探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期ppt课件配套教案内容

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

一．教学课题

本文所选内容是普通高中课程标准实验教科书数学人教A版必修4第一章第4节的内容。其一，三角函数是基本初等函数之一，它是描述周期现象的重要数学模型，是函数“大家庭”的一员，基本初等函数所具有的共性在三角函数中都有体现，但是三角函数也具有其个性化的特征，如图象、周期性、单调性（周期单调）等，所以这一节内容有着承上的作用。其二，在复习三角函数定义之后，必然要研究三角函数的性质，研究函数的性质最常用、最直观、最形象化的手段就是作出三角函数的图象，再通过函数图象加以研究，从这一角度看，作出函数图象不是目的，只是过程和手段，目的是通过函数建立三角函数解决具有周期变化规律的这一类实际问题。三角函数是中学数学的重要内容之一，也是学习高等数学的基础。研究办法主要是代数变形和图象分析。因此三角函数的研究已经初步把几何和代数联系起来了。本章的知识既是解决实际生产问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础。因此，本节课的学习有着极其重要的意义与地位。

二．教学对象

高一年级上期

三．教学课型与教法

课型：新授概念课 教法：探究——归纳——练习

四．教学目的

知识与技能

1.

会用正弦线画正弦函数图像，会利用平移作余弦函数的图像，掌握正弦、余弦函数的图像及特征，掌握利用图象变换作图的方法，体会图象间的联系；

2.

会用“五点法”画出正弦、余弦函数的简图。

过程与方法

1.

通过动手作图，合作探究，体会数学知识间的内在联系；

2.

理解用单位圆作正弦函数图像的方法，体会数形结合的思想；

3.

理解并掌握用“五点法”作正弦函数图像的方法；

4.

学会利用图像变换作图的方法，体会数形结合的思想。

情感、态度与价值观

1.

通过本节的学习学会寻找、观察数学知识之间的内在联系；

2.

激发数学的学习兴趣；体会数学的应用价值；

3.

通过作图使学生感受波形曲线的流畅美、对称美，使学生体会周期变化的奥

秘。

五．学情分析

1.学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数的诱导公式，并且刚学习三角函数线，这为用三角函数线作图提供了基础，学生已具备初等函数、三角函数线知识，为研究正弦函数图象提供了知识上的积累。但能不能正确应用来画图，这还需要老师做进一步的指导；

2.高一的学生具有一定的观察能力，多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，结合学生自己动手画图等交流互动方式，引发学生的兴趣，引导学生一步步达成教学目标。

3.处于高一阶段的学生，其思维已经具备了较强的逻辑性，具有了一定的数形结合能力和特殊与一般的思想，但还不完善、不全面。

六．教材分析

1教什么：因为函数的图象是研究函数的基本方法，可以通过图象得到对它的性质的直观认识。对以后的求解问题有很的帮助。教如何利用几何法以及五点法画出正弦、余弦函数的图像。

2.教材怎么处理：通过观看“简谐运动”实验、课件的演示，学校优越的电脑多媒体资源——PPT、实物投影，几何画板等辅助教学，起到形象，直观，美观，高效的目的。借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，使问题变得直观，易于突破难点。

3.我怎么处理：首先通过复习回顾，解决本节课基本的思想问题，如何建立数轴，为什么可以将角体现在数轴上。再通过问题的提出，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，引导学生关注正弦函数的图象以及作法；并借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调学生“活动”的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的。

七．教学重点

正弦函数、余弦函数的图象的作法。

八．教学难点

将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.。

九．教具，用具

PPT、几何画板

十．教学过程：

教学环节

一、复习回顾（5分钟）

教学内容

师生互动

设计理念

课前两分钟：

1.如图所示，将单位圆12等分，请在单位圆上标出下列各正角的弧度数，并作出各角的正弦线。

师：引导学生正确标弧度数以及画正弦线；强调正弦线是有向线段。

利用课前两分钟，让学生回顾角度制和弧度制的互换，并作出正弦线，为几何法作图做准备。

复习回顾：

1.

弧度制的意义：角和实数一一对应的关系。

2.

任意角正弦函数的定义:实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系;一个确定的角对应着唯一确定的正弦（或余弦）值.任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx与之对应。由这个法则所确定的函数 y=sinx叫做正弦函数，其定义域为R。

3.

正、余弦线：

sin=MP

cos=OM

二、新课引入

以前，我们已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等，对于各种函数，我们都可以通过它的图象研究它的一些相关性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等。

精心设计课堂导入，能在较短的时间内吸引学生的注意力，激发其浓厚的学习兴趣，促使其主动参与课堂，同时让学生对正弦函数、余弦函数的图象有了一个直观的印象。对教学任务的顺利实施也能起到很好的辅助作用。有时候做实验

那么正弦、余弦函数的图像到底是什么样子呢？为了获得正弦函数和余弦函数的图象，我们先看一个简谐振动的实验，请注意观察他的图象特点。

沙子落在木板上的轨迹是一条曲线，它就是简谐运动的图象。在物理中把该图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”

误差相对较大，这时候通过多媒体手段可以让正弦函数、余弦函数图象更形象更直观，且给人以美的享受。

3.图象展示

教师利用几何画板画出正弦函数、余弦函数的图象。

三、合作探究（20分钟）

提问：通过上述实验让我们对正弦函数的图象有了一个直观的印象，但是，要研究函数的性质，我们还需要比较精确的函数图象，如何画出函数ysinx,x0,2的图象呢？

问题引导：

1.

