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专题讲座回归直线方程和相关系数

武松打虎

辰溪二中全斌

近几年高考这节内容反复出题。考察学生计算能力，数据处理能力

。学生需要克服看到公式复杂，数据很多，感觉遇到老虎了，不能前进。我们就是需要有武松打虎的精神，打死这只纸老虎。高考出题来于课本，高于课本。

例1（课本例题）有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一

个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：

摄氏温度(℃）

-5

热饮杯数

15

116

19

104

23

89

27

93

31

76

36

54

156

0

150

4

132

7

128

12

130

(1)画出散点图；

(2)从散点图中发现气温与热饮杯数之

间关系的一般规律；

(3)求回归方程；

(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数。

点评：(1)本例体现了利用最小二乘法估计的一般步骤：

①作出散点图，判断是否线性相关；

②如果是，则用公式求出a，b，写出回归直线方程；

③根据方程进行预测．

(2)计算b的值时，需要根据题目条件选择计算公式，而计算a时，要利用回归直线过中心点(－x，－y)的特点．

(3)计算b时，运算较繁，要充分利用题目给出的条件．

例2、（2015重庆文17）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

2010 2011 2012 2013 2014 年份

时间代号t

1 2 6 3 7 4 8 5 10 储蓄存款y（千亿5 元）

（1）求y关于t的回归方程ybta；

（2）用所求回归方程预测该地区2015年t6的人民币储蓄存款. nntityiytiyintyi1i1nbn222tittinti1i1aybt附：回归方程ybta中



17. 解析

（1）列表计算如下：

i

ti

1 2 3 4 5 15 yi

5 6 7 8 10 36 ti1 4 9 16 25 55 2

tiyi

5 12 21 32 50 120 1 2 3 4 5 ∑

1n151n36tti3yyi7.2n5n5i1i1这里n5，，. 又ti1n2int55531022，tynty120537.212iii1n. 从而b121.210，aybt7.21.233.6，

故所求回归方程为y1.2t3.6. （2）将t6代入回归方程得y1.263.610.8，

可预测该地区2015年的人民币储蓄存款约为10.8

（千亿元）.

跟踪训练

PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5

的数据如下表：

时间

车流量x（万辆）

PM2.5的浓度y（微克/立方周一

50

69

周二

51

70

周三

54

74

周四

57

78

周五

58

79

米）

（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；

y80

78

76

74

72

70

O

x

50 52 54 56 58 ˆˆ；

（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa（3）若周六同一时间段的车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？

解：（1）散点图如下图所示.

………………………………………………………………2分

y

80 

78

76 74 72 70 x

（2）5Qx5051545758697074787954y7455，，………4分

5(xx)(yy)4534344564iii12i，………………………………5分

(xx)i1(4)2(3)2324250，…………………………………………6分

ii$b(xx)(yy)i15

(xx)ii152641.2850，…………………………………………………8分

$

aybx741.28544.88，

…………………………………………………9分

ˆ1.28x4.88.…………………………………10分

故y关于x的线性回归方程是：y（3）当x25时，y1.28254.8836.8837

所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37.…………………………………………12分

例3（2015全国Ⅰ文19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量年销售量/t620600580560540520500年宣传费/千元480343638404244464850525456yii1,2,,8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

x

y

w

xxwwxxyywwyyiiiiii828288i1i1i1i1

46.65636.8289.8

18wwiwixi8i1

表中，

1.6

1469

108.8

（1）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z0.2yx

，根据（2）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据u1,v1，u2,v2，n，iun,vni，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为uuvvi1uuii1n2，vu. 解析

（1）由散点图变化情况选择ycdx较为适宜.

dwwyyiii18（2）由题意知i18wiw2108.8681.6. w,y又ycdx一定过点，所以cydw563686.8100.6，

所以y关于x的回归方程为y100.668x. （3）（ⅰ）由（2）可知当x49时，y100.66849576.6，

z0.2576.64966.32. 所以年宣传费x49时，年销售量为576.6t，年利润的预报值为66.32千元.

（ⅱ）z0.2yx0.2100.668xx13.6xx20.12

x6.826.8220.12. 2所以当x6.8，即x6.846.24（千元）时，年利润的预报值最大.

例4（2016全国Ⅰ文18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 年生活垃圾无害化处理量y1.801.601.401.201.000.80671234年份代码t5

注：年份代码17分别对应年份20082014. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：

参考数据：yi17i9.32，i1tyi7i40.17，ii(yy)ii1720.55，72.646. r参考公式：相关系数(tt)(yy)i1n(tt)(yy)2iii1i1nn，2

回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b(tt)(yy)iii1n(tt)ii1n，2a=ybt.

解析

（1）变量y与t的相关系数

r(tt)(yy)iii17(tt)(yy)2iii1i17727tiyitiyii1i1i17777(tt)ii172(yy)ii172，

i又7ti1i7i28，2y9.32ii17，tyi17ii40.17，(ti17t)2275.292，(yy)i10.55，所以r740.17289.320.9975.2920.55，

即y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度高，故可用线性回归模型拟合变量y与t的关系. 1yi（2）t4，y7i1，所以7ˆbty7tyiii17ti172i7t2140.17749.3270.10328, ˆ19.320.10340.92ˆybxaˆ0.1t0.92. 7,所以线性回归方程为yˆ0.190.921.82.因此，我们可以预测2016年我国生活垃圾无当t9时，y害化处理1.82亿吨. 例5、（2017全国Ⅰ文19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序

零件尺寸

抽取次序

零件尺寸

1 9.95 9 10.26 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 10.13 4 9.96 12 10.02 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 10.04 7 9.98 15 10.05 8 10.04 16 9.95 11611621162(xix)(xi16x2)20.212xxi9.97s16i116i116i1经计算得，，

(i8.5)i116218.439，(xx)(i8.5)2.78ii116，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16. （1）求xi,ii1,2,,16的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在r0.25，则可以认为零件x3s,x3s之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在x3s,x3s之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

r附：样本(xx)(yy)iii1nxi,yii1,2,,n的相关系数(xx)(yy)2iii1i1nn2，

0.0080.09．

解析

（1）因为1,2,3,4,,16的平均数为8.5，

所以样本16xi,ii1,2,,ni的相关系数：

rxxi8.5i1xxi8.5ii1i11621622.780.178r0.1780.2540.21218.439，因为，

所以可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．

（2）（i）x3s9.9730.2129.334，x3s9.9730.21210.606，

第13个零件的尺寸为9.22，而9.29.334，

所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查．

（ii）

剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均值为

1169.979.2210.0215，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为10.02，

因为xi1162i160.2122169.9721591.134. 个数据，剩下数据的样本方差为：剔除第1311591.1349.2221510.0220.00815. 所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差估计值为0.0080.09．