复习参考题课时教案

三角恒等变换习题课

11．已知函数.f(x)cosx(sinxcosx)

2(1)若02，且sin2，求f()的值；

2(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

解：方法一：(1)因为0<α<π22，sin α＝，所以cos α＝. 22222211所以f(α)＝×＋－＝. 22222(2)

因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋π22π＝sin2x＋， 所以T＝＝π. 42212121＋cos 2x111－＝sin 2x＋cos 2x 2222πππ3ππ由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 242883ππkπ－，kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为88111＋cos 2x111方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x 222222＝π2sin2x＋. 42ππ2π223π12α＋(1)因为0<α<，sin α＝，所以α＝，从而f(α)＝sin＝sin＝. 422242422π(2)T＝＝π. 2πππ3ππ由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 242883ππ，kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为kπ－881

2.已知函数f(x)sin(3x)

4(1)求f(x)的单调递增区间；

4(2)若是第二象限角，f()cos()cos2，求cossin的值．

354ππ解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z，

22ππππ2kππ2kπ由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z. 24243123π2kππ2kπ，＋，k∈Z. 所以，函数f(x)的单调递增区间为－＋31234π4π(2)由已知，得sinα＋＝cosα＋(cos2α－sin2α)，

454所以sin αcosππππ4＋cos αsin＝cos α cos－sin αsin(cos2

α－sin2

α)，

444454即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．

5当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝此时，cos α－sin α＝－2. 5当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)＝. 423π＋2kπ，k∈Z，

45由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－. 2综上所述，cos α－sin α＝－2或－5. 23,xR. 3.已知函数f(x)cosxsinx(x)3cos2x34(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间,上的最大值和最小值．

442

解：(1)由已知，有

f(x)＝cos x·sin x＋123133322cos x－3cosx＋＝sin x·cos x－cosx＋

4224213313＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝sin 2x－cos 2x

44444所以f(x)的最小正周期T＝2π＝π. 2π1ππππ－，－－，－上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，(2)因为f(x)在区间12441244f－＝－，f＝，

4．已知函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)．

π(1)求f(x)的最小正周期； (2)当x∈[0，]时，求f(x)的最大值．

2解：f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x

＝2(22πsin2x－cos2x)＋1＝2sin(2x－)＋1，

2242π＝π. 2π1212π414(1)f(x)的最小正周期T＝(2)∵0≤x≤πππ3π，∴－≤2x－≤，

2444ππ3π∴当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值，

428且最大值为f(3ππ)＝2sin＋1＝2＋1. 825已知函数f(x)＝3sinxcosx－cos2x. (1)求f(x)的最小正周期；

(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的最大值及相应的x的值．

2311π1解：(1)因为f(x)＝sin2x－cos2x－＝sin(2x－)－，

222623

所以T＝2π＝π，故f(x)的最小正周期为π. 2πππ5π，所以－≤2x－≤. 2666(2)因为0≤x≤所以当2x－πππ1＝，即x＝时，f(x)有最大值. 6232π3π，)．

226.已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈(2sin2α＋sin2α(1)若||＝||，求角α的值； (2)若·＝－1，求的值．

1＋tanα解：(1)∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)， ∴2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，

2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，

由||＝||，可得2＝2， 即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα. 又∵α∈(π3π5π，)，∴α＝. 2242(2)由·＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝.①

32sin2α＋sin2α2sin2α＋2sinαcosα又＝＝2sinαcosα. 1＋tanαsinα1＋cosα4由①式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝，

952sin2α＋sin2α5∴2sinαcosα＝－.∴＝－. 91＋tanα97.已知向量a＝(2sinx，sinx－cosx)，b＝(cosx，3(cosx＋sinx))，函数f(x)＝a·b＋1. ππ(1)当x∈[，]时，求f(x)的最大值和最小值； (2)求f(x)的单调区间．

