复习参考题教案和课堂实录

湘潭市中小学教师统一备课用纸

科

目

数学

年

级

高三

教学目标

1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点. 2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释. 4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．

班级

时

间

2018年

月

日

第65课时

课

题

第9章第3节

用样本估计总体

重

点

用样本估计总体

难

点

理解用样本估计总体的思想

教学用具

投影

教学过程

一、知识梳理

1．频率分布直方图

(1)频率分布表的画法：

极差第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；

组数第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．

(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)．

频率横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组距组内的频率．

2．茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.

3．样本的数字特征

数字特征

定义

众数

在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据中位数

(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等

x＋x＋…＋xn平均数

样本数据的算术平均数，即x＝12

n1方差

s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中s为标准差

n

二、基础自测

1．-某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为___2__．

湘潭市第三中学

陈兴宇

高三第一轮复习

第9章第3节

用样本估计总体

第

1 页(共

5页) 教学方法

2.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(

B

) A．588

B．480 C．450

D．120

三、走近高考

(一)

样本的数字特征

例1某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)．其中a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败．

①若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品成绩的平均数和方差．并比较甲、乙两组的研发水平；

②若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．

x1＋x2＋…＋xn(1)由条件知x＝＝5，则所求均值

n2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋12(x1x2...xn)n＝

x0＝nn＝2x＋1＝2×5＋1＝11 (2)①甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，

1021222其平均数为x甲＝＝. 方差s2[(1)210(0)25]＝. 甲＝15315933乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，

931633其平均数为x乙＝＝. 方差s2[(1)29(0)26]＝. 乙＝1551525552因为x甲＞x乙，

s2甲＜s乙，所以甲组的研发水平优于乙组. ②记E＝{恰有一组研发成功}．

在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，7(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)共7个．因此事件E发生的概率为. 157用频率估计概率，即得所求概率为P(E)＝. 15[规律方法]

1.平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小．进行均值与方差的计算，关键是正确运用公式.

2．可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种做出评价或选择．

[真题实战1]

如图，样本

A 和

B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和xB，样本标准差分别为sA和sB，则(

) 湘潭市第三中学

陈兴宇

高三第一轮复习

第9章第3节

用样本估计总体

第

2 页(共

5页)

A．xAxB

，sA > sB

B．xAxB

，sA >sB

C．xAxB

，sA < sB

D．xAxB

，sA < sB

(二) 茎叶图及其应用

例2

已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么m＋n＝____11____.

[规律方法]

1.茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．

2．(1)作样本的茎叶图时，先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图；作“叶”时，要做到不重不漏，一般由内向外，从小到大排列，便于数据处理．

(2)根据茎叶图中数据的数字特征进行分析判断，考查识图能力、判断推理能力和创新应用意识；解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确提炼信息．

[真题实战2]

某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．

(1)根据茎叶图计算样本均值；

(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？

(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．

(三)

频率分布直方图

例3. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．

(1)直方图中x的值为

；

(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为

．

[真题实战3]

某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为：[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，湘潭市第三中学

陈兴宇

高三第一轮复习

第9章第3节

用样本估计总体

第

3 页(共

5页)

104)，[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(

) A．90

B．75

C．60

D．45

[真题实战4]

某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).

所得数据均在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有______根棉花纤维的长度小于20 mm.

[真题实战5]我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．

[解]

(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 湘潭市第三中学

陈兴宇

高三第一轮复习

第9章第3节

用样本估计总体

第

4 页(共

5页)

由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，

解得a＝0.30 (2)由(1)，知100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000 (3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.30×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9. 所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月用水量不超过标准. [规律方法]

1.准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，易误认为纵轴上的数据是各组的频率．

2．(1)例3-2中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键．(2)利用样本的频率分布估计总体分布．

[思想与方法] 1．用样本估计总体是统计的基本思想．

用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．

2．(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．

(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．

(3)茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用图表直观描述样本数据的分布规律的．

[易错与防范] 1．使用茎叶图时，要弄清茎叶图的数字特点，切莫混淆茎与叶的含义．

2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

3．直方图与条形图不要搞混．

频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．

作业

板书设计

第9章第3节

用样本估计总体

知识梳理

基础自测

走近高考

真题实战

教学后记

湘潭市第三中学

陈兴宇

高三第一轮复习

第9章第3节

用样本估计总体

第

5 页(共

5页)