复习参考题ppt配套的教学设计方案

第三章

三角恒等变换章末复习课

学习目标

1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. tan α＋tan βtan(α＋β)＝. 1－tan αtan βtan α－tan βtan(α－β)＝. 1＋tan αtan β2.二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan αtan 2α＝. 1－tan2α3.升幂缩角公式

1＋cos 2α＝2cos2α. 1－cos 2α＝2sin2α. 4.降幂扩角公式

1＋cos 2xsin 2xsin xcos x＝，cos2x＝，

22sin2x＝1－cos 2x. 25.和差角正切公式变形

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). 6.辅助角公式

y＝asin ωx＋bcos ωx＝a2＋b2sin(ωx＋θ).

类型一

灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用

41例1

已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值. 534解

∵α是锐角，cos α＝，

533∴sin α＝，tan α＝. 54tan α－tanα－β13∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝. 1＋tan αtanα－β9910∵β是锐角，∴cos β＝. 50反思与感悟

给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换α，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·211α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等. 22跟踪训练1

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终31025边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 105

(1)求tan(α－β)的值；

(2)求α＋β的值. 31025解

(1)由题可知，cos α＝，cos β＝. 105由于α，β为锐角，则sin α＝11故tan α＝，tan β＝，

3211－tan α－tan β321则tan(α－β)＝＝＝－. 171＋tan αtan β1＋6105，sin β＝，

105

11＋32(2)因为tan(α＋β)＝＝1，

11－6sin α＝10252<，sin β＝<，

10252ππ即α＋β<，故α＋β＝. 24类型二

整体换元思想在三角恒等变换中的应用

例2

求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值. 解

设sin x＋cos x＝t，

则t＝sin x＋cos x＝2πx＋，

＝2sin4∴t∈[－2，2]，

sin x＋cos x2－1t2－1∴sin x·cos x＝＝. 22∵f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，

t2－11∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－2，2]. 22当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1，

π2x＋＝－，

此时，由sin42π解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z. 21当t＝2，即sin x＋cos x＝2时，f(x)max＝2＋，

2ππx＋＝2，即sinx＋＝1，

此时，由2sin44π解得x＝2kπ＋，k∈Z. 4ππ综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z241时，f(x)取得最大值，f(x)max＝2＋. 2反思与感悟

在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来. 跟踪训练2

求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解

令sin x－cos x＝t，

22sin x＋cos x

22

πx－知，t∈[－2，2]. 则由t＝2sin4又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2，

∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2

15t－2＋. ＝－2415当t＝时，ymax＝；

24当t＝－2时，ymin＝－2－1. 5－2－1，. ∴函数的值域为4类型三

转化与化归思想在三角恒等变换中的应用

π5πx－＋2sin2x＋－1，x∈R. 例3

已知函数f(x)＝23sin(x－3π)sin22π0，上的最大值和最小值；

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间2ππ6(2)若f(x0)＝，x0∈4，2，求cos 2x0的值. 5解

(1)因为f(x)＝3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) π2x＋，

＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin6所以f(x)的最小正周期为π.

πππ7π又因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]，

2666所以f(x)的最大值为2，最小值为－1. π2x0＋. (2)由(1)可知，f(x0)＝2sin66又因为f(x0)＝，

5π32x0＋＝. 所以sin65πππ2π7π，，得2x0＋∈，，

由x0∈42636π2x0＋＝－

所以cos6π42x0＋＝－，

1－sin265ππ2x0＋－

cos 2x0＝cos66ππππ2x0＋cos ＋sin2x0＋sin

＝cos6666＝3－43. 10

反思与感悟

(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. 2跟踪训练3

已知cosπ4＋x＝35，17π12

sin 2x＋2sin2x2sin xcos x＋2sin2解x1－tan x＝1－sin x

cos x＝2sin xcos xcos x＋sin xcos x－sin x

＝sin 2x1＋tan x1－tan x

＝sin 2x·tanπ4＋x. ∵17π12

又∵cosπ4＋x＝35，∴sinπ4＋x＝－45. ∴tanπ4＋x＝－43. ∴cos x＝cosπ4＋xπ－4

＝cosπ4＋xcos π4＋sinπ4＋xsin π4

＝22×34＝－25－510. ∴sin x＝sinπ4＋xπ－4

＝sinπ4＋xcos π4－sin π4cosπ4＋x＝－7210，

sin 2x＝7sin 2x＋2sin2x25.∴281－tan x＝－75.

1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－5α13，则tan 2等于(

)

512A.－5

B.－

C.

D.5 1313答案

A 解析

∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β) 5＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－，

1312又∵α是第三象限角，∴cos α＝－. 13－121－13α1－cos α∴tan ＝＝＝－5. 2sin α5－1352.已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin 2θ等于(

) 922A.

32C.

3答案

A 5解析

由＝sin4θ＋cos4θ

9＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ

1＝1－sin22θ，

2148得sin22θ＝，即sin22θ＝. 2993π又∵2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，

2∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π(k∈Z)，

22故sin 2θ＝.故选A. 3113.已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝

. 3259答案

－

7213解析

由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝，

3659得2sin(α－β)＝－，

3659即sin(α－β)＝－. 7222B.－

32D.－

3

π4πα＋＝，则sin2α＋的值为

. 4.设α为锐角，若cos1265答案

172

50π4α＋＝，

解析

∵α为锐角且cos65π3α＋＝. ∴sin65πππ242α＋＝2sinα＋cosα＋＝，

sin36625ππ72α＋＝2cos2α＋－1＝，

cos3625πππ2α＋＝sin2α＋－

∴sin1234＝ππ21722α＋－cos2α＋＝sin. 33250π35.已知函数f(x)＝cos x·sin(x＋)－3cos2x＋，x∈R. 34(1)求f(x)的最小正周期；

ππ(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值. 44133解

(1)由已知，有f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－3cos2x＋

224133＝sin x·cos x－cos2x＋

224133＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋

444131π＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－). 4423所以f(x)的最小正周期为T＝2π＝π.

2ππππ(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，

412124π1π1π1f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，

4412244ππ11所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－. 4442

本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.