信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象课时教案

2018年“一师一优课、

一课一名师”晒课节点

余姚市高风中学

周宁旦

序号：3712

学科：高中数学

版本：人教A版2003课标版

年级：必修4 章节：第一章三角函数1.4 三角函数的图像与性质之信息技术应用

节点：信息技术应用

利用正切线画函数ytanx,x(,)的图象

22一、教学设计：

（一）教学任务分析

1.利用单位圆与几何画板的动态演示功能发现正切线的变化规律，让学生发现正切函数图象的运动变化原理；

2.在动态变化中发现伴随点与主动点之间的对应关系，寻找并建立两者间的数量关系。

3.追踪伴随点，动态生成函数ytanx在(,)上的图象；

2223)上的图象。

24.引导学生课外探究：改变伴随点的数量关系，可以画出ytanx在(,]和(,5.引导学生理解：正切函数图象是由被互相平行的直线x无限逼近直线x间内只增不减。

6. 用几何画板自带功能生成ytanxxk,kZ所隔开的无数多支曲线组成；每支曲线2k,kZ。直线xk,kZ是正切函数所特有的渐近线。正切函数在每个单调区22k,kZ的图象，验证动态生成图的正确性；

27.通过动态作图，让学生真切地抓住正切曲线的特点，会用纸笔画出其简图。

（二）教学重点、难点

重点：1.会用几何画板中的功能键，利用单位圆动态生成正切函数在(,)内的图象；

222.会用纸笔画出正切函数的简图。

难点：1.通过正切线的变化规律，发现要将单位圆中的正切线通过平移转化为正切函数图象上的点，需用借助几何画板功能键建立伴随点与主动点之间的对应关系和数量关系；

2.在单位圆中若以动角的弧度数为伴随点的横坐标，只能画出x(内的图象；若度量动角对,)2233应的弧长的弧度作为伴随点的横坐标，可以画出x[0,)(,)(,2)上的图象。

22223.曲线无限逼近xk,kZ，xk,kZ是正切曲线的渐近线。

22（三）、教学基本流程

借助单位圆理解任意角的正切线的几何表示

利用几何画板的动态演示功能展示正切线的方向与长短随弧度角x变化的规律

在动态变化中发现伴随点与主动点之间的对应关系，寻找并建立两者间的数量关系



追踪伴随点，动态生成函数ytanx在(,)上的图象

22

3

引导学生课外探究：改变伴随点的数量关系，可以画出ytanx在(,]和(,)上的图象

22

1 / 6

问题

引导学生理解：正切函数图象是由被互相平行的直线x每支曲线无限逼近直线xk,kZ所隔开的无数多支曲线组成；2k,kZ。直线xk,kZ是正切函数所特有的渐近线。正切22函数在每个单调区间内只增不减。

利用几何画板自带功能，画出ytanxxk,kZ的图象，验证动态生成图的正确性

2经历几何画板动态作图后，会用纸笔画出正切函数的简图

（四）、教学情景设计

设计意图

师生活动

教师抛出问题，激发学生的学习欲望

教师边讲解，边示范，带领学生一起经历作图过程。

在作图过程中，教师引导学生思考怎么设置图形可以更简洁美观。

说明这么做的理由。

1.我们已经会利用单位圆在纸上画出任意角的正切线，今天要借助信利用维果斯基的“最近息技术和几何画板的动态功能来画任意角的正切线和正切函数在发展区”理论,让学生再次体会单位圆在研究正(,)上的图象。

切函数时起的作用。

222.我们先回顾单位圆上的正切线在x(内的变化规律：

,)22①打开几何画板，点击菜单栏“绘图”选项，在下拉菜单中选“定义坐标系”，之后选

“隐藏网格”。

②先拖动单位红点，把坐标拉大，便于呈现细节和操作。再在横坐标上取点（-3，0）作为单位圆圆心，再取（-2，0）作为单位与横坐标的交点，此时圆半径正好1个单位。具体操作如下：

