3.1.2 概率的意义公开课教案

同课异构教学设计

《概率的直接计算》

上杭县第二中学

高一（1）班

周秋良

2018.6.21星期四上午第3节

教学引言：

事件A的概率P(A)定量地刻画了事件A发生可能性的大小，要研究随机现象的规律性就是要研究其概率规律性.对一个随机事件A，怎样确定其概率P(A)是概率论的一个基本课题.这一节课复习事件A的概率P(A)可以直接算出的情况. 教学目标：

进一步加深对事件A的概率P(A)可以直接算出的情况（古典概型和几何概型）的认识与理解，并能在实际问题中加以灵活地应用. 教学重点：

对事件A的概率P(A)可以直接算出的情况（古典概型和几何概型）的相关概念、特征、公式、性质及应用的掌握. 教学难点：

对事件A的概率P(A)可以直接算出的情况（古典概型和几何概型）的区分与应用. 教学方法：

启发引导式、师生合作式、学生自主式等.

教学媒体：

现代化教学媒体与传统教学手段相结合.

教学过程：

一、知识内容回顾

对于古典概型和几何概型，下列说法正确的是（

）

1

项目

古典概型

几何概型

（1）实验中所有可能出现的基本如果每个事件发生的概率只与构成模型

事件只有有限个；

该事件区域的几何度量（长度、面积（2）每个基本事件出现的可能性或体积）成正比，而与事件区域的位相等. 置和形状无关. 无限性、等可能性

P(A)A的几何度量

的几何度量特征

有限性、等可能性

公式

P(A)A中基本事件的个数

中基本事件的个数非负性：对任意事件A，有概率0P(A)1；

规范性：P()1；

性质

可加性：如果事件A1,A2,...,An两两互斥，则

P(A1

A2...An)P(A1)P(A2)...P(An). 二、知识内容应用

1.（摸球问题）

口袋里有2个白球和两个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率. 预设问题1：

（1）这是那种模型的概率？

（2）摸球的情况总数如何确定？

（3）第二个人摸到白球的情况总数又如何确定？

分析：

我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.为此考虑用列举法列出所有可能结果. 解法1：

用A表示事件“第二个人摸到白球”.把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来. 2

从上面的树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此，这24种结果的出现是等可能的，试验属于古典概型.在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率

P(A)121. 242预设问题2：如果不将所有情况逐一列举能否解决这一问题？如何解决？

分析：还可以建立另外的模型来计算“第二个人摸到白球”的概率.如果建立的模型能使得试验的所有可能结果数变少，那么我们计算起来就更简便. 解法2：

因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以我们可以只考虑前两人摸球的情况.前两人依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来.

3

从上面的树状图可以看出，这个模型的所有可能结果数为12，因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，这12种结果的出现是等可能的，这个模型也是古典概型.在上面12种结果中，第二个人摸到白球的结果有6种，因此“第二个人摸到白球”的概率

P(A)61. 122评注

这里，我们是根据事件“第二个人摸到白球”的特点，利用实验结果的对称性，只考虑前两人摸球的情况，从而简化了模型. 预设问题3：列举的情况能否进一步减少？

分析：还可以从另外一个角度来考虑这个问题.因为口袋里的4个球除颜色外完全相同，因此，可以对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，这样建立的模型的所有可能结果数就会更少，由此得到另一种解法. 解法3 只考虑球的颜色，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图列举出来. 实验的所有可能结果数为6，并且这6种结果的出现是等可能的，这个模型是古典概型.在这6种结果中，第二个人摸到白球的结果有3种，因此“第二个人摸到白球”的概率

P(A)31. 62预设问题4：考虑的对象能否进一步简化？

下面再给出一种更为简单的解法. 解法4

只考虑第二个人摸出的球的情况，他可能摸到这4个球中的任何一个，这4种结果出现的可能性相同，符合古典概率模型.第二个人摸到白球的结果有2种，因此“第二个人摸到白球”的概率

P(A)21. 42小结

（1）从上面4种解法可以看出，我们从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单. （2）解法1列出了实验的所有可能结果，利用这个模型可以计算出4个人4

