4.1.1变量与函数评课稿

华章文化

第4章

一次函数

4．1 函数和它的表示法

4．1.1 变量与函数

新教案

1．认识变量、常量，学会用含有一个变量的代数式表示另一个变量．

2．认识变量中的自变量与函数，会确定自变量的取值范围．

3．会列简单问题中的函数关系式，并会根据自变量的取值求函数值．

阅读教材P110～112，完成预习内容．

(一)知识探究

1．变量：在讨论的问题中，取值会发生变化的量；

常量：在讨论的问题中，取值固定不变的量．

2．一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，这时把x叫作自变量，把y叫作因变量．对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值．

3．对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须还使实际问题有意义．

(二)自学反馈

1．一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．

(1)根据题意填写下表：

t/时

s/千米

1 60 2 120 3 180 4 240 5 300 (2)试用含t的代数式表示s为s＝60t；

(3)在这个问题中，常量是60，变量是s，t；其中，t是自变量，s是t的函数．

2．每张电影票的售价为10元，早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张．

(1)三场电影的票房收入分别是1__500元，2__050元，3__100元；

(2)设一场电影售票x张，票房收入y元，则用含x的代数式表示y为y＝10x；

(3)在这个问题中，常量是10，变量是x，y；其中，x是自变量，y是x的函数．

活动1 小组讨论

例1

分别指出下列关系中的变量和常量：

2(1)圆面积公式S＝πr(S表示面积，r表示半径)；

(2)匀速运动公式s＝vt(v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程)．

解：(1)r、S是变量，π是常量．

(2)t、s是变量，v是常量．

π是圆周率，是定值，是常量，S随着r的变化而变化，故S和r是变量；因为匀速运动中速度一定，所以v是常量，t和s是变量．

2例2

如图，一个矩形推拉窗高1.5 m，则活动窗的通风面积S (m)与拉开长度b (m)的关系式是S＝1.5b．

窗高1.5 m是一边长，拉开长度b (m)是另一边长，因此通风面积S＝1.5b. 例3

某火力发电厂，贮存煤1 000吨，每天发电用煤50吨，设发电天数为x天，该电厂开始发电后，贮存煤量为y(吨)．

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新教案

(1)写出y与x之间的关系式；

(2)为了保障电厂正常发电，工厂每天将从外地运回煤45吨，请写出按此方案执行时，y与x之间的关系式，并求出发电30天时，电厂贮存煤多少吨？

解：(1)y＝1 000－50x. (2)y＝1 000－50x＋45x＝1 000－5x，

当x＝30时，y＝1 000－5×30＝850. 答：发电30天时，电厂贮存煤850吨．

电厂贮存的煤量与原贮存量、每天发电的用煤量、每天从外地运回的煤量以及发电天数有关．

活动2 跟踪训练

21．设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径r的关系是V＝πrh，这个式子中常量是π，h，变量是V，r．

4342．若球体体积为V，半径为R，则V＝πR.其中变量是R，V，常量是，π．

33

找准不变的量，再确定变量．

3．在△ABC中，它的底边长是a，底边上的高是h，则△ABC

11的面积S＝ah，当底边a的长一定时，在关系式中的常量是，a，变量是S，h．

224．下列变量间的关系：①人的身高与年龄；②矩形的周长与面积；③圆的周长与面积；④商品的单价一定，其销售额与销售量，其中是函数关系的有③④．

一是明确已知两个变量是什么；二是看两个变量之间是否存在一一对应关系．

5．若等腰三角形底角度数值为x，则顶角度数值y与x的关系式是y＝－2x＋180，变量是x，y，常量是－2，180．

6．人的心跳速度通常与人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数，经过大量试验，有如下的关系：b＝0.8(220－a)．

