3.3.2 均匀随机数的产生优秀教学设计

3.3几何概型（2）

【课题】：均匀随机数的产生

方案一：

【设计与执教者】：广州二中，曾小鸿，zxh1812@163.com。

【教学时间】：

【学情分析】：在学习了古典概型中的随机模拟和整数值随机数的产生之后，对本节的学习学生更容易理解，但找到合适的均匀随机数来表示事件，以及随机试验的设计仍是一个难点。

【教学目标】：

（1）知识与技能：理解随机模拟方法，其基本思想是用频率近似求概率；使学生掌握用随机模拟方法估计未知量。

（2）过程与方法：使学生通过阅读、操作学会利用计算器产生均匀随机数，提高自学能力；

（3）情感态度与价值观：通过模拟试验的设计培养学生的创造能力和解决问题的能力。

【教学重点】：均匀随机数的产生，设计模型并运用随机模拟方法估计未知量。

【教学难点】：如何把未知量的估计问题转化为随机模型问题。

【教学突破点】：通过复习用模拟方法求概率近似解的问题设计，引入产生均匀随机数的必要。

【教法、学法设计】：通过对比学习，引入均匀随机数的产生及相关随机模型设计。学生通过问题解决学会随机模拟的方法，学会创新。

【课前准备】：计算器、计算机（有Excel软件）、将例题做成投影片、例3的试验材料。

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

1、（1）叙述几何概型的特点及几何概型的概率计算公式；（2）什么是随机模拟方法？

学生——回忆并回答。

2、如图，假设你在下面图形上随机撒的粒黄豆，计算它落到阴影部分的概率。

设计意图

一、复习及引入

学生——独立解答，回答结果。

3、与古典概型相比，我们是否可以用随机模拟方法求得上述问题的近似解呢？

学生——思考，讨论，交流，说出自己的想法。

要产生一个随机数组(x,y)，两个随机数满足：复习随机模拟方法，引出如何产生均匀随机数的问题。

0x1,0y1。若x,y满足(x0.5)2(y0.5)20.25，则表示黄豆落在阴影部分内。

这里x,y是[0，1]上的均匀随机数。

1

二、新课讲授

（1）均匀随机数的产生

如何用计算器产生0～1之间的均匀随机数？

学生——阅读教材P143页，按照书中计算器产生随机数的方法尝试操作。

教师——演示用计算器产生0～1之间的均匀随机数（多次），保证学生学会操作。

如何产生[a,b]之间的均匀随机数？

学生——思考并回答。

例2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

教师——放投影片，让学生思考求解的方法。引导学生判别这是一个几何概型问题，可以用几何概型的概率公式计算。

学生——思考，设计解题方案。可以讨论、交流。展示解答过程。

题目中关键是用两个坐标轴分别表示报纸送到的时间和父亲离家的时间。

教师——你能设计一种随机模拟的方法，近似计算上面事件A发生的概率吗？

学生——思考，讨论，说出自己的想法。

方法1：用两个转盘标上时间，旋转圆盘来模拟报纸送到的时间和父亲离家的时间。

方法2：用计算器产生一组0～1之间的均匀随机数（X，Y），如果Y7X6.5，即YX0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸。

教师——演示利用计算机模拟的过程。

例3、在图3.3-3的正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值。

学生——思考，进行必要的讨论、交流。

教师——可适时给予相应的提示。题目的关键是明确豆子落到学生阅读操作，提高自学能力。

（2）设计随机模拟方法解题

通过问题解决学习随机模拟方法的设计。

设计随机模拟方法圆的面积落在圆中的豆子数圆内的概率=，假设

估计未知正方形的面积落在正方形中的豆子数量

圆的面积12，从而

正方形的边长为2，则正方形的面积224

落在圆中的豆子数4.

落在正方形中的豆子数

2

拿出模型，让学生分组试验并记录结果，填入下表：

组别

落在正方形中的豆子数

然后将各组结果汇总填入下表：

落在正方形中的豆子数

落在圆中的豆子数

落在圆中的豆子数

的近似值

的近似值

在这个过程中让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增大，结果的精度会越来越高。

例4、利用随机模拟方法计算图3.3-4中阴影部分（y1和yx2所围成的部分）的面积。

学生——思考，设计方案。可模仿例3的方法解决。构造矩形

（x1,x1,y1和y0所围成的部分），用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值。

教师——要求学生说明解答的依据，若用产生均匀随机数模拟，应产生怎样的随机数及计算方法，进行总结。同时用计算机进行模拟。

三、总结提高

四、作业布置

训练学生应用随机模拟方法估计不规则图形的面积。

引导学生总结：1、如何用计算器产生均匀随机数？2、随机模

拟方法有哪些方面的应用？3、随机模拟方法的概率基础是什么？

教材P149，习题3.3B组第1题。

练习与测试：

1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（

）

A．0.5

B．0.4

C．0.004

D．不能确定

2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r

3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？

4．如图3-18所示，曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。

5、在平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a0)，向平面任意投掷一枚长为l(la)的针，试求针与平行线相交的概率。

3

6、若向面积为S的ABC内任投一点P，求PBC的面积小于S的概率。并用计算机或计2算器模拟这个试验，估计所求随机事件的概率，把你得到的结果与用概率计算公式得到的结果比较，你能得出什么结论？

参考答案：

1．C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2=0.004）

5002．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）=M 2a r o (r,a]的长度ar=

a[0,a]的长度3．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。

（1）用1~45的45个数来替代45个人；

（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；

（3）整理数据并填入下表

试

验

50 次

数

1出现

的频数

1出现

的频率

100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 650 700 750 800 850 900 1000 1050

（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。

4．解：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x,y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。

x 0.598895 0.512284 0.496841 0.112796 0.359600 0.101260 …

y 0.940794 0.118961 0.784417 0.690634 0.371441 0.650512 …

4 计数

0 1 0 1 1 1 …

0.947386 0.117618 0.516465 0.596393 0.902127 0.305673 0.222907 0.969695 0 1 1 0 5、解：用x表示针的中点与最近一条平行线间的距离，表示针与此直线间的夹角，显然有

0x0a

（1）

22

（2）

由这两式可以确定平面上的一个矩形区域。

因为针与平行线相交的充要条件是满足以上两个不等式且满足不等式x的部分。

利用计算机或计算器产生两组0～1的均匀随机数m1RAND和x1RAND。进行变换：lsin

（3）22m1，xax1，数出满足不等式（3）的样本数N1，则针与平行线相交的概率2为PN1.

NS，当P在梯形MNBC内26、解：作中位线MN，易知当点P恰在MN上时，PBC的面积是时，PBC的面积小于S梯形MNBC的面积3.

，所以满足条件的概率为P2三角形ABC的面积4

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