复习参考题优质课一等奖

第三章综合素能检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。) 1．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1，④函数f(x)＝2x－1的零点是0，其中正确的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 [答案]

C [解析]当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．

2．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(

) A．大于0

C．等于0

[答案]

D [解析]

如图(1)和(2)都满足题设条件．

B．小于0 D．无法判断

3．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(

) A．－1

B．0 D．1和0 C．－1和0

[答案]

C [解析]

由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1. 4．方程lgx＋x－2＝0一定有解的区间是(

) A．(0,1)

C．(2,3)

[答案]

B [解析]

∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg2＞0 ∴f(x)在(1,2)内必有零点．

B．(1,2) D．(3,4)

5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，

①如果不超过200元，则不予优惠．

②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．

③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．

某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是(

) A．413.7元

C．546.6元

[答案]

C 423[解析]

两次购物标价款：168＋＝168＋470＝638(元)，

0.9实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．

B．513.6元

D．548.7元

7．(08·山东文)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是(

) A．0

A [解析]

令g(x)＝2x＋b－1，则函数g(x)为增函数，又由图象可知，函数f(x)为增函数，

∴a>1，又当x＝0时，－1

－∴－1

) A．P(3)＝3

B．P(5)＝1 －1

C．P(2003)>P(2005)

D．P(2007)>P(2008) [答案]

D [解析]

机器人程序为前进3步、后退2步，则P(3)＝3，P(5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度，

∴p(2003)＝P(2000)＋P(3)＝403，

P(2005)＝P(2000)＋P(5)＝401，

∴P(2003)>P(2005)正确．

又P(2007)＝P(2005)＋P(2)＝403，

P(2008)＝P(2005)＋P(3)＝404，

∴P(2007)>P(2008)错误．

9．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为(

)

A．y＝2x

4B．y＝4－

x＋11

C．y＝log3(x＋1)

D．y＝x3(x≥0) [答案]

B [解析]

由于过(1,2)点，排除C、D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y＜4知排除A，∴选B. 10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表. x y －3

－24

－2

－10

－1

0

0

6

1

8

2

6

3

0

4

－10

5

－24

…

…

则使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是(

) A．(－10，－1)∪(1＋∞) B．(－∞，－1)∪(3＋∞) C．(－1,3) D．(0，＋∞) [答案]

C [解析]

由表可知f(x)的两个零点为－1和3，当－1＜x＜3时f(x)取正值∴使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是(－1,3)．

11．方程4x－3×2x＋2＝0的根的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 [答案]

C [解析]

由4x－3×2x＋2＝0，得(2x)2－3×2x＋2＝0，解得2x＝2，或2x＝1，∴x＝0，或x＝1.

12．若方程mx－x－m＝0(m＞0，且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是(

) A．m＞1

C．m＞0

[答案]

A

B．0＜m＜1 D．m＞2

[解析]

方程mx－x－m＝0有两个不同实数根，等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点．显然当m＞1时，如图(1)有两个不同交点当O＜m＜1时，如图(2)有且仅有一个交点．故选A.

第Ⅱ卷(非选择题

共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．

①有三个实根；

②x＞1时恰有一实根；

③当0＜x＜1时恰有一实根；

④当－1＜x＜0时恰有一实根；

⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．

[答案]

①⑤

[解析]

f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)11的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，)和(，1)内，故只有①⑤正22确．

14．某工程由A、B、C、D四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C需要的天数x最大为________．

[答案]

3 [解析]

如图，

设工程所用总天数为f(x)，则由题意得：

当x≤3时，f(x)＝5＋4＝9，

当x>3时，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x，

9

x≤3∴f(x)＝，

6＋x

x>3

∵工程所用总天数f(x)＝9，

∴x≤3，∴x最大值为3.

15．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为______．

11[答案]

(－，) 442a×1＝4a＝4[解析]

由条件知∴

k＋1＝4k＝3

y＝4x由y＝3x＋12

y＝－4得，1y＝41

x＝1或. y＝4

3x(x≤0)116．已知函数f(x)＝，则方程f(x)＝的解为________．

3log9x(x＞0)

3[答案]

－1或9. 113x＝3log9x＝3[解析]

由条件知或

x≤0x＞03∴x＝－1或x＝9 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 117．(本题满分12分)方程x2－＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．

x1[解析]

不存在，因为当x＜0时，－＞0 x11∴x2－＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－＝0. xx18．(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

[解析]

设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有

y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250) ＝0.5x＋625，x∈[250,400]．

该函数在[250,400]上单调递增，所以x＝400时，ymax＝825(元)．

答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．

19．(本题满分12分)电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系，如下图所示(实线部分)．(注：图中

MN∥CD.)试问：

(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？

(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？

(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠．

[解析]

由图知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x)，则

98

0≤x≤60，fA(x)＝3

x＋80

x>60.10168

0≤x≤500，fB(x)＝3

x＋18

x>500.10(1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元．

333(2)因为fB(n＋1)－fB(n)(n>500)＝(n＋1)＋18－n－18＝＝0.3(元)．

101010∴方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．

(3)由图知，当0≤x≤60时，fA(x)

当x>500时，fA(x)>fB(x)，

880∴当60fB(x)，得x>，

3880即当通话时间在(，＋∞)内时，方案B较A优惠．

320．(本题满分12分)若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．

(1)方程两根都大于1；

(2)方程一根大于1，另一根小于1. [解析]

设f(x)＝x2－2ax＋2＋a

(1)∵两根都大于1，

Δ＝4a－4(2＋a)>0∴a>1，解得202

(2)∵方程一根大于1，一根小于1，

∴f(1)<0

∴a>3. 21．(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%.1若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市3场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) 22n1[解析]

设过滤n次，则·≤

10031 0001lg201＋lg22n1即≤，∴n≥＝≈7.4 3202lg3－lg2lg3又∵n∈N，

∴n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．

22．(本题满分14分)若二次函数y＝－x2＋mx－1的图象与两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．

[分析]

先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得m的取值范围．

[解析]

线段AB的方程为x＋y＝3，

x＋y＝3(0≤x≤3)

①由题意得方程组在[0,3]上有两组实数解．

2y＝－x＋mx－1

②

将①代入②得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根．

令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4.则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根，故有：

10＜m＋＜3，2f(0)＝4＞0，f(3)＝9－3(m＋1)＋4≥0，Δ＝(m＋1)2－16＞0，

10解得3＜m≤. 310故m的取值范围是(3，]．

3[点评]

本题可能会出现下面的错解，令f(x)＝－x2＋mx－1. ∵f(0)＝－1＜0，f(x)的图象开口向下，线段ABx＋y＝3(0≤x≤3) 如图，要使f(x)的图象与线段AB有两个不同交点应满足．

f(m)＞3－m22m0＜2＜3∴无解．

f(3)≤0

，∴m＜－17－1或m＞0＜m＜610m≤317－1

，

错因是顶点在线段AB的上方与抛物线与线段AB有两个交点不等价．