(1)上述关系中的常量与变量各是什么？

(2)正常情况下，一名15岁的学生每分钟心跳的最高次数是多少？

解：(1)常量是0.8，220，变量是a，b.(2)164. 337．蓄水池中原有水800 m，每小时从中放出60 m的水．

3(1)写出池中的剩余水量Q (m)与放水时间t (h)之间的函数关系式；

(2)写出自变量t的取值范围；

(3)12 h后，池中还有多少水？

403解：(1)Q＝－60t＋800.(2)0≤t≤.(3)80 m. 3

实际问题中的函数关系，自变量除了要使函数关系式本身有意义，还要满足实际意义．此题要根据函数值的取值范围0≤Q≤800来确定自变量t的取值范围．

活动3 课堂小结

1．常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景．

2．判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应．

3．确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，还要注意使实际问题有意义. www.sjhzhb.com

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4.1.2 函数的表示法

新教案

1．总结函数的三种表示方法，了解三种表示方法的优缺点．

2．会根据具体情况选择适当方法表示函数．

阅读教材P112～115，完成预习内容．

(一)知识探究

1．函数的表示方法：图象法、列表法、公式法．

2．函数的三种表示方法的优缺点：

①图象法形象直观，但画出的图象是近似的、局部的，往往不够准确；

②列表法能明确地显示出自变量与其对应的函数值，但具有局限性；

③公式法的优点是简单明了，但它在求对应值时，往往需要复杂的计算才能得出．

(二)自学反馈

1．用列表法和公式法表示n边形的内角和 m(单位：度)是边数n的函数关系．

2．用公式法和图象法表示等边三角形的周长l与边长a的函数关系．

用列表法要注意所取值要有一定的代表性，一般取整数点，便于描点画图．

活动1 小组讨论

例1

已知等腰三角形的周长为12 cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm. (1)用公式法表示y与x之间的函数关系；

(2)确定x的取值范围；

(3)画出函数的图象．

解：(1)依题意，得y＝12－2x. 2x＞12－2x，(2)∵

12－2x＞0，∴自变量x的取值范围是3＜x＜6. (3)列表：

x y 3 6 4 4 5 2 6 0 描点、连线，画出图象如图所示．

根据等腰三角形的周长确定底边长y与腰长x间的函数关系式；在确定自变量的取值范围时，注意两腰长之和小于周长，组成三角形要保证底边长小于两腰之和；画函数图象分三个步骤进行，在描点时要注意空心圆圈和实心圆点的区别．

例2

下列各点中哪些在函数y＝2x－3的图象上？

A．(1，－2) B．(－2.5，－8) C．(0，－2)

D．(101，99) 解：点B在该函数图象上．

平面上的点，若横、纵坐标满足函数的表达式，则这个点就在这个函数的图象上．

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新教案

活动2 跟踪训练

1．一辆汽车与一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论错误的是(C) A．摩托车比汽车晚到1 h B．A、B两地的路程为20 km C．摩托车的速度为45 km/h D．汽车的速度为60 km/h

弄清楚横、纵轴分别表示的量，图象上的点分别表示的实际意义．

3332．某消防水池蓄水900 m，一次消防演习时每分钟抽水15 m去灭火，抽水时间为t(分)，池中的剩余水量为V (m)．

(1)写出剩余水量V与时间t的函数表达式；

(2)写出自变量t的取值范围；

(3)画出此函数的图象；

3(4)火被扑灭，演习结束，这时池中还有水525 m，这次演习抽水灭火用了多少分钟？

解：(1)V＝－15t＋900.(2)0≤t≤60.(3)略．(4)25分钟．

根据消防池中的剩余水量等于原有水量减去抽出水量建立函数关系式，根据抽水时间t与剩余水量V都是非负数，可确定t的取值范围．

活动3 课堂小结

1．通过函数的表达式列表，画出图象，根据图表读出其中的信息来解决实际问题，体现了数学中的一个重要思想方法——数形结合思想．

2．平面上的点，若横、纵坐标满足函数的表达式，则这个点就在这个函数的图象上，否则就不在函数的图象上．

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4．2 一次函数

新教案

1．理解一次函数的概念及其与正比例函数的关系．

2．会根据实际问题列简单的一次函数表达式．

阅读教材P118～119，完成预习内容．

(一)知识探究

1．关于自变量的一次式，像这样的函数称为一次函数．它的一般形式是：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数，其中k叫作比例系数．

