小结特级教师教学实录

平面向量小结教学设计

——三角模型在向量问题中的应用

浙江省富阳中学

刘欣欣

一、教材分析

1.

地位与作用

本节课是人教A版普通高中课程标准试验教科书必修4第二章《平面向量》小结。

平面向量是近代数学中重要的基本概念之一，是联系代数和几何的重要工具。本节课位于专题复习课之后，通过本章节的学习，学生已经了解了平面向量的实际背景，理解了平面向量的概念，会用平面向量基本定理从代数和几何两种角度解决向量问题，掌握了向量的线性运算及其数量积等知识。并且通过两节专题复习课，学生已经掌握了在解决向量问题中常用的三种方法：基底法、坐标法和几何法，会运用投影、三点共线等向量中的几何含义解决问题。在分块掌握向量的内容之后，本节课重点需要解决是用联系的眼光整合和提炼向量的知识、建构知识体系和框架，如：挖掘加法、减法、数乘、数量积之间存在的关系。

2.

学情分析

认知基础：平面向量是必修四第二章的内容，在学习本节课之前，学生已经进行了平面向量专题复习课，掌握了平面向量基本定理，会用基底法、坐标法、几何法解决向量问题。已经学会利用向量这个工具从数和形两个角度思考和解决问题。

能力基础：本节课的授课对象为高一学生，已经学会用基本方法解决向量问题，但是用联系的眼光看待数学的能力较弱，所以我用“串联”和“并联”的方式，加深学生对向量这个章节内容的再理解。

可能障碍：学生知识储备尚浅，根据问题特征选择最佳方法的能力较弱，无法进行有效的整合和提炼。

二、教学目标

1.

知识与技能

（1）掌握用平面向量基本定理解决向量问题，推导一般性质，如：“极化恒等式”、“三点共线”等；

（2）掌握对数量积的两种理解，并且能根据已知条件选择正确的理解方式；

（3）学会用基本模型将向量问题进行归纳和提炼；

2.

过程与方法

通过平面向量基本定理，推导得到“极化恒等式”；通过研究问题得到简化的真正原因，学会根据已知条件选择对数量积的两种理解——“极化恒等式”或“投影”；通过对模型进行简单变形，对所研究问题进行扩展和延伸，并且进行类比学习和思考。

3.

情感态度与价值观

通过本节课的学习，提高独立思考、提炼和归纳的能力，学会用联系的眼光看待所学知识，建构自己的知识框架和知识网络，感受从形的角度解决向量问题，感受以形助数的美妙。

三、教学重难点

重点：通过变形模型，能用“极化恒等式”、“投影”、“三点共线”解决相关的向量问题。

难点：从平面向量基本定理出发，学会用联系的眼光，提炼和归纳向量的知识体系。

四、教学方法

通过引例、建模、探究、变模、构建知识网络的教学程序，采用问题驱动、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生分析问题和解决问题的能力，借助幻灯片、几何画板的辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围。

五、教学基本流程

（一）引例探究、温故知新

两个向量的数量积等于它们和向量的平方减去差向量的平方的1/4 【分析】明确基底向量是解决这道题目的关键，然后利用平面向量基本定理将所求向量转化成基底向量，继而解决问题。在选择基底向量的过程中，应该选择模长和夹角信息充分的向量作为基底。

【设计意图】这道题目本身难度不大，但是解题过程中用到的平面向量基本定理是我们解决向量问题的基础方法，题目中涉及到的图形也是我们解决复杂的向量问题时的基础模型。通过这道简单的题目，巩固上节课在解决向量问题中的三种方法：基底法、坐标法、几何法；提炼模型中涉及到的向量的几何含义，如：加法、减法、数量积，推导得到极化恒等式，为后续模型的变形，以及对数量积的再理解做好准备。

【小结】极化恒等式的两种表示：

极化恒等式的理解：从数的角度：搭建内积运算和线性运算之间的桥梁

从形的角度：应用在一个三角形加一条中线的三角模型中

（二）构图建模、知理夯基

思考1：为什么你会想到用极化恒等式或者三角模型？

因为BC的长度为定值

思考2：何时应该用极化恒等式或者三角模型来解决向量的数量积问题？

当两个向量的和向量或者差向量的模长是定值时，可以用极化恒等式或者三角模型来解决向量的数量积问题。

【分析】这道题目是2013年的浙江高考题，题目中的已知条件不多且不涉及具体数值，加之对于数量积的范围问题学生找不到解题的方向，所以很多学生对此犯难。若注意观察题目中的隐含条件，边BC的长度为定值，则应用极化恒等式，可以将数量积的范围问题，转化到点与点的距离问题。

