原（逆）命题、原（逆）定理教学目标

17．2

勾股定理的逆定理

第1课时

勾股定理的逆定理

解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC

52，AC＝32＋32＝32，AB＝52＋52＝1．能利用勾股定理的逆定理判定一个＝22＋82＝68.在△ABC中，∵BC2＋AC2三角形是否为直角三角形；(重点) ＝50＋18＝68，AB2＝68，∴BC2＋AC2＝2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A. 问题；(难点) 方法总结：要判断一个角是不是直角，3．理解原命题、逆命题、逆定理的概可构造出三角形，然后求出三条边的大小，念及关系．(重点) 用较小的两条边的平方和与最大的边的平

方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；

否则不是．

【类型二】

利用勾股定理的逆定理证

明垂直关系一、情境导入

如图，已知在正方形ABCD中，1AE＝EB，AF＝AD.求证：CE⊥EF. 4

古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角．

你知道这是什么道理吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理的逆定理

【类型一】

判断三角形的形状

如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(

)

解析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明．

证明：连接CF.设正方形的边长为4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD1＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝AD，∴AE4＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE. 方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法．

【类型三】

勾股数

判断下列几组数中，一定是勾股数的是(

)

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．以上答案都不对

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A．1，2，3

B．8，15，17 34C．7，14，15

D.，，1 55(1)两直线平行，同旁内角互补；

(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；

(3)相等的角是内错角；

(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．

解析：求一个命题的逆命题时，分别找出各命题的题设和结论将其互换即可得原命题的逆命题．

解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；

(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；

(3)内错角相等，假命题；

(4)等边三角形有一个角是60°，真命题．

方法总结：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例即可．

三、板书设计

1．勾股定理的逆定理及勾股数

如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

2．互逆命题与互逆定理

在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主．激励学生回答问题，激发学生的求知欲．课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率．学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆．

解析：选项A不是，因为2和3不是正整数；选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C不是，因为7234＋142≠152；选项D不是，因为与不是正55整数．故选B. 方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

【类型四】

运用勾股定理的逆定理解决面积问题

如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．

解析：连接AC，根据已知条件可求出AC，再运用勾股定理可证△ACD为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．

解：连接AC.∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝11×6×8＋×10×24＝144. 22方法总结：将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．

探究点二：互逆命题与互逆定理

写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．

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