2.1.3 相等向量与共线向量教案和学案内容

课时作业13

向量的概念

(限时：10分钟)

1．下列结论中正确的是(

) A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反

→→→→→→→→B．若向量AB、CD满足|AB|>|CD|且AB与CD同向，则AB>CD

C．若a＝b，则a∥b

D．若a≠b，则a与b不是共线向量

答案：C 2．下列命题：

①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；

→→②若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线；

③若非零向量a与b共线，则a＝b；

→→④若四边形ABCD是平行四边形，则必有AB＝DC；

⑤若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反．

其中真命题的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 解析：对于①，显然为假命题；对于②，也是假命题．这是因为向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；对于③，是假命题．两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，而相等向量却一定是共线向量；对于④，是真命题．这是因为四边形ABCD→→是平行四边形，所以AB∥DC且AB＝DC，即AB＝DC；对于⑤，是假命题．这是因为若a为零向量，则a与b平行，但零向量的方向可以是任意的．

答案：B →3．如图，在正△ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量PQ相等的向量是(

) →→A.PR与QR

→→B.AR与RC

→→C.RA与CR

→→D.PA与QR

→→→1解析：∵PQ綊AC，∴PQ＝AR＝RC. 2答案：B →→→→4．在四边形ABCD中，AB＝DC，且|AB|＝|AD|，则四边形ABCD为________．

→→解析：∵AB＝DC，∴四边形ABCD为平形四边形．

→→又|AB|＝|AD|，∴平行四边形ABCD为菱形．

答案：菱形

→→→5．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c. (1)与a的模相等的向量有多少个？

(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？

(3)与a共线的向量有哪些？

解析：(1)与a的模相等的向量有23个．

→→→→(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD，BC，AO，FE. →→→→→→→→→(3)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.

(限时：30分钟) 1．把平面上所有长度为2的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是(

) A．一条线段

B．一段圆弧

C．圆上的一群孤立点

D．一个圆

答案：D 2．下列结论中，不正确的是(

) →→→→A．向量AB，CD共线与向量AB∥CD意义是相同的

→→→→B．若AB＝CD，则AB∥CD

C．若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b

→→→→D．若向量AB＝CD，则向量BA＝DC

解析：平行向量又叫共线向量．相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C错误．

答案：C 3．下列命题中正确的是(

) A．两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同

B．若a，b是两个单位向量，则a＝b

C．若向量a和b共线，则向量a，b的方向相同

D．零向量的长度为0，方向是任意的

解析：两个相等向量起点可以不同，A错；两个单位向量只有方向相同时才相等，B错；两个共线向量方向可以相同，也可以相反，C错；D显然正确．

答案：D →→4．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，则必有(

)

→→A.AD＝CB

→→B.OA＝OC

→→C.AC＝DB

→→D.DO＝OB

→→解析：∵四边形ABCD中，AB＝DC，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行→→四边形，∴DO＝OB. 答案：D →→→5．如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是(

) A．有相同起点的向量

B．单位向量

C．模相等的向量

D．相等的向量

解析：由图可知三向量方向不同，但长度相等．

答案：C

6．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中→→的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有(

) A．6个

B．7个

C．8个

D．9个

→→→→→→→→→→解析：与向量OA共线的向量有AO，OD，DO，AD，DA，EF，FE，BC，CB共9个．

答案：D →→→→7．设O是正方形ABCD的中心，则OA，BO，AC，BD中，模相等的向量是__________．

→→→→解析：由正方形的性质可知，OA与BO，AC与BD的模分别相等．

→→→→答案：OA与BO，AC与BD

→→8．若△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量AB与AC的关系是__________．

→→解析：因为△ABC是等腰三角形，所以AB＝AC，即|AB|＝|AC|. 答案：模相等

9．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．

→(1)与向量ED相等的向量有__________．

→→(2)若|AB|＝3，则向量EC的模等于__________．

→→→→→解析：相等向量既模相等，又方向相同，∴与ED相等的向量有AB，DC.若|AB|＝3，则|ED→→|＝|DC|＝3.∴|EC|＝2×3＝6. →→答案：(1)AB，DC

(2)6

10．如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，

→(1)写出与DA平行的向量；

→(2)写出与DA模相等的向量．

→→→→解析：由题图可知，(1)与DA平行的向量有AD，BC，CB；

→→→→→→→→→→(2)与DA模相等的向量有AD，BC，CB，AB，BA，DC，CD，BD，DB.

11．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC的中→→点，求证：向量DE与FG共线．

证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，

∴四边形DBCE是梯形．

又∵F，G分别是DB，EC的中点，

∴FG是梯形DBCE的中位线，

→→∴FG∥DE.∴向量DE与FG共线．

12．如图，半圆的直径AB＝6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3. →→(1)求证：向量AC∥DE；

→(2)求|AC|. (1)证明：由题意知，在△BED中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，

∴∠DEB＝90°. 又点C为半圆上一点，则∠ACB＝90°. →→∴AC∥DE，故AC∥DE. (2)解析：由AC∥DE知△ABC∽△DBE. →18ACABAC618∴＝，即＝.∴AC＝，即|AC|＝. DEBD3555