【设计意图】明确运用极化恒等式解决数量积范围问题的条件，通过观察已知条件，确定解题方向。复习回顾对向量平方以及模长的理解，为独立分析和解决例2做好准备。

【小结】寻找中点，构造三角模型；

利用极化恒等式将数量积的最值问题转化成“和向量”或者“差向量”的模长问题

【设计意图】进一步掌握用极化恒等式处理向量数量积的范围问题，用联系的眼光对问题进行转化和翻译，将复杂问题简单化。

（三）研模巧变、激趣拓思

思考：如果点M是点A在BC 边上的垂足，你能发现什么与向量有关的结论？

【设计意图】通过将点M由中点变成垂足点，对三角模型进行简单变形，得到对数量积的第二种翻译——投影。学会从向量的角度，看待模型上的边角关系。

【分析】题目中涉及到三个数量积，根据已知条件的不同，对数量积有不同的理解。如已知

【设计意图】会根据已知条件，对数量积进行正确的翻译。

思考：如果点M是直线BC上的任意一点，你能发现什么与向量有关的结论？

【设计意图】通过将点M由中点、垂足点变成线BC上的任意一点，使得问题得到一般化，得到三点共线时满足的向量关系式，充分挖掘三角模型中蕴含的向量问题。

【分析】变系数是在应用三点共线解决向量问题中的常用手段，变系数的过程中体现了学生看待向量表达式时的角度和思路，是一个难点。三点共线问题最终往往转化成点与线上的任

虽然学生还未学习圆的方程，但是在初中时对圆的定义已有一定的了解，也能想到用圆来解决问题。

【设计意图】将模型变形过程中研究得到几个向量问题进行综合设问，通过分析题意，变形已知条件，将问题进行化解，抽丝剥茧，层层深入。将轨迹问题进一步深化，由直线上的点，圆上的点，升华到区域上的点，符合学生的认知过程和最近发展区。

（四）细品精析、深谙内化

问：通过本节课的学习，请你说出你有哪些收获或者还存在哪些疑问？

答：一、模型的构造和变形

本节课借助一个简单的三角模型，通过改变线段BC上的点E与线段BC之间的相对位置关系，深入研究了“极化恒等式”、“投影”、“三点共线”等三个常常出现，但又存在学习障碍的向量问题；

二、数量积的理解

明确了对数量积的两种理解方式，分别是“极化恒等式”和“投影”。通过具体的解题环节，进一步知悉了当已知两个向量本身的模长时，数量积应理解成投影；当知道两个向量的和向量或者差向量的模长时，数量积应理解成极化恒等式，为具体解题过程中对数量积的理解指明了具体方向；

三、知识的内在联系和变迁

通过不同的角度看待基本模型，向量的加法、减法、数乘、数量积都能在模型上得以充分体现。

（五）寓理于题、学以致用

课后作业：《必修4 》第

108页

习题2.4

B组

第2、3、4、5题

课后思考：你还能从平面向量基本定理出发，寻找到更多有意思的基础模型吗？

六、板书设计

平面向量小结

例题演示

——三角模型在向量问题中的应用

一、极化恒等式（点M为BC中点）

二、投影（点M为点A在BC上的投影点）

三、三点共线（点M为线BC上的任意一点）

七、课后反思

本节课从一个简单的问题出发，提炼出一个基础的三角模型，通过对该三角模型进行简单变形，串联起向量中的一系列常见问题，如：建立起了向量加法、减法、数乘、数量积等

之间的关系；推理得到数量积的两种理解方式：极化恒等式和投影；对三点共线问题进行了再理解。通过具体应用模型和对已知条件的探究，分析得到极化恒等式、投影、三点共线的适用条件，对如何根据题目题干，确定翻译和变形方向做出了明确的指导。

本节课涉及了一部分轨迹问题，而教授对象为高一学生，所以在轨迹问题的处理上，学生存在障碍，不是十分熟练。