复习参考题名师教学设计2

§3.4 三角函数的图象与性质

第二课时

三角函数的值域与最值

一、考纲要求

理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)

二、教学目标

三角函数的最值问题是高考热点之一，通过复习，应熟练掌握三角函数最值的求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题

三、教学重难点

通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值

四、教学模式

五、教具与教学手段

六、教学过程设计

（一）知识梳理

1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（注：下表中k均为整数）

函数

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域

值域

R

R

π{x|x≠2＋kπ，k∈Z} R

[－1,1]

[－1,1]

递增区间是[2kπ－递增区间是[2kπππ递增区间是(kπ－2，2kπ＋2](k∈Z)；

－π，2kπ](k∈Z)；

ππ单调性

递减区间是[2kπ＋递减区间是[2kπ，，kπ＋)(k∈Z) 22π3π2kπ＋π](k∈Z) ，2kπ＋](k∈Z) 22π当x=2＋2kπ时，

最大值和最小ymax＝1；

无

ymax＝1；

值

y min＝－1 ymin＝－1 奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

πkπ对

对称中心

(kπ，0)，k∈Z

(kπ＋2，0)，k∈Z

(2，0)，k∈Z

称

πx＝kπ，k∈Z

无对称轴

x＝kπ＋2，k∈Z

性

对称轴

2π

2π

π

最小正周期

2.说出求下列函数值域的方法

（1）y=|x|+1； （2）y=-x2+x+2；

1

（3）y=2x+2-3·4x，x[-1,0]； （4）y=x-3-,x[1,+)；

x1x

（5）y=； （6）y=|x+1|+|x-3|；

2x5x

（7）y=2（x>0）； （8）y=x3-12x+12,x[-3,3]. x1

（二）考点突破（剖例题

找规律）

例1.已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，若x∈[0，2]，求f(x)的最大值及相应的x值．

1－cos 2x1解：f(x)＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x＋

22112π1＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin(2x－)＋，

22242πππ3π由x∈[0，]得2x－∈[－，]，

24442＋1ππ3所以，当2x－＝，即x＝π时，f(x)取到最大值为. 4282即时训练：求函数ysinxcos(x解：ysinxcosxcos当x2k

π6)的最小值，及相应的x的值．

3，ymaxπ7π33sinxcosx3sin(x)．

6622623，当x2k，ymin3(kZ)．

3sinxsin例2.（1）当x∈[，]时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是________．

66π7解：∵x∈[，π]

661∴－≤sin x≤1，

217又y＝3－sin x－2cos2x＝2sin2x－sin x＋1＝2(sin x－)2＋，

4817∴当sin x＝时，ymin＝，

481当sin x＝1或－时，ymax＝2. 2【互动探究】

本例中若将cos x用sin x代替，sin x用cos x代替，又将如何求解？

（3）求函数y=sin x+cos x+sin x·cos x的最小值.

（三）课堂练习

思考：函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(

) 5A．[－1,1]

B．[－，－1] 455C．[－，1]

D．[－1，] 44

15解：f(x)＝(sin x＋)2－，

245∵sin x∈[－1,1]，∴－≤f(x)≤1，

45∴f(x)的值域为[－，1]．

4【答案】

C

πxπ1.(2012·山东高考)函数y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(

) 63A．2－3

B．0 C．－1

D．－1－3

2.求函数y(sinx2)(cosx2)的最大、最小值．

解：原函数可化为：ysinxcosx2(sinxcosx)4，令sinxcosxt(|t|2)，t21t2113则sinxcosx，∴y2t4(t2)2．

2222∵t2[2,2]，且函数在[2,2]上为减函数，∴当t2时，即93x2k(kZ)时，ymin22；当t2时，即x2k(kZ)时，4249ymax22．

2

3.已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0,]，函数的最大值为1，最小值32为-5，求a和b的值.

探究：已知函数f(x)=2(cos x-sin x)·sin(x+)-2asinx+b(a>0)的最大值为1，最42小值为-4，求a，b的值.

（四）小结提升

求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：

①yasinxb，设tsinx化为一次函数yatb在闭区间t[1,1]上的最值求之；

ab②yasinxbcosxc，引入辅助角(cos,sin)，化为2222ababya2b2sin(x)c求解方法同类型①；

③yasin2xbsinxc，设tsinx，化为二次函数yat2btc在t[1,1]上的最值求之；

④yasinxcosxb(sinxcosx)c，设tsinxcosx化为二次函数a(t21)ybtc在闭区间t[2,2]上的最值求之. 2

求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：

(1)直接法：利用sin x，cos x的值域；

(2)化一法：形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题

（五）布置作业

（2013天津）函数f(x)sin2x4在区间0,2上的最小值是（

(A) 1

(B) 22

(C) 22

）

(D) 0