2．一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的．

(二)自学反馈

1．下列函数中，是一次函数的是①④．

－82①y＝－8x；②y＝；③y＝5x＋6；④y＝－0.5x－1. x2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2米．

①求小球的速度v (m/s)随时间t (s)变化的函数关系式，它是一次函数吗？是正比例函数吗？

②求第2.5秒时小球的速度．

解：①v＝2t，是一次函数，也是正比例函数．②5 m/s. 3．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y(单位：升)随行驶时间x(单位：时)变化的函数表达式，并写出自变量x的取值范围，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？

解：y＝－5x＋50(0≤x≤10)，y是x的一次函数，但不是正比例函数．

根据题意写出相应的关系式，再根据一次函数和正比例函数的定义来判断．

活动1 小组讨论

例1 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值，若它是一次函数，求k的值．

1解：若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数，则2k＋1＝0，即k＝－. 2若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数，则k－2≠0，即k≠2.

根据一次函数和正比例函数的定义，易求得k的值．

例2 某电信公司的一种通话收费标准是：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费10元，另外，每通话1分缴费0.10元．

(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分)之间的函数表达式；

(2)某用户本月通话120分钟，那么该用户本月的费用是多少元？

(3)若某用户本月预交了200元，那么该用户本月可以通话多长时间？

解：(1)y＝0.1x＋10(x≥0)．

(2)当x＝120时，y＝22. (3)当y＝200时，x＝1 900.

应缴费用＝月租费＋通话费，已知一次函数表达式和两个变量中的一个，可求出另一个变量．

活动2 跟踪训练

1．下列说法错误的是(D) A．正比例函数y＝－2x也是一次函数

B．函数y＝3x－2是一次函数

2C．函数y＝2x－2不是一次函数

D．函数y＝kx＋b一定是一次函数

|m|2．已知函数y＝(m－1)x＋3m表示一次函数，则m的值是(B) www.sjhzhb.com

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新教案

A．1

B．－1

C．±1

D．0或－1 3．若函数y＝ax－(3a－3)的图象过原点，则a＝1，此时函数是正比例函数．

一次函数和正比例函数一样要满足两个条件，一是自变量的指数为1，二是其系数不为0. 34．为了节约用水，某市制定了以下用水收费标准，每户每月用水量不超过10 m时，每立方米收费1.5元，每户每33月用水量超过10 m时，超过的部分按每立方米2.5元收取，设某户每月用水量为x m，应缴消费为y元．

33(1)写出每月用水量未超过10 m和超过10 m时，y与x的函数表达式；

3(2)小明家十一月份的用水量为6 m，则该月应缴多少水费？

(3)小刚家十一月份缴水费35元，则该月用水量是多少？

3解：(1)y＝1.5x(0≤x≤10)，y＝2.5x－10(x＞10)．(2)9元．(3)18 m.

此题实质是一个分段函数，解第2问时要根据用水量确定用哪一个函数表达式，而第3问首先要求出第一个正比例函数的最大值，从而根据所缴费用所在的范围确定所用的表达式．

活动3 课堂小结

1．注意正比例函数与一次函数的关系．

2．某函数是一次函数应满足的条件是：自变量的指数是1，系数不为0. 3．逐步认识利用方程思想建立函数关系式. www.sjhzhb.com

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4.3 一次函数的图象

第1课时

正比例函数的图象和性质

新教案

1．会用“两点法”画正比例函数的图象．

2．正确理解正比例函数的图象及性质．

3．通过对正比例函数图象的观察，发现正比例函数图象的性质．

阅读教材P122～124，完成预习内容．

(一)知识探究

1．正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，也称它为“直线y＝kx”；

2．画正比例函数y＝kx的图象时，一般选原点和任意一点画直线，简称“两点法”．

3．当k>0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．

根据正比例函数表达式的比例系数的取值判断该函数图象位置，也可以根据正比例函数图象的位置判断该函数比例系数的取值．

(二)自学反馈

1．下列图象中，是正比例函数y＝x的图象的是(B)

