复习参考题优秀完整教案

《几何概型专题复习》教学设计

七台河市田家炳高级中学

李伟

教学目标分析：

（1）掌握几何概型与古典概型的区别。熟练解决几何概型应用于长度、面积、体积有关的题型,熟练运用几何概型的概率公式.

（2）理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。

（3）体会类比归纳的数学思想方法，培养学生抽象概括、推理论证的数学核心素养能力。

教学重难点分析: 重点：理解并掌握几何概型及其概率计算公式。

难点：把实际问题转化为几何概型求概率的问题

教学过程：

一．情景引入：

情境一：把一枚硬币连续抛两次，两次出现的全是正面的概率？

（通过抛硬币试验活动，引领学生一起回顾古典概型的定义和特点）

情境二：通过观看视频激发学生的学习热情。欧阳修《卖油翁》中写道：“乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止。若铜钱的直径是3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴/油，则油正好落入孔中的概率是多少？

问题1：欧阳修《卖油翁》的故事中的概率属于数学中的什么问题？

问题2：几何概型的定义、特点和概率公式是什么？

问题3：你能求出欧阳修《卖油翁》的故事中的概率吗？

二．复习回顾：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点:

(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.

(2)每个基本事件出现的可能性相等. 几何概型概率计算公式

构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

问题3：几何概型与古典概型有何区别与联系？

2.古典概型与几何概型的区别：

1）两种模型的基本事件发生的可能性都相等；

2）古典概型的基本事件是有限个，而几何概型的基本事件有无限多个。

（师生共同复习回顾几何概型的定义、特点和概率公式。并且对比分析古典概型与几何概型的特点和概率公式，加深学生对几何概型的掌握）

三：专题巩固与归纳：

考点一：

与长度有关的几何概型

(1)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是？

p1(2)设p在[0，5]上随机地取值，则方程x2＋px＋＋＝0有实数根的概率为________．

42教师与学生共同分析完成，并用白板展演解题过程，形象具体直观

302解析：(1)以时间的长短进行度量，故P＝＝．

755(2)一元二次方程有实数根即

5－23p1Δ＝p2－4(＋)＝(p＋1)(p－2)≥0，解得p≤－1或p≥2，故所求概率为＝．

4255

考点二：

与角度有关的几何概型

【典例1】变式：如图四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率？

解析：因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB∠CAB30°1内，区域h为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝。

∠DAB90°3变式演练：

(2017·长沙一模)如图所示，A是圆O上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则弦AA′的长度小于或等于半径的概率为(

) 1131A.

B.

C.

D.

2324考点三

与面积有关的几何概型

【典例2】在正方形ABCD内任取一点,求使∠APB＜90°的概率？

分析:记“∠APB＜90°”为事件A 当∠APB＝90°时,点P要落在以AB为直径的圆上,所以要使∠APB＜90°,只要使点P落在圆外即可. （师生共同讨论探究，合作生成与面积有关的几何概型问题的解决办法。并适时的进行变式“在正方形ABCD内任取一点,求使∠APB90°的概率”，巩固加深学生对知识的掌握）

0≤x≤2变式训练：设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此≤y≤2点到坐标原点的距离大于2的概率是(

)

解析：如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因4－π此满足条件的概率是。

4合作展示：一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率是多少？

（由学生合作讨论完成并展示，教师分析和点评）

考点四：

与体积有关的几何概型

【典例3】在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为__________。

师生合作分析，讨论与探究完成

合作展示：在直径为6的球内随机取一个点，求这个点到球心的距离大于2的概率？

由学生合作讨论完成，并展示与点评

考点五

与线性规划有关的几何概型

【典例4】两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率？

悟·技法: 解决此题的关键是将已知两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概率问题。

解析：设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间内相见，

2当且仅当|x－y|≤。

3两人到达约见地点的所有时刻(x，y)的可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点表示，即阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性8＝。

2S单位正方形19变式练习：甲乙两船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘中至少有一艘在停泊时必须等待的概率？(师生合作讨论完成）

四：解题方法小结：对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.

五：课堂小结提升：（由学生尝试概括生成）

1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型。

的大小即P＝＝S阴影1132

2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目,几何概型的概率公式.

构成事件A的区域长度（面积或体积）P(A)全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

3.注意理解几何概型与古典概型的区别。

4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。