探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质课堂实录

正弦函数的图像和性质第二课时（高中数学

人教A版 必修4）

鄂托克前旗中学

刘丽芳

一。教学目标

1.掌握正弦函数的单调性 2.利用正弦函数的单调性解决问题

3.培养学生逻辑推理能力和整体转化思想

二．教学方法：引导探究法，讲练结合法

三．教学过程

一．复习回顾旧知识

Y=sinx性质

定义域：R 值域：[ - 1, 1 ] 周期性：T=2

奇偶性：奇函数，图像关于原点对称

二新课讲解

1.出示学习目标：（1）.掌握正弦函数的单调性（ 2）.利用正弦函数的单调性解决问题

2.利用正弦函数图像分析单调性

ππ归纳：Y=sinx的单调性：在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增，22π3π在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减

22作用：1）比较大小。2）求单调区间.3)求值域，最值等

3．应用举例:课堂互动

（1）比较大小题型二

利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小

【例2】

利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．

(1)sin 196°与cos 156°；

解

(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，

cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，

∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，

∴sin 16°

从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°．

规律方法

比较三角函数值的大小的步骤

(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数．

(2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调增(减)区间．

(3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论．

【训练】

比较下列各组数的大小：

3749(1)sin－π与sinπ；

63π37π解

(1)sin－π＝sin－6π－＝sin－，

666ππ49sinπ＝sin16π＋＝sin ，

333ππ∵y＝sin x在－，上是增函数，

22π49π37∴sin－

3366（2）

利用正弦函数的单调性求单调区间

(3) y = -| sin(x+ )|4解：令x+ =u , 则y= -|sinu| 大致图象如下：4y1232y=|sinu|22O-1322uy=sinuy=-|sinu|即：增区间为uk,kZ2减区间为kuk,kZ23kxk,kZy为增函数44kxk,kZy为减函数44k

7sinx(3) y= ( tan )解：0tan73tan1663单调减区间为[2k,2k],(kZ)223],(kZ)单调增区间为[2k,2k226

规律方法

单调区间的求法

求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，

(1)

当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；

放入y＝sin x或y＝cos x的单调减区间内，可求得函数的减区间．

(2)

当A<0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的减区间；

放入y＝sin x或y＝cos x的单调减区间内，可求得函数的增区间．

提醒

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，借助y＝sin x的单调区间来解决．

当A<0或ω<0时，要注意原函数的单调性与y＝sin x的单调性的关系．

【训练】

1π(2)求函数y＝1＋sin－x＋，x∈[－4π，4π]的单调减区间．

421π1π解

y＝1＋sin－x＋＝－sinx－＋1．

4422π1ππ由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．

2242π3解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．

22又∵x∈[－4π，4π]，

1π∴函数y＝1＋sin(－x＋)的单调减区间为

245ππ3π7π[－4π，－]，[－，]，[，4π]．

2222ππ\4.课堂小结：Y=sinx的单调性：在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)22π3π上递增，在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减

22

作用：1）比较大小。2）求单调区间.3)求值域，最值等

四．板书设计

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正弦函数的性质

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一。知识点 二．应用

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单调性

Y=sinx在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增， 【例2】

利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．

在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减 (1)sin 196°与cos 156°

作用：1）比较大小。2）求单调区间.3)求值域，最值等 （2）

利用正弦函数的单调性求单调区间

3

1）

例（