正比例函数的图象必经过原点，据此可排除A、C、D. 2．若函数y＝kx(k≠0)的图象经过P(－2，6)，则k＝－3，图象经过第二、四象限．

将P点的坐标代入表达式可求出k值，再根据正比例函数图象的性质判断出图象所经过的象限．

3．在同一坐标系中，画出下列函数的图象．

33(1)y＝x；

(2)y＝－x. 22

可利用“两点法”画图．

活动1 小组讨论

例

根据下列条件求函数的表达式：

22函数y＝(k－9)x＋(k＋1)x是正比例函数，且y随x的增大而减小．

2解：由题意，得k－9＝0. ∴k＝3或k＝－3. ∵y随x的增大而减小，

∴k＋1<0.∴k<－1. ∴k＝－3. ∴函数的表达式为y＝－2x.

此题考查了两个知识点，一是正比例函数的定义，二是正比例函数图象的性质．

活动2 跟踪训练

11．关于函数y＝x，下列结论中，正确的是(D) 3A．函数图象经过点(1，3) B．不论x为何值，总有y＞0 C．y随x的增大而减小

D．函数图象经过第一、三象限

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新教案

2．点A(5，y1)和B(2，y2)都在直线y＝－x上，则y1与y2的关系是(C) A．y1≥y2

B．y1＝y2 C．y1＜y2

D．y1＞y2

3．某函数具有下列性质：①它的图象是经过原点(0，0)的一条直线；②y值随x的值增大而减小，请你写出一个满足上述两个条件的函数表达式答案不唯一，如：y＝－2x，该函数经过第二、四象限．

24．若函数y＝(2m＋6)x＋(1－m)x是正比例函数，则其表达式是y＝4x，该函数图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当x1

活动3 课堂小结

学生尝试小结：这节课你学到了什么？

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第2课时

一次函数的图象和性质

新教案

1．会画一次函数图象，理解和掌握一次函数的图象和性质．

2．理解直线y＝kx＋b与y＝kx之间的位置关系．

阅读教材P124～126，完成预习内容．

(一)知识探究

111．如图，比较y＝x与y＝x＋2的图象，先填空，再总结规律．

22

11(1)填空：这两个函数图象的形状都是直线，y＝x＋2可以看作由y＝x向上平移2个单位得到的；

22(2)规律归纳：①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，称为直线y＝kx＋b；

②直线y＝kx＋b(k≠0)可以看作由直线y＝kx(k≠0)上(下)平移|b|个单位长度而得到．当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移．

2．如图，观察下面y＝kx＋b(k≠0)的图象，填表：

(二)自学反馈

1．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，每小题中三个函数的图象有什么关系？

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(1)y＝x－1，y＝x，y＝x＋1；

(2)y＝－2x－1，y＝－2x，y＝－2x＋1.