42π解：(1)f(x)＝sin2x－3cos2x＋1＝2sin(2x－)＋1. 3πππππ2π∵≤x≤，∴≤2x≤π，∴≤2x－≤，

4226331ππ∴≤sin(2x－)≤1，∴1≤2sin(2x－)≤2，

2334

于是2≤2sin(2x－π)＋1≤3，

3∴f(x)的最大值是3，最小值是2. (2)由2kπ－ππππ5π≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，

23266π5π∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

1212即f(x)的单调递增区间为[kπ－同理由2kπ＋π5π，kπ＋]，k∈Z，

1212ππ3π≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得，

2325π11π，kπ＋]，k∈Z. 1212f(x)的单调递减区间为[kπ＋8．已知：f(x)2cos2x3sin2xa.(aR,a为常数）

（1）若xR，求f(x)的最小正周期；

（2）若f(x)在[,]上最大值与最小值之和为3，求a的值．

66解：f(x)1cos2x3sin2xa2sin(2x（1）最小正周期T666)a1 2

233662（2）x[,]2x[,]2x[,] 1sin(2x)1

26f(x)max2a1即f(x)min1a12a33a0 1，求cos2的值；

335(2)已知0，cos(a)，sin，求tan的值. 22513118解：（1）∵sincos，∴(sincos)22sincos， 39917∴(sincos)2(sincos)24sincos， 99．(1)已知0，sincos又∵0，∴sin0，cos0，∴sincos17，

35

∴cos2cos2sin2(cossin)(cossin)17；

9（2）∵0∵2且sinsin5512，

，∴cos1sin2，tan1313cos12202，∴0，

又∵cos()tan()430，∴0，∴sin()，

525sin()4，

cos()34533∴tantan[()]312. 4556131210．已知函数f(x)sin(2x)(0),直线xx1,xx2是yf(x)图像的任意两条对称轴，6且x1x2的最小值为．

2求函数f(x)的单调增区间；

（2）求使不等式f(x)3的x的取值范围．

21（3）若f(),[,],求f()的值；

3366解：（1）由题意得T,则1,f(x)sin(2x).由2k2x2k,解得6262kxk,kZ.故f(x)的单调增区间是[k,k],kZ 4分；

36363（2）由（1）可得f(x)sin(2x)，

62因此不等式等价于32k2x622k，解得kxk，

1243∴x的取值范围为k,k(kZ) 8分；

412122（3）f()sin(2),[,]，则2[,],cos(2),

6336622636

31∴f()sin(2)cos2cos(2)cos(2)sin(2)

6266262622311261. 13分．

3223611．若函数f(x)=asinx+bcosx(a,b?R)，非零向量m(a,b)，我们称m为函数f(x)的“相伴向量”，f(x)为向量m的“相伴函数”. （1）已知函数f(x)(sinxcosx)22cos2x2(0)的最小正周期为2，求函数f(x)的“相伴向量”；

（2）记向量n(3,1)的“相伴函数”为g(x)，将g(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移h(22个单位长度，得到函数h(x)，若33)6,(0,)，求sin的值；

52（3）对于函数(x)sinxcos2x，是否存在“相伴向量”？若存在，求出(x)“相伴向量”；

若不存在，请说明理由. 解：（1）f(x)(sinxcosx)22cos2x2

sin2xcos2xsin2x1cos2x2

sin2xcos2x

2sin(2x4)， 依题意得212，故． 22∴f(x)sinxcosx，即f(x)的“相伴向量”为（1，1）．

（2）依题意，g(x)3sinxcosx2sin(x)，

6将g(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

1得到函数y2sin(x)， 26再将所得的图象上所有点向左平移212个单位长度，得到h(x)2sin[(x)]，

323611即h(x)2sin(x)2cosx， 2227

63∵h(2)，∴cos()，

356524∵(0,)，∴(,)，∴sin()，

266365∴sinsin[()]sin()coscos()sin666666（3）若函数(x)sinxcos2x存在“相伴向量”，

则存在a,b，使得sinxcos2xasinxbcosx对任意的xR都成立，

令x0，得b0，

因此sinxcos2xasinx，即sinx0或cos2xa，

显然上式对任意的xR不都成立，

所以函数(x)sinxcos2x不存在“相伴向量”．

433. 108