2.5.2 向量在物理中的应用举例特级教师教学实录

第33讲

平面向量的应用

1．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则(B) A. |v1|<|v2|

B. |v1|>|v2| C. |v1|＝|v2|

D. |v1|与|v2|的大小不确定

2．(2017·新课标卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(A) A．a⊥b

B．|a|＝|b| C．a∥b

D．|a|>|b|

(方法一)因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2.所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，

所以a·b＝0，所以a⊥b. (方法二)利用向量加法的平行四边形法则．

→→在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，

→→由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，

从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b. →→→→→→→→3．已知O、N、P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，且PA·PB→→→→＝PB·PC＝PC·PA，则点O、N、P依次是△ABC的(C) A．重心、外心、垂心

B．重心、外心、内心

C．外心、重心、垂心

D．外心、重心、内心

→→→

由|OA|＝|OB|＝|OC|知，O为△ABC的外心．

→→→由NA＋NB＋NC＝0知，N为△ABC的重心．

→→→→→→→→→由PA·PB＝PB·PC⇒(PA－PC)·PB＝0⇒CA⊥PB，

→→→→同理，AP⊥BC，CP⊥AB，所以P为△ABC的垂心．

4．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为(D) A．[－2,2]

B. [－2,3]

C. [－3,2]

D. [－3,3]

因为a⊥b，所以2(x＋z)＋3(y－z)＝0，

则z＝2x＋3y，x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，

画出可行域如下：

当z＝2x＋3y经过点A(0,1)时，z＝2x＋3y取得最大值3，当z＝2x＋3y经过点C(0，－1)时，z＝2x＋3y取得最小值－3. 5．两人一起提重为|G|的书包时，两拉力的夹角为θ，每人用力均为|F|，则|F|与|G|的关|G|系是

|F|＝

. θ2cos2|G|

按力的平行四边形法则有|F|＝. θ2cos215→→→→6．在正三角形ABC中，D是BC边上的点，若AB＝3，DC＝2BD，则AB·AD＝

. 2

如图，在△ABD中，

→→→→→AB·AD＝AB·(AB＋BD) →→→＝AB2＋AB·BD

→→＝9＋|AB|·|BD|·cos 120°

315＝9－＝. 227．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2，3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围→→→成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)．

2→(1)若m＝n＝，求|OP|；

3(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

2→→

(1)因为m＝n＝，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)，

32→2所以OP＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)．

33→所以|OP|＝22＋22＝22. →(2)因为OP＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n),

x＝m＋2n，即两式相减得：m－n＝y－x. y＝2m＋n，

令y－x＝t，由图可知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.

8．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(2cos θ，2sin θ)(θ∈R)，实数m，n满足c＝ma＋nb，则(m－3)2＋n2的最大值为(D) A．2

B．4

C．8

D．16

因为c＝ma＋nb，

所以(2cos θ，2sin θ)＝m(1,1)＋n(1，－1)，

m＋n＝2cos θ，

①所以

m－n＝2sin θ，

②①2＋②2得m2＋n2＝1. 22π①＋②得m＝cos θ＋sin θ，即m＝sin(θ＋)．

224所以－1≤m≤1. 所以(m－3)2＋n2＝10－6m≤16，

即(m－3)2＋n2的最大值为16. 1→→9．已知A(a,0)、B(3,2＋a)，直线y＝ax与线段AB的交点为M，且AM＝2MB，则a＝

2－4或2

. →→

设M(x0，y0)，由AM＝2MB，得

(x0－a，y0)＝2(3－x0,2＋a－y0)，

x0－a＝6－2x0，1则又y0＝ax0，

2y0＝4＋2a－2y0，

3x＝6＋a，0所以1解得a＝－4或2. ax＝4＋2a－ax，0201110．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于E，求证：BE＝BA. 34

→→

如图，设OA＝a，OB＝b，

1→1→则BD＝a，OD＝b＋a，

33→设OE＝ma＋nb，

m1因为O，E，D三点共线，所以＝.①

n3→→→→AE＝OE－OA＝(m－1)a＋nb，AB＝b－a，

m－1n又A，E，B三点共线，所以＝，即m＋n－1＝0.②

－1113由①②解得m＝，n＝3m＝，

44→13故OE＝a＋b. 4411→→→13所以BE＝OE－OB＝a＋b－b＝a－b，

4444→又BA＝a－b，

1→1→所以BE＝BA，即BE＝BA. 44