k值相等的两条直线互相平行，b值增大可看作是原直线向上平移得到的，b值减小可看作是原直线向下平移得到的．

32．(1)直线y＝2x－3与x轴的交点坐标为(，0)；与y轴的交点坐标为(0，－3)；图象经过第一、三、四象限，y2随x的增大而增大．

(2)在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出它们的共同之处．

1y＝x＋1，y＝x＋1，y＝2x＋1，y＝－x＋1. 2

以上函数的图象都经过点(0，1)，k值决定了函数的增减性，b值决定了函数图象与y轴的交点．

活动1 小组讨论

例1 画出函数y＝2x－2的图象．

解：列表：

x y 1 0 0 －2

描点、连线，如图．

可用“两点法”画一次函数的图象，一般习惯上描直线与x轴和y轴的交点，函数y＝kx＋b(k≠0)与xb轴的交点坐标是(－，0)，与y轴的交点坐标是(0，b)．

k例2

已知一次函数y＝(3a－2)x＋(1－b)，求字母a，b的取值范围，使其分别满足：

(1)y随x的增大而增大；

(2)函数图象与y轴的交点在x轴的下方；

(3)函数图象经过第一、二、四象限．

解：(1)由题意，得3a－2>0，

2∴当a>，b取任意实数时，y随x的增大而增大．

33a－2≠0，(2)由题意，得

1－b＜0.2∴当a≠，b>1时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方．

33a－2＜0，(3)由题意，得

1－b＞0.2∴当a＜，b<1时，函数图象经过第一、二、四象限．

3

k值决定了函数的增减性，b值决定了函数图象与y轴的交点，k，b决定直线经过的象限．

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活动2 跟踪训练

1．在同一平面直角坐标系内，直线y＝－2x与y＝－2x＋3的位置关系为互相平行．

2．在同一平面直角坐标系内，直线y＝mx＋5可由直线y＝－2x－3向上平移得到，则m＝－2．

3．函数y＝kx＋b的图象平行于直线y＝－2x，且与y轴交于点(0，3)，则k＝－2，b＝3．

4．一次函数y＝(2m－3)x＋2m＋8的图象不经过第三象限，求m的取值范围．

3解：－4＜m＜. 2

图象不经过第三象限即经过第一、二、四象限，故需满足k<0，b>0. 5．已知函数y＝(1－3k)x＋2k－1，试回答：

3(1)k为何值时，图象交x轴于点(，0)? 4(2)k为何值时，y随x的增大而增大？

(3)k为何值时，图象经过点(－2，－13)? 15解：(1)k＝－1.(2)k＜.(3)k＝－. 34活动3 课堂小结

b1．一次函数的图象是过点(0，b)，(－，0)的直线，当k>0时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而增大；当kk<0时，直线y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小．

2．根据函数图象经过的象限，画出大致图象，结合图象确定其系数的符号，也可以由系数的符号确定图象经过的象限.

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4.4 用待定系数法确定一次函数表达式

新教案

1．理解待定系数法．

2．能根据所给信息确定一次函数表达式．

阅读教材P129～130，完成预习内容．

(一)知识探究

一次函数表达式的确定：

(1)方法：待定系数法．

(2)一般步骤：

①设，设出一次函数表达式的一般形式y＝kx＋b；

②列，将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程(组)；

③解，解方程(组)，求出待定系数；

④写出一次函数表达式．

归纳：(1)在用一次函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，通常情况下自变量要使函数本身有意义，还要使实际问题有意义．

(2)画函数图象时，不包含的点要用空心圆圈，包含的点要用实心圆点．

(二)自学反馈

1．(1)已知一次函数y＝kx＋2，当x＝5时，y的值为4，求k的值；

(2)已知直线y＝kx＋b经过点(9，0)和点(24，20)，求k，b的值．

2解：(1)k＝. 54(2)k＝，b＝－12. 3

根据待定系数法，将点的坐标代入表达式即可求出，如果k，b中只有一个未知，那么只需一个点坐标，如果两个都是未知，那么需要两个点的坐标才可求出．

2．一个试验室在0：00～2：00保持20 ℃的恒温，在2：00～4：00匀速升温，每小时升高5 ℃，写出时间t(单位：时)与试验室温度T(单位：℃)之间的函数表达式，并画出函数图象．

解：当0

活动1 小组讨论

例1

已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(3，－3)，且与直线y＝4x－3的交点在x轴上．

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)此一次函数的图象经过哪几个象限；

(3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形面积．

3解：(1)直线y＝4x－3与x轴的交点坐标为(，0)，

43则函数y＝kx＋b经过点(3，－3)和(，0)．

43k＋b＝－3，4k＝－，3

故3解得k＋b＝0.4b＝1.4∴此一次函数的表达式为y＝－x＋1. 3www.sjhzhb.com

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4(2)∵k＝－<0，b＝1>0，

3

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4∴一次函数y＝－x＋1的图象经过第一、二、四象限．

33(3)设此函数与x轴和y轴的交点分别为A、B，则两点坐标分别为A(，0)，B(0，1)．

43∴OA＝，OB＝1. 41133故S△AOB＝OA·OB＝××1＝. 2248

点在直线上，坐标满足表达式，据此可求待定系数；点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|. 例2