在“绘图”菜单中选“绘制点”，在“直角坐标”下，将横纵坐标分别改为-3和0，先点击“绘制”，再点击“完成”；同样方法画点（-2，0）。

③先点中（-3，0），再点中（-2，0），在“构造”下拉菜单中选“以圆心和圆周上的点作圆”；选中圆，点击右键，在“颜色”选项选黑色。

①引导学生在作图过程中慢慢熟悉几何画板的几个简单操作；

②理论上在直角坐标系中任取一点作为单位圆圆心，画单位圆。

但为了操作便捷和后期画面的简洁美观，取特殊点画单位圆更有优势。

③黑色单位圆更显眼，有利于衬托后面的各类彩线。

2 / 6

点击左侧菜单栏里的“A”，将点(-2,0)定义为点A，将(-3,0)定义为B,将点(0,0)定义为O。

④点击左侧菜单栏里的“取点”功能，在单位圆上任意取点，定义为B。选中O1和B，在“构造”下拉菜单中选“射线”。选中射线，把颜色改成显眼的蓝色。

⑤选中点A和x轴，在“构造”下拉菜单中选“垂线”；选中垂线，将它改成“细线”和“虚线”。选中射线O1B与垂线的交点，定义为T点。选中A点和T点，在“构造”下拉菜单中选“线段”，将有向线段AT改成“中线、实线和红色”。选中点O1和x轴，画x轴的垂线，改成“细线、虚线和黑色”；

⑥选中A,O1,B三点，在“度量”下拉菜单中选“角度”；选中角度标

3 / 6

④⑤更改几条辅助线的粗细与颜色，是为了衬托主要线段，也为后期作铺垫，在变化过程中，让学生的视线在第一时间抓住要点。

⑥通过对角度制和弧度制的对比，让学生在实践操作中认识到：高中新学的弧度制比初中学的角度制更具有一般性和应用的广泛性。培养学生的数学应用能力。

因学生平时极少接触几何画板，跟着老师作图总会出各种状况，教师要及时发现、及时指导、及时修正。

教师提出探究问题，学生通过模仿摸索并体验几何画板强大的作图功能。

签，在“编辑”下拉菜单中选“参数选项”，在“单位”菜单的“角度”菜单中“弧度”。这样成功度量出了AO1B的弧度数。⑦抛出问题：度量AT的长度与度量点T的纵坐标有区别吗？

引导学生分析：度量AT的长度，得到的是非负数，无法表示有向线段的正负方向。度量点T的纵坐标，不仅能表达线段AT长短，还能表示线段正负。

⑧几何画板的动图，很好地展现了数形结合⑦选中点T，在“度量”下拉菜单中选“纵坐标”，跳出“yT

”。

数学思想。

⑧拖动点B，让其在(

教师一边带领学生作图，一边引导学生思考正切函数在内,)22变化规律和值域与动图所呈现是否一致。

(的弧上运动。此时红色的正切线AT，从,)22方向运动到方向，旁边度量的数据显示有向线段AT的数值yT在(,)内变化，很直观地展现了正切线随弧度角AO1B的变化而变化的动态过程。

3.借助几何画板的动态演示功能，我们画出正切函数在x(,)内22

①使学生明确，我们将要建立的新点的横纵坐标满足函数关系。

②对伴随点T`的双重确的图象：由2知：正切线AT的纵坐标yT随AO1B弧度的变化而变化。我们将AO1B的弧度数作为自变量x，将正切线AT的纵坐标yT作为应变量y，建立函数关系。