做函数图像的基本步骤是什么？

2.

按照这三个步骤画正弦函数图象，列表要列哪些值呢？

23，，，，22643这样的值要如何度量呢？

3.

能否利用已经学过的有关知识，较为准确的刻画正弦值呢？

我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数，那怎样用它来帮助作三角函数图象呢？

思考：如何得到图象上的一个点，即对于自变量x

，如何利用正弦线确定它所对应y的值（2）为什么要从单位圆与x轴交点A

开始，将单位圆分成12等分？

通过问题的提出，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，引导学生关注正弦函数的图象以及作法；，

建立单位圆的三角函数线与三角函数图象之间的联系，引出利用正弦线作正弦函数图象的方法。

使学生认识这样可以把正弦函数有代表性的取值都包括在内，以便较准确地作出图象，体会用学过的“描点法”作图象取点的技巧和合理性。

（3）如何利用正弦线描出正弦函数图象上的一些点呢？

利用正弦线画正弦函数ysinx,x0,2的图象。

通过学生“作品”和几何画板相结合，边讲解归纳画图的主要步骤，如下：

进一步明确如何利用单位圆中的正弦线画出正留5分钟左右的弦函数图象。

时间给学生画

ysinx,x0,2

的图像，

画完后教师通过实物投影展示学生“作品”，并表画正弦函数的图象是本课时的重点，也是难点。让学生动手画图，同时辅以教学课件的演示，生动形象。既培养学生的动手能力，又引导学生认真观察指导学生进行分组讨论交流，促进学生知识体系的建构和数学思想方法的形成，注意面向全体学生，培养学生勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流能力。

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份.把x轴上从0到2这一段分成12等份. 扬认真积极画图的同学；

第二步：在单位圆中画出对应于角0,，，,…，632

2的正弦线. 把角x的正弦线向右平移，使得它的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点。 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数ysinx,x0,2的图象。

(5) 画完后提出问题：

引导学生，

①为什么要把圆12等份？16等份可以吗？其他等份又可以吗？

当然可以，16等份画出的更精确，因为我们知道描的点越多，图象越精确。我们分12等份，主要是这样分

引导学生，

完有代表性的取值都包含在内，而且刚好所有的点都对

应特殊的角，可以算出正弦值，自然也就可以对应列表、

描点、连线的方法。

②画图过程中引入正弦线的目的是什么？为什么不用

传统的列表、描点、连线方法处理？（对这个问题的处

理可以相对灵活。如，笔者授课的二个班级，平行班以

课前预习思考题形式再课堂讲解；实验班当堂设问）

为什么要用三角函数线去作正弦函数的图象，实际上是

不得已而为之，在学生眼中作出ysinx的图象可以

用列表法，但是当x取一个值时，sinx不知道是多少，

除非x取一些特殊值，在此背景下，正弦线是代替函数

值最佳的办法。

思考：如何利用正弦函数周而复始的变化规律，画出正

弦函数ysinx(xR)的图象？

因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数

x2k,2(k1),在，

ysinx

(KZ,K0)的图象与函数ysinx,x0,2的

利用正弦线画图的利弊讲后学生会懂，但是讲评前未必会思考，更进一步用这种方法作出函数图象又是另一回事，需要学生去亲身体验。这种画法在学生眼中是一个创新之举，在方法上是一个突破。

引导学生利用诱导公式（一），只要将函数ysinx,x0,2图象左、右平移（每次2

个单位长度）就可以得到正弦函数图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数ysinx，xR的图象，即正弦曲线。

ysinx，xR的图

利用正弦线的方法作正弦函数图象虽然精确，但太麻烦，不容易操作。自然我们想寻求快捷地画出正弦函数的图象的方法，如何才能更快地画出正弦函数的图象？

请同学们观察在[0,2]

上正弦函数的图象，它上面哪几个点对函数图象的确定起关键作用？为什么？（基本确定图象的形状）

以我们只要画出这五个点五个关键点：(0,0) ((,0) (,1) 23,-1) (2,0)，这个图形就基本确定了。因2此，在精确度要求不太高时，我们一般可采用这种方法来画三角函数图象帮助我们分析。这种方法我们称之为：五点法。

象）。

新方法再好，但是过于麻烦，通过“三角函数线”作出正弦函数图象后，在学生熟悉其图象特征后，设计了“思考”环节，目的明确，提醒学生；从对图象的整体观察入手，引出描点法应该描哪些点，在此基础上，指出了“五点作图法”。

四、指导个别学生例1 请用“五点法”

画出函数y1sinx,x0,2例进行画图，对五题个关键点进行的简图。 讲强调。

解：按五个关键点列表 解（15分钟）

通过例题检验学生对“五点法”画图的掌握情况，巩固画法步骤。

利用正弦函数的特征描点画图：

五、先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善。

课1.

正、余弦函数的图象可用三角函数线、五点法做得，堂小两种方法都有各自的特点，其中由“五点法”得到结的图象较为常用，应熟练掌握，牢记五个关键点。

（5分2.

正弦函数图像的特征。

钟）

让学生小结本节课主要知识，在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象认知，同时养成学习——总结——学习的良好习惯。培养学生归纳总结和语言表达能力，自主构建知识体系。

十一．板书设计

一．正弦函数的定二．五点法画正弦例1 义

函数图像