二次根式的混合运算优秀说课稿

16.1

二次根式

柞水县杏坪中学

鲁家锋

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目. 2、理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简. 【重点难点】

1、二次根式的性质. 2、能确定二次根式中字母的取值范围.

知识概览图

二次根式的有关概念

二次根式：一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式

代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式

①被开方数a非负，即a≥0

②a本身非负，即a≥0

二次根式的双重非负性

二次根式二次根式的性质

2

(a)a(a≥0)

2（）=a（a≥0）

a二次根式的有关公式

a(a＞0)

a2a0(a0)

a(a＜0)

(a)2a2(a≥0)

新课导引

如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播远，从而能收到电半径为r km，则它第1页

们之间存在近似关系式，r= 2Rh，其中R是地球半径，R≈6400 km．若某个电视塔高为200 km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?

【问题探究】

因为R≈6400 km，h＝200 km，所以求传播半径r，实际上就是求26400200的值，即求2560000的值．怎么求2560000的值呢? 【解析】因为16002＝2560000，所以2560000＝1600．

所以r ≈26400200=1600(km) 教材精华

知识点1

二次根式的概念

一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．其中“

拓展

(1)二次根式必须含有二次根号“”读作“二次根号”．

”，虽然16=4，但是4是”．如3，16等都有“二次根式16的计算结果，因此16，121，1.44，9等也都是二次根式. 4

(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证a有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：a2，因为无论

a取什么实数，都有a2≥0，所以a2是二次根式．而x21，2x21都不是二次根式，因为它们虽然都有“”，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．

(3)“”的根指数为2，即“2”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当做0．如32就不是二次根式，因为它的根指数是3．

(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分285的形式，此时的有数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：2与5相乘，要写成33理数称为二次根式的系数. 第2页

知识点2

确定二次根式中字母的取值范围

要使a有意义，被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如2x1，只有当2x+1≥0，即x≥13x时，二次根式2x1才有意义. 再如，对于式子2x13x0,来说，只有当即-1＜x≤3时，二次根式才有意义.

x10,

拓展

对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.

知识点3

二次根式的性质

二次根式的双重非负性: a≥0，a≥0，因为a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知a≥0，如3，3等都是非负数. 2（a)2=a（a≥0）. 由于a（a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有（a)2=a，例如：（3)2=3，（6)2=6，（1.5)2=1.5.

拓展

（1）（a)2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数. （2）把（a)2=a（a≥0）逆用，写成a=（a)2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成（2)2，所以x2-2=x2-（2)2=（x+2）（x-2）. （3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：

（32)2=32×（2)2=9×2=18. （11316)2=（)2×（6)2=×6=等，则用到了积的乘方法则2422第3页

（ab)2=a2b2.

知识点4

由于

a2的化简

a2表示a2的算术平方根，所以a2的化简结果必须是个非负数. 而当a2有意义时a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0. 为了保证a2的化简结果非负，所以在化简结果中添加绝对值符号，即a2a，然后再根据a的符号化简绝对值. 比如：(5)255. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如(5)2525. 如果a2中a的符号a(a0),不确定，那么要讨论. 即a2=a0(a0),

a(a0).

拓展

（a)2与a2的区别与联系，如下表所示：

（a)2

a2

字母a 被开方数a的取值范围为a≥0，即a被开方数a2中的a可取一切实数，也就是的取值

是一个非负数，且（a)2=a. 例如：说，a既可以是正数，也可以是负数，还范围

不同

(2)2，(0)0，(2)无意可以是零. 222a(a0),例如当a2=aa(a0).3233，当a=-3时义

a=3时，(3)233

意义

不同

（a)2=a（a≥0）表示a的算术平a2a表示a的平方的算术平方根. 例方根的平方. 例如(5)25表示5的如：3293

表示3的平方的算术平算术平方根的平方，结果等于5 方根，结果等于3 a2a，其结果有两种形式，与a的取形式

不同

(a)2a（a≥0），其结果只有一种形式，就是非负数a本身

值有关，当a≥0时，a2a，当a＜0第4页

时，a2a

联系

(a)2a（a≥0）是一个非负数

当a≥0时，(a)2a2

a2a≥0是一个非负数

知识点5

代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来s的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a，a+b，ab，(t≠0)，x3，x21，tx33x(x3)等都是代数式.

拓展

代数式中不含有“＝”

“＞”

“＜”等符号，只有运算符号.

课堂检测

基本概念题

1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

（1）3；

（2）(3)2；

（3）(3)3；

（4）37；

（5）x；

（6）44；

（7）2a21；

（8）1；

2(x3)（9）(a4)2；

（10）m22m1.

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基础知识应用题

2、当x取何值时，下列各式有意义？

（1）3xx；

（2）2x（3）(x1)2；

（4）x；

x21；

23x（5）2x4x3；

（6）2；

x2x32a12x；

（8）2a.

a1x1（7）

3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1所示，化简a2b2(ab)2.

综合应用题

4、（1）三角形的高是底的1，底为xcm，则这个三角形的面积是

cm2; 2图21-1 （2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是

（设第一个圆的半径为r）.

第6页

探索创新题

1115、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值2a22,其中a.

aa5甲同学的做法是：

11112149原式＝(a)2=aa10.

aaaaa55乙同学的做法是：

原式＝11111(a)2=aa.

aaaa5谁的做法是正确的？说明理由.

体验中考

1、若代数式x1有意义，则x的取值范围是（

）

x2A. x＞1且x≠2

B.

x≥1 C. x≠2

D.

x≥1且x≠2

2、若x，y为实数，且x2y30，则（x＋y）2010的值为

. 学后反思

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