已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．

水银柱的长度x (cm) 体温计的读数y (℃) 4.2 35.0 …

…

8.2 40.0 9.8 42.0 (1)求y关于x的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围)；

(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm，求此时体温计的读数．

分析：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，由统计表的数据建立方程组求出其解即可；

(2)当x＝6.2时，代入(1)的表达式就可以求出y的值．

解：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得

35＝4.2k＋b，k＝1.25，解得

40＝8.2k＋b，b＝29.75.∴y关于x的函数关系式为y＝1.25x＋29.75. (2)当x＝6.2时，y＝1.25×6.2＋29.75＝37.5. 答：此时体温计的读数为37.5 ℃. 活动2 跟踪训练

1．已知一次函数图象经过点A(3，5)和点B(－4，－9)．

(1)求此一次函数的表达式；

(2)若点C(m，2)是该函数图象上的一点，求C点的坐标．

解：(1)设其表达式为y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)，则

5＝3k＋b，k＝2，解得

－9＝－4k＋b，b＝－1.∴此一次函数的表达式为y＝2x－1. (2)∵点C(m，2)在函数y＝2x－1的图象上，

3∴2＝2m－1.∴m＝. 23∴点C的坐标为(，2)．

22．直线l与直线y＝2x＋1的交点的横坐标为2，与直线y＝－x＋2的交点的纵坐标为1，求直线l的表达式．

解：y＝4x－3.

先根据已知函数求出两个交点的坐标，再用待定系数法求表达式．

3．已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(1，2)，且其图象可由正比例函数y＝kx的图象向下平移4个单位得到，求一次函数的表达式．

解：把(1，2)代入y＝kx＋b，得k＋b＝2. www.sjhzhb.com

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∵由y＝kx向下平移4个单位得到y＝kx＋b，

∴b＝－4. ∴k－4＝2，解得k＝6. ∴一次函数的表达式为y＝6x－4. 活动3 课堂小结

学生尝试小结：这节课你学到了什么？

新教案

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4.5 一次函数的应用

第1课时

利用一次函数解决实际问题

新教案

1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数表达式．

2．能通过函数图象获取信息，发展形象思维，培养数形结合意识．

3．根据函数图象解决简单的实际问题，培养数学应用能力．

阅读教材P133～134，完成预习内容．

自学反馈

333益阳市拟规定用水标准如下：每户每月用水量不超过6 m时，水费按2.5元/ m收费，每户每月用水量超过6 m3时，超过部分水费按3元/ m收费．

3(1)小明家4月用水量为4 m时，应交水费10元；

33(2)小红家4月用水量为8 m时，超过2m，没超过部分交费15元，超过部分交费6元，共应交水费21元．

先确定函数表达式，再求解．

活动1 小组讨论

例1 网购已经成为现代生活的一部分，为提倡低碳生活，减少运输带来的环境污染，广东地区发往湖南的某托运公司收费标准如下：每160千克以内收费0.6元/千克，超出160千克时，超出部分加收0.1元/千克．

(1)写出某人从广东网购某物至湖南应付该公司费用y(元)与所购物品的重量x(千克)之间的函数表达式；

(2)小明网购一套时尚沙发重150千克，应付该公司多少元？并仿此问提出新的问题．

(3)这个函数的图象由几部分组成？你能利用图象解决实际问题吗？

解：(1)当0≤x≤160时，y＝0.6x；

当x＞160时，y＝160×0.6＋(x－160)×(0.6＋0.1)＝0.7x－16. (2)当x＝150时，y＝0.6×150＝90，

即小明应付费90元．

活动设计：仿照(2)提出类似问题并作答：

如：小红网购家具重200 kg，应付费多少元？

即当x＝200时，y＝0.7×200－16＝124，即小红应付费124元．

(3)图象如下：

例2

甲、乙两地相距40 km，小明8：00骑自行车由学校去景区，平均车速为8 km/h；小红10：00坐校车也由学校去景区，平均车速为40 km/h.小明与学校的距离为y1 (km)，小红离学校的距离为y2 (km)．

