（tR）记OAa,OBtb,OC实数t为何值时，A、B、C三点共线？

1(ab),那么当3

2.已知a,b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.

），（1）试求|ab|；（2）ab与ab的夹角.

3.已知|a|1,|b|3,ab(3,1【反馈检测2详细解析】(1)|ab|(ab)2a2abb42ab

22|ab|2a2abb442ab4(2)设两个向量的夹角为，

222ab0|ab|42

(ab)(ab)ab131cos=

442|ab||ab|

2202

34.【2017年新课标Ⅱ卷，12】已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是（

）

A.2

B.【答案】B 【解析】解法一：建系法，连接OP，OA0,3，OB1,0，OC1,0. PCPB2PO，∴POPAx,yx,3y34

C. 

D.1

23

，∴33

POPAx2y23yx2y42333∴POPA，∴

PAPCPB2POPA，∴最小值为

4222

解法二：均值法：∵PCPB2PO，∴

PAPCPB2POPA

由上图可知：OAPAPO；两边平方可得3PAPO∵

PAPO222PAPO

222PAPO，∴

2POPA33，∴

PAPCPB2POPA，

223∴最小值为. 2

5.设点P是边长为2的△ABC三边上的一动点，则PA(PBPC)的取值范围是

解：如图，设BC的中点为D，则PBPC2PD,设AD的中点为M，

则PA(PBPC)2(PM21AD2),显然，当P在B点时，PM的4值最大，此时PA(PBPC)2；当PMAB时，PM的值最小，此时PA(PBPC)9. 8

所以PA(PBPC)的取值范围是[9,2]. 8―→―→―→―→―→―→6.(2018·云南调研)在▱ABCD中，|AB|＝8，|AD|＝6，N为DC的中点，BM＝2MC，则AM·NM＝(

) A．48 B．36 C．24 解析：选C

―→ D．12 ―→＋―→AM·―→NM＝(AB―→＋―→BM)·(NCCM)＝2→2―→1―→1―→1―→2―→1―AB＋3

AD

·2AB－3

AD

＝2AB2－9AD2＝2×82－9×62＝24. ―→7.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝(

) 3―1―3―1―→1―→→3―→→1―→→3―→A.AB－AC B.AB－AC C.AB＋AC D.AB＋AC

44444444―→―→―→1―→解析：选A 法一：作出示意图如图所示．EB＝ED＋DB＝AD21―→11―→―→1―→―→3―→1―→＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.故选A. 222244

法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝立如图所示的平面直角坐标系，

→―→1111―则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，，E，.故AB＝(1,0)，AC22441―→―→3―→1―→113＝(0,1)，EB＝(1,0)－，＝，－，即EB＝AB－AC. 444444

π，AB＝AC＝1.建21),b(1,2cos),ab8.已知向量a(sincos，1,(0,).则sin= 、52，f(x)取得最大值时的x的cos= ，设函数f(x)5cos(2x)cos2x(xR）值是 . 【答案】43,，k,kZ

558

【名师指点】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以向量的坐标形式为背景考查的是三角函数的图象和性质及三角变换的有关知识和运用.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,依据向量的数量n积公式建立方程,求出si43,cos.然后再化简和构建函数55f(x)4si2nx4co2sx42sin2x(4)运用三角函数的图象和性质使得问题获解. 9.已知向量a=(1,2),b(1,)(R），则使a与b的夹角为锐角的的范围为 1．ab0且ab∴120且2即入(,2)(2,)．

2

―→―→10．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量CD在AB方向上的投影是(

) A.32 232B．－

2D．－35 C．35 ―→―→―→―→解析：选C 依题意得，AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，AB·CD＝(2,1)·(5,5)＝15，―→―→AB·CD15―→―→―→|AB|＝5，因此向量CD在AB方向上的投影是＝＝35. ―→5|AB|S△ABP―→―→―→11.已知点P是△ABC内一点，且BA＋BC＝6BP，则

＝(

) S△ACP1A. 21C. 41B.

31D.