①先选中AO1B的弧度数，在“绘图”下拉菜单中选“在轴上绘制点”，绘制伴随点在x轴上的投影点B’的横坐标。

老师提示伴随点与主动点之间的对应关系，并寻找其中的一一对应的数量关系。

学生在老师的提点下积极动手实践操作

学生在实践

4 / 6

②再依次选中AO1B的弧度数和yT，在“绘图”下拉菜单中选“绘

认，使学生在动图中更好地理解两个实数之间标，出现标签的横纵坐标正是T':(AO1B的弧度数，yT)。

“一一对应”的函数关过点B’作x轴的垂线，过点T作AT的垂线，发现它们的交点也正是系。

点T’。在下拉“显示”下拉菜单中选“追踪绘制的点”，即追踪T’。 追踪点的轨迹是几何画板具有的强大功能。动

态呈现：点动成线这个

原理。

这一步操作，极大地激

发了学生的学习积极性

和想进一步探究的强烈愿望。

③横纵坐标值同时随点③过点O1作x轴的垂线，缓慢拉动点B在(,)范围运动，

B的运动而实时变化。动22点动成线，红色的轨迹即是ytanx在一个周期内的图象。态效果完美呈现。

④这里，不仅让学生进一步理解了渐近线的概念和作用。还让学生清晰地看到正切函数所独有的性质与特征，与正

余弦函数的图象有着本④观察发现：当点B在单位圆中无限接近时，动点T`产生的红质区别①②通过实践操2作，使学生明白要生成色轨迹无限接近直线x；当点B在单位圆中无限逼近时，红完美的图象并不是一件22想当然的事，需要亲自色轨迹无限逼近直线x；称直线x为正切函数图象的渐近实践、探究。在探究中22线，它是正切函数图象特有的性质，与正余弦函数图象有本质区别。

发现问题，解决问题。

制点”，出现的新点就是关键的伴随点，改标签为T`。度量T`的坐4.引导学生课外探究：改变伴随点的数量关系，可以画出ytanx

操作中加深理解作图过程中的函数关系

，

教师带领学生马上画出两条虚线x。

2在动态作图和数形结合的角度理解“渐近线”的概念。

3在(,]和(,)上的图象。

22那么当点B在二、三象限运动时，伴随点T’的轨迹是什么呢？

根据刚才的原理与操作，有兴趣或学有余力的同学，可以在课外试试

5．平时利用信息技术解决函数图象问题时，每次动态生成图象的过程效率太低。几何画板研发者已经帮我们设置好了快速画出各类函数的功能键。同学们猜一猜、找一找，这些键藏在哪个菜单里？

在“绘图”下拉菜单中选“绘制新函数和tan”，用几何画板自带功能生成ytanxx在发现、探究、解决问题的过程中培养学生的动手能力和积极的三观：积极思考带来积极结果与突破。

抛出问题，引导学有余力的学生课后去充分讨论和思考。

k,kZ的图象，验证动态生成图的2正确性；在跳动的括号里输入x成tan(x)

按确定。立即生成无数

5 / 6

①从微观处入手，在宏观中结束。

②致敬软件开发者，将常人认为复杂且难处理的问题，用他们的智慧和软件轻松地给出了解决方案。

激发学生的探究欲望。

培养学生对软件编程的兴趣与乐趣

支优美的正切曲线，与我们动态生成的图象完美契合！

带领学生从具体事例中总结反思出解决一类问题的经验和简便方法

带领学生在实践操作与经历技能的过程中学会总结与反思

老师引导学生抓住画简图的重要线与重要点。

6．当我们离开电脑，失去信息技术和几何画板的协助时，怎么用纸笔较为精确地画出正切函数的简图呢？

请同学们回顾刚才的作图过程，找出几个关键点

①建立适当的坐标系，以近线，如x为单位，标出几个关键坐标，画出几组渐22,3，建立几个单调区间。

2②在[0,)内，用光滑曲线作图。由奇函数的对称性在x(,0)内，22画出另外半支图象

③将(内图象，分别平移到相邻的单调区间内。

,)22思考：在纸笔画图时，你们出现了哪些问题？我们需要注意什么？

答：在无穷远处，每支正切曲线无限延伸，无限逼近直线2我们在画图时注意，图象与任意一条渐近线都不能相交，尤其不能“越界”；

7．小结：你能谈谈这节课的感受吗？

在回顾过程中，使学生老师启发

信息技术下的数学动态作图有什么优势和收获？

反思过程，温故知新。

学生回答

8.作业：有兴趣同学在课后，可以在几何画板上画一画课堂有限，探究无限。

激发并培养让学有余力的学生，得学生的动手ysinx,ycosx和形如yAtan(x)B(A,0)的图象。

到更多更远的发展

能力。

二、课件及资源：见教学设计、和几何画板成图。

三、课堂实录：见光盘。

四、评测练习：无。

xk,kZ，但永远不会到达。

6 / 6