(1)分别写出y1，y2与x之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围；

(2)根据两个函数在同一平面直角坐标系的图象指出谁先到达景区？

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新教案

分析：时间以谁出发为标准？

解:(1)y1＝8x(0≤x≤5)，y2＝40(x－2)(2≤x≤3)．

(2)从图象可知，过点(0，40)作一条与x轴平行的直线，发现它与线段y2＝40(x－2)，(2≤x≤3)先相交，由此说明小红先到景区．

活动2 跟踪训练

1．甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20 km.他们行进的路程s (km)与甲出发后的时间t (h)之间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是(C) A．甲的速度是4 km/h B．乙的速度是10 km/h C．乙比甲晚出发1 h D．甲比乙晚到B地3 h

2．某地出租车计费方法如图所示，x (km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象解答下列问题：

(1)该地出租车的起步价是7元；

(2)当x>2时，求y与x之间的函数表达式；

(3)若某乘客有一次乘出租车的里程为18 km，则这位乘客需付出租车车费多少元？

解：(2)当x>2时，设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，

∵直线过点(2，7)，(4，10)，

32k＋b＝7，k＝，2∴解得

4k＋b＝10.b＝4.3∴y与x之间的函数表达式为y＝x＋4(x>2)．

23(3)当x＝18时，y＝×18＋4＝31. 2答：该乘客应付31元车费．

活动3 课堂小结

1．从实际问题中建立一次函数模型．

2．提高识图能力，会从一次函数的图象中获得相关信息．

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第2课时

建立一次函数模型解决预测类型的问题

新教案

1．在具体情境中，分析变量间的关系，抽象出一次函数模型并会运用所建立的模型进行预测．

2．根据数据确定一次函数的表达式．

阅读教材P135～136，完成预习内容．

自学反馈

小明练习100米短跑，训练时间与100米短跑成绩记录如下：

时间(月) 成绩(秒) 1 15.6 2 15.4 3 15.2 4 15 (1)请你为小明的100米短跑成绩y(秒)与训练时间x(月)的关系建立函数模型；

(2)用所求出的函数表达式预测小明训练6个月的100米短跑成绩；

(3)能用所求出的函数表达式预测小明训练3年的100米短跑成绩吗？为什么？

分析：(1)由表格中的数据可知，每加1个月，成绩提高0.2秒，所以y与x之间是一次函数的关系，可设y＝kx＋b，利用已知点的坐标，即可求解；(2)令(1)中的x＝6，求出相应y值即可；(3)不能，因为短跑的成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长的时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远如此快的提高．

解：(1)设函数表达式为y＝kx＋b，依题意，得

15.6＝k＋b，k＝－0.2，解得

15.4＝2k＋b，b＝15.8.∴y＝－0.2x＋15.8. (2)当x＝6时，y＝－0.2×6＋15.8＝14.6. 答：小明训练6个月的100米短跑成绩为14.6秒．

(3)不能，因为短跑的成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长的时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远如此快的提高．

根据表格的分析可知函数是随着自变量均匀变化的，由此可知这个函数应是一次函数，利用待定系数法求解即可；在进行预测时要注意如果自变量的取值远离当前值，就不能将自变量代入求值，因为这个一次函数只能预测邻近的数据．

活动1 小组讨论

例1 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高y是指距x的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：

指距x (cm) 身高y (cm) …

…

20 160 21 169 …

…

(1)求出y与x之间的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围) (2)某人身高为196 cm，一般情况下他的指距应是多少？

解：(1)y＝9x－20.(2)24 cm. 例2 已知A，B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数图象(如图1)、上周货运量折线统计图(如图2)等信息如下：