5―→―→―→―→―→解析：选C 设点D为AC的中点，在△ABC中，BA＋BC＝2BD，即2BD＝6BP，S△ABP1S△APD1S△ABP1―→―→所以BD＝3BP，即P为BD的三等分点，所以＝，又＝，所以＝. S△APD2S△APC2S△ACP4

12.

已知点O为△ABC内一点，AOB120，OA1，OB2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则OEEA的值为（ ）

A．C．33 B．

281425 D．

714【答案】A

【解析】S△OAB根据13OAOBsinAOB，ABOA2OB22OAOBcos1207，22等面积法2得2OD217，38所以OEEAO121．

DEED272AOEED13.如图，在ABC中，ADAB,BC3BD,AD1，则ACAD的值为（

）

A．1

B．2

C．3 D．4 【答案】C

14. 在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC3acosBccosB，BABC2，则ABC的面积为（ ）

A．2 B．【答案】C

3 C．22 D．42

2s【解析】由bcoCsiBnCcosA3sBina3cBosc，根B据正弦定理可得CcB，，1osB2sinBC3sinAcosBsinA,cosB；再根据BABC2，得cac31ac6，所以ABC的面积为acsinB22，故C为正确答案．

2

x2y212.已知椭圆221(ab0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且abACBC0，|OCOB|2|BCBA|．

（1）求椭圆的方程；

（2）若AB上的一点F满足BO2OA3OF0，求证：CF平分∠BCA．

解：（1）易知a2．由|OCOB|2|BCBA|，得|BC|2|AC|，即|OC||AC|．

又ACBC0，所以∠BCA=90º，即△ACO为等腰直角三角形，所以C(1,1)

x2324x2y22又C点在21上，所以b．所以椭圆的方程为y1．

4434b（2）证明：由BO2OA3OF0，得BOOA3(OAOF)0

所以BA3FA，所以F分BA所成的比2，所以所以

|BF||FA|2．又|DB||CA|2，

BFCB，故由角平分线定理知CF平分∠BCA．

FACA模块一：平面向量基本知识（早练）

NO.1平行与垂直

1.【2018年新课标Ⅲ卷，13】已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c∥2a+b，则________．

2.【2016年新课标Ⅱ卷，3】已知向量a(1且(a+b)b，则m =（

）

，m)，b=(3，2)，A．-8

B．-6

C．6

D．8 3.【2015年新课标Ⅱ卷，13】设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数= ____________．

4.【2016年新课标Ⅰ卷，13】设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab||a||b|，则222m

．

NO2数量积公式

5.【2018年新课标Ⅱ卷，4】已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)（

）

A．4

B．3

C．2

D．0

6.【2012年新课标卷，13】已知向量a，b夹角为45°，且|a|1，|2ab|10，则|b|_________．

7.【2013年新课标Ⅰ卷，13】已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.

b的夹角为60°8.13】|a|=2，

| b |=1，【2017年新课标Ⅰ卷，已知向量a，，则| a +2 b |=

．

rrrrrrrr9.【2014年新课标Ⅱ卷，3】设向量a,b满足|ab|10，|ab|6，则ab=（

）

A．1

10.【2014年新课标Ⅰ卷，15】已知A，B，C是圆O上的三点，若AO则AB与AC的夹角为

.

NO.3平面向量基本定理

11.【2015年新课标Ⅰ卷，7】设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（

）

B．2

C．3

D．5 1(ABAC)，21414ABAC

B．ADABAC

33334141C．ADABAC

D．ADABAC

3333uuv13uuuv31BA(,)BC(,)22

，22

，12.【2016年新课标Ⅲ卷，3】已知向量则ABC（

）

A．AD(A)30

(B)45

(C)60

(D)120

13.6】【2018年新课标Ⅰ卷，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB

A．C．31ABAC

4431ABAC

44

B．D．13ABAC

4413ABAC

44NO.4综合运用

14.【2013年新课标Ⅱ卷，13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD_______.

15.【2017年新课标Ⅱ卷，12】已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是（

）

A.2

B.

34

C. 

D.1

23

16.【2017年新课标Ⅲ卷，12】在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABAD，则的最大值为（）

A．3

B．22

C．5

D．2