依次摸球的任何一个事件的概率，比如“第一个人和第四个人中有一人摸到2号白球”的概率.而这个事件的概率利用解法2，解法3，解法4建立的模型就求不出来. 2.（梅雷问题）----又称赌徒分赌资问题

一天，赌徒梅雷与侍卫官赌投骰子，约定先投出3次6点时梅雷就赢得全部赌资，先投出3次4点时，侍卫官就赢得全部赌资.可是，当投出2次6点，1次4点时，侍卫官应急办事，赌投骰子中断.梅雷与侍卫官如何分配全部赌金呢？

预设问题：

（1）是谁投骰子？（赌徒梅雷？侍卫官？还是两人轮流？）

（2）投了几颗骰子？

（3）这是那种模型的概率？

（4）需要考虑投出的骰子点数的所有情况吗？

（5）没有结束投骰子时，赌金的分配依据是什么呢？

（6）如果没有中断投骰子，两人赢得全部赌资的概率分别是多少？

解：视掷骰出4点、6点为有效掷骰.已经有效掷骰3次，最多再有效掷骰2次就必见输赢.全部情形列举如下

（664）6（4）；（664）6（6）；（664）44；（664）46 所以，梅雷和侍卫官的赌资分配比例为3:1. 3.（会面问题）

已知甲、乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地到达码头，设该码头只有一个泊位.若甲先到，需停靠6小时后才离开码头，若乙先到，则要停靠8小时后才离开码头.问这两船中有船需等候泊位空出的概率？

预设问题：

（1）这是那种模型的概率？

（2）甲乙两船到达码头的时刻有哪些情况？

（3）在什么情况下，甲船等待乙船？在什么情况下，乙船等待甲船？

（4）如何刻画两船到达的时刻及两船中有船要等待的情况？

解：设甲船到达码头的时刻是x，乙船到达码头的时刻是y(0x,y24).则考察甲、乙两船到达码头的时刻，相当于向下图中的正方形区域内随机地投点. 5

用A表示事件“有船需等候泊位空出才能停靠”，那么A发生相当于下列两种情况有一发生：甲先到，但未足6小时随后乙也到达了；或乙先到，但未足8小时甲随后也到达了，这可分别表成：0yx6,0xy8.标于图中，就是当点落在阴影区域内时，就有一船到达时因先到的那艘船尚未离开泊位而需要等候.计算平面图形的面积，有

1242(182162)2P(A)0.4965

2244.（方程根的问题）

设有关于x的一元二次方程x22axb20

（Ⅰ）若a{0,1,2,3}，b{0,1,2}，求上述方程有实根的概率；

（Ⅱ）若a[0,3]，b[0,2]，求上述方程有实根的概率. 预设问题：

（1）方程在什么条件下有解？

（2）问题（Ⅰ）是那种模型的概率？怎么求？

（3）问题（Ⅱ）是那种模型的概率？怎么求？

解：欲使方程有实根，需4a24b20，即a2b2，亦即ab. 设A表示事件“方程有实根”. （1）由已知，实数(a,b)的所有可能情况如下

(0,0);(0,1);(0,2);(1,0);(1,1);(1,2);(2,0);(2,1);(2,2);(3,0);(3,1);(3,2). 6

这12种结果出现的可能性相同，符合古典概率模型.

其中满足ab的有

(0,0);(1,0);(1,1);(2,0);(2,1);(2,2);(3,0);(3,1);(3,2). 故P(A)90.75. 12（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0a3,0b2}，

构成事件A的区域为{(a,b)|0a3,0b2,ab}，

如图所示，

所以所求的概率为

1322222P(A).

323

课堂小结：

课后作业：请上网查阅相关资料！1777年法国科学家蒲丰（Buffon）提出了著名的投针问题，这是几何概型的一个早期例子. （蒲丰问题）平面上画有等距离为a(a0)的一些平行线，向平面任意地投一长为l(la)的针，试求针能与任一平行线相交的概率.

教学反思：7