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货运收费项目及收费标准表

汽车

火车

运输费

2 1.6

冷藏费

5 5 固定费用

200 2 280 新教案

(1)汽车的速度为________千米/时，火车的速度为________千米/时；

(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽(元)和y火(元)，分别求y汽，y火与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)，当x为何值时，y汽＞y火(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)；

(3)请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？

分析：(1)根据点的坐标为(2，120)，(2，200)，直接得出两车的速度即可；(2)根据货运收费项目及收费标准表、行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数图象，得出关系式即可；(3)根据平均数的求法以及折线图走势两个角度分析得出运输总费用较省方案．

解：(1)根据图表上点的坐标为(2，120)，(2，200)，

∴汽车的速度为60千米/时，火车的速度为100千米/时；

240240(2)依据题意得y汽＝240×2x＋×5x＋200＝500x＋200，y火＝240×1.6x＋×5x＋2 280＝396x＋2 280. 60100当y汽＞y火时，500x＋200＞396x＋2 280. ∴x＞20. (3)上周货运量x＝(17＋20＋19＋22＋22＋23＋24)÷7＝21＞20，从平均数分析，建议预定火车费用较省．从折线图走势分析，上周货运量周四(含周四)后大于20且呈上升趋势，建议预订火车费用较省．

活动2 跟踪训练

我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6 ℃.某时刻，益阳地面温度为20 ℃，设高出地面x千米处的温度为y ℃. (1)求y与x之间的函数表达式；

(2)已知益阳碧云峰高出地面约500米，预测这时山顶的温度大约是多少℃？

(3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34 ℃，预测飞机离地面的高度为多少千米？

解：(1)y＝20－6x.(2)17 ℃.(3)9千米．

活动3 课堂小结

1．根据数据确定一次函数表达式．

2．利用一次函数等知识进行合理预测，预测时要注意在已知数据邻近预测，结果才与事实更好地吻合．

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第3课时

一次函数与一次方程的联系

新教案

1．会用图象法解一元一次方程．

2．理解一元一次方程与函数图象之间的关系．

阅读教材P137～139，完成预习内容．

(一)知识探究

(1)方程2x＋20＝0的解是x＝－10；当函数y＝2x＋20的函数值为0时，x＝－10. (2)观察函数y＝2x＋20的图象，填空：函数y＝2x＋20与x轴交点的坐标是(－10，0)，即2x＋20＝0的解是x＝－10．

从“数”上看：求方程ax＋b＝0(a，b是常数，a≠0)的解，就是求x为何值时，函数y＝ax＋b的值为0；

从“形”上看：求方程ax＋b＝0(a，b是常数，a≠0)的解，就是求直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标．

(二)自学反馈

自变量x的取值满足什么条件时，函数y＝3x＋8的值满足下列条件？

(1)y＝0；

(2)y＝－7. 8解：(1)x＝－. (2)x＝－5. 3

把y的值代入函数表达式，即得到关于x的一元一次方程．

活动1 小组讨论

例

利用函数图象，解方程2x＋4＝3x＋6. 解：原方程可变形为x＋2＝0，

由函数y＝x＋2的图象与x轴的交点的坐标为(－2，0)，得x＝－2.

利用函数图象解方程要先将方程化成ax＋b＝0的形式，得到函数y＝ax＋b，从而将方程转化成函数问题，求函数y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标即求方程ax＋b＝0的解．

活动2 跟踪训练

1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点坐标是(－4，0)，则方程kx＋b＝0的解是x＝－4．

2．利用函数图象解方程：

(1)－x＋2＝1－3x；

(2)2x＋1＝x－3. 1解：(1)x＝－.(2)x＝－4. 23．画出函数y＝－x＋3的图象，并利用图象回答：

(1)当x＝－1时，y的值是多少？

(2)当x取何值时，y＝－1? (3)利用函数图象，解方程－x＋3＝0. 解：图略．(1)y＝4.(2)x＝4.(3)x＝3. 活动3 课堂小结

一次方程ax＋b＝0(a，b为常数且a≠0)是一次函数y＝ax＋b当y＝0时的特殊情形；一次方程ax＋b＝0的解是一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交点的横坐标．

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