复习参考题教案教学设计导入设计

平面向量的概念及线性运算复习课（教案）

授课教师：龚永红 授课时间：2016年10月17日

课题：平面向量的概念及线性运算复习课

课型：复习课

一、设计思路与学情分析

本节课是高三数学一轮复习的内容，主要是平面向量的相关概念，加法、减法、数乘运算的相关应用，注重方法和思想的融合，具体教学时辅以具体例子来说明主要内容，学生更容易接受。对于例题的选讲，也是按类型进行归纳，学生更容易掌握。学习是对知识内化的过程，只有学生通过自己去发现、思考、揭示数学规律，才能更好地促进素质与能力的提高。因此，本节课“重操作、重发现、重思想方法”，教学过程以学生思考、学生解决问题为主，教师意在引导点拔，充分体现以学生为主体，教师为主导的教育思想。为突出重点，突破难点，体现上述教学思想，本节课做了如下几方面的设计：

（1）从学生的最近发展区入手，逐步打开学生的思维，激发学生的学习兴趣；

（2）从问题解决的角度引导学生进入学习情境，抓住学生的思维活动，不断提高学习的要求，使其思维品质得到进一步优化。通过解题规律的揭示，交给学生不仅是问题的解决过程，更是解题的思想和方法；

（3）注意运用现代化教学设备，多让学生自己动手运算。学生通过自己操作，深刻体会探索的过程，强化记忆，加深理解。

二、教学目标

１、知识与技能目标：理解平面向量的概念及几何表示，掌握向量加法、减法、数乘的运算及几何意义；

２、过程与方法目标：在复习的过程中，激发学生内在的动力，让学生在思考，讨论，总结的过程中提升数学能力；

３、情感、态度与价值观目标：让学生学会利用向量的线性运算解决数学问题，体会平面向量与平面几何的关系，从中领悟化归与转化的数学思想；在与同学交流共同探索的过程中，培养不怕困难的精神，学会与人合作。

三、教学重难点

１、教学重点：平面向量的加法、减法、数乘运算，尤其是共线定理与基本定理的应用；

２、教学难点：用共线定理的推论：三点共线的结论解决数学问题。

四、教学方法与教学手段

教法：著名的教育心理学家布鲁纳说过：“所谓求知，是过程，不是结果”，即要把知识的形成过程体现出来，强调学生在教学活动中所表现出来的情感与态度。根据这一理论，我采用激励教学与合作探究的教学方法，让学生经历“方法接受——动手操作——合作探究——展示成果”的活动过程，使学生主动地探索知识，愉快地学习数学。

学法：让学生体验如下的学习过程：“聆听——思考——讨论——展示——感悟”。

教学手段：采用多媒体、黑板、学案相结合的方式，在教学效果优化的前提下，增大教学容量，提高课堂效率。

五、教学过程设计

教学设计过程

一、展示本节内容高考考试大纲说明

（1）平面向量的实际背景及基本概念

①了解向量的实际背景；

②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义；

③理解向量的几何表示. （2）向量的线性运算

①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义；

②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个 向量共线的含义；

③了解向量线性运算的性质及其几何意义；

④了解平面向量的基本定理及其意义. 设计意图

让学生清楚高考对这部分内容的要求，做到复习的针对性及有效性

对向量各个分支概念准确理解与掌握

对三角形法则的感性理解，快速解客观题

数学重要解题或结论模型提炼有助于学生快速解题

二、知识梳理

1、向量的有关概念：

向量：既有大小又有方向的量；

模（长度）：向量的大小；

零向量：长度为0的向量，记作：0；

单位向量：长度等于1个单位的向量；

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量；

规定：0与任何向量都平行；

相等向量：长度相等方向相同的向量；

相反向量：长度相等方向相反的向量；

2、向量的线性运算：

（1）加法：求两个向量和的运算；

三角形法则要素：首尾相接，指向终点，如：ABBCCDAD；

小题快解：ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,

若2aBC3bCA4cAB0,则cosA

平行四边形法则要素：起点重合；

模型提炼：ABMC（M为BC中点）AM1(ABAC)

2

运算律：

交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)

（2）减法：求a与b的相反向量b的和的运算；

三角形法则要素：始点重合，箭头指向被减向量，如:OAOBBA

（3）数乘：求实数λ与向量a的积的运算。

①

|a||||a|；

②

0时，a与a方向相同； 0时，a与a方向相反； 0时，

a0。

运算律：

(a)()a；()aaa；(ab)ab.

3、共线向量基本定理：

向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使ba.

推论：

对于平面上的任一点O，OA,OB不共线，

满足OPxOAyOB(x,yR).P、A、B共线xy1.

