阅读与思考 三角学与天文学主要内容及教案内容

双曲线及其标准方程

一、教学目标：

知识与技能：

双曲线的定义及其标准方程，并根据已知条件会求双曲线的标准方程；

过程与方法：

通过实例类比椭圆，引出双曲线的定义，并推导出双曲线的标准方程；

情感态度与价值观：

通过本节课学习，培养类比推理能力，提高分析问题，解决问题的能力。

二、重点难点

重点：双曲线的定义及其标准方程的推导。

难点：（1）理解2a2c，2a2c，及双曲线左、右支等不同的轨迹情形；

（2）令b2c2a2的思维过程，及焦点分别在x轴y轴上的标准方程形式．

三、教学设计

（一）情境设置

1、荆门市火力发电厂通风塔图片和演示截面图

2、初中代数中反比例函数的图象．

那么，双曲线是怎样形成的？

（二）、探索定义

1、模拟实验：取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边取其端点，在另一边中间部分取一点，分别固定在F1、F2两点处，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或合拢，笔尖就画出一条曲线．（演示模拟实验）

2、分析问题：

（1）动点M与定点F1、F2的距离之差保持怎样的关系？

（2）这个常数与|F1F2|大小关系？ （3）|MF1|与|MF2|大小关系与M点的位置有何关系? 3、定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．

①定点F1、F2——焦点．

②距离|F1F2|=2c——焦距

思考题：由定义知||MF1|－|MF2||=2a(2a>0),2c=|F1F2| 若2a<2c，点M的轨迹是什么？ 符合双曲线的定义，应是双曲线

若2a=2c，点M的轨迹是什么？ 以F1、F2为端点的两条射线 若2a>2c，点M的轨迹是什么？ 由模拟实验讨论，轨迹不存在

（三）探求方程

1、双曲线方程的推导

解：①建系设点 以F1、F2所在直线为x轴，它们的中点为坐标原点，建立直角坐标系.设点M（x,y）是双曲线上任一点，F1(-c,0)，F2(c,0)，

②写出轨迹上动点M的适合条件

由定义可知M点满足MF1MF22a

③列出方程

(xc)2y2(xc)2y22a

④化简方程

移项(xc)2y22a(xc)2y2 整理得cxa2a(xc)2y2

，

即 (c2a2)x2a2y2a2(c2a2)

由双曲线定义可知2a2c,即ac,c2a20

x2y2222设ca=b，方程整理得221a0,b0 ab这是焦点在x轴上的双曲线的标准方程，其中F1(c,0),F2(c,0)，

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

y2x21(a0,b0) F1(0,c),F2(0,c)

a2b2（四）例题讲解

例1.写出以下曲线的焦点坐标：

222222222xyxyxxyyx2

(1)1和y1(2)1和1(3)1169259154334

焦点(4,0)焦点(4,0)焦点(0,5)

焦点(1,0)焦点(0,7)

y2x2

例2 .求与椭圆1有共同焦点,且经过点A(5,6)的双曲线的459

标准方程.

解1：椭圆焦点(0,6)在y轴上，且c236

y2x2设所求双曲线方程为221(a0,b0)

ab3625

221,且a2b236

ab

解出a216，b220

y2x21

∴所求双曲线方程为1620

解2：椭圆焦点(0,6)在y轴上，由双曲线定义知:

2aAF1AF225144258

∴a216,b2361620

y2x21

∴所求双曲线方程为

1620

例3.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点（8，和Q（45，33）

6），求双曲线的标准方程.

解: 设它的标准方程为：

mx2ny21(mn0)

64m27n1

80m36n11m16

解出1n

9x2y21所以所求双曲线的标准方程为：

169

（五）应用练习

1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1).焦点分别为(-5,0),(5,0), PF1PF26，求点P轨迹方程；

(2).焦点为

(0,6),(0,6),且经过点(2,5)；

(3).焦点在x轴上，经过点

(2,3),(15,2).3222

xyyx2y221(x0) (2).1

1

(3).x答案：(1).

91632016

（六）归纳小结 椭圆与双曲线联系与区别

椭圆

双曲线

MF1MF22a

MF1MF22a

定义

x2y21

a2b2ab0

Fc,0

图形

标准方程

焦点坐标

焦点位置与标准方程的比较分母大小 关系

a、b、c c2=a2 -b2

关系

（六）布置作业

P108 习题8.3 1、3、4 y2x21

a2b2ab0

F0,c

x2y2y2x21

1

a2b2a2b2a0,b0

a0,b0

Fc,0

F0,c

若x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；若y2项的系数是正的，焦点在y轴上

c2=a2 +b2