PAB

数乘向量大小与方向的确定

注意提醒学生a0

的原因

本节课的难点就是该结论的应用，主要作用在于具体解题时构造方程

揭示向量问题解决“基向量法”的重要作用

O

4、平面向量基本定理：

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使

a1e12e2.

其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

三、考点分类剖析

类型一、平面向量的有关概念

例1、判断下列各命题是否正确：

（1）向量就是有向线段；

让学生对向量一些基本（2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

概念准确理（3）向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线；

解和掌握

（4）两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

（5）a0为单位向量，a为平面内的某个向量，则a|a|a0;

分析：（1）向量可以用有向线段来表示，但不是同一个概念，如物理中的

速度，它是向量，但不是有向线段，故错误；

（2）若其中有一个为零向量，它满足条件，但由于零向量方向任意，所

以不能讨论与另一向量的方向相同或相反问题，故错误；

（3）因向量为自由向量，共线即为平行，所以A、B、C、D不一定共线，

故错误；

（4）正确；

（5）a0的方向不一定与a相同，故错误。

注意：

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；

（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量相等；

（3）向量概念型判断问题要注意方向的界定。

类型二、平面向量的线性运算

例2、设D、E、F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则EBFC

等于(

)

11A. BC

B. AD

C. AD

D. BC

向量加法运22算的处理方A法及重要模型的应用

EF

C

BD

分析：法一：平行四边形（三角形）法则；

法二：基向量法

练习1、在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC3CD,

点O在线段CD上（与点C、D不重合），若

AOxAB(1x)AC,

则x的取值范围是（

）

1111A. (0,)

B. (0,)

C. (,0)

D. (,0)

向量减法及2323数乘运算的应用

CODB

分析：思考1：x的范围由谁控制？

思考2：向量表达形式对你有何启示？COxCB

类型三、共线定理与基本定理的应用

例3、设两个非零向量a,b不共线.

（1）若ABab,BC2a8b,CD3a3b,

求证：A、B、D三点共线；

三点共线的（2）试确定实数k,使kab与akb共线。

判定及共线定理的应用

分析：（1）BD5(ab)5AB;

k

k1。

（2）设kab(akb),得k1

例4、如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P、Q，

11

设OPmOA,OQnOB,m,nR,求的值。

平面向量基mn本定理及共线定理的推论的应用

分析：

思考1：m,n可否分别求出？

思考2：怎样将m,n联系起来？

思考3：重心G怎么用？

重要结论：

若G为△ABC的重心，则

GAGBGC0.

若G为△ABC的内心，则aGAbGBcGC0.

练习2、如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB、AD分别

交于E、F两点，且交对角线AC于K，

21AEAB,AFAD,AKAC,求的值。

52

A

5AK(ABAD)AE2AF

2

5221

29

11例5、△ABO中，OCOA,ODOB,ADBCM.

本题的重要

分析：将AK用AE,AF表示出来，利用E、K、F三点共线可得答案。

42

（1）试用OA与OB表示向量OM.

（2）过M的动直线EF交线段AC、BD于E、F，

记OEOA,OFOB,判断1+3是否为定值;

（3）在（2）的条件下，求的取值范围

分析：（1）OMOAAM，只需求出AM即可；

ADBM或OMOBBM，只需求出即可。

BC法一：平面几何法；

法二：基向量法：（规范过程展示）

解：设AMxAD,BMyBC,则

OMOAAMOAxADOAx(ODOA)

OA又11xOBxOA

(1x)OAxOB

22OMOBBMOByBCOBy(OCOB)

11yOAyOB

yOA(1y)OB

44OB由平面向量基本定理可得

61x1xy1374OMOAOB



771x1yy427作用之一是应用好基本定理及共线定理来解决平面几何问题，更重要的作用让学生体会高考试题的命题特点，在较综合的解答题中一般设置多问，前面问往往是后面问的桥梁，要让学生领会这种意图，从达而到有效解题的目的。

给学生示范规范的解答过程

1313OEOF

（2）由（1）有OMOAOB

OM7777由E、M、F共线可得13131

7；

777

（3）由（2）有1317(7)

73773134233[(73)4]…………[,]

77372六、课堂小结：

1、向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，要注意：向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”； 2、证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；

3、平面向量的基本定理“基向量法”的重要应用；

4、对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，OA,OB不共线，满足OPxOAyOB(x,yR). 则P、A、B共线⇔x＋y＝1.

七、课后作业：

《步步高》黄皮第289页

再次回味本节课的内容，达到巩固强化的作用

八、板书设计

平面向量的概念及线性运算复习课

一、平面向量的有关概念

类型三、两个定理的应用

二、考点分类剖析

例3、

类型一、平面向量的有关概念

例4、

例1：

练习2、

类型二、平面向量的线性运算

例5、（1）（2）（3）

例2：

练习1：

九、教学反思