二次根式的混合运算教学设计与反思

第十六章 二次根式

教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解 （3）掌握aba（a≥0）是一个非负数，（·aba）2=a（a≥0），aba2=a（a≥0）．

ab＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b；

=（a≥0，b>0），=ab（a≥0，b>0）．

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重点

1．二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）＝a（a≥0）；2a2=a（a≥0）•及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用．

3．最简二次根式的概念．

4．二次根式的加减运算．

教学难点

1．对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）＝a（a≥0）及2a2=a（a≥0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

1

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

16．1 二次根式 3课时

16．2 二次根式的乘法 3课时

16．3 二次根式的加减 3课时

教学活动、习题课、小结 2课时

16．1 二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

a 2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

2

A

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=点的坐标（33BC，所以所求，3）．

46 问题2：由勾股定理得AB= 二、探索新知

很明显310 问题3：由方差的概念得S= . 、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如“”称为二次根号．

a（a≥0）•的式子叫做二次根式， （学生活动）议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0，a有意义吗？

老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：1xy2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、、xy（x≥0，y•≥0）．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“

3 ”；第二，被开方数是正数或0．

解：二次根式有：1x2、1x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、、42、．

xy

例2．当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？

3x1 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥1313才

时，3x1在实数范围内有意义．

三、巩固练习

教材P练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．当x是多少时，

分析：要使的x+1≠0．

例4(1)已知y=2x2x32x31x1+1x1在实数范围内有意义？

2x3+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和1x1中+x2+5，求xy的值．(答案:2) 25(2)若a1+b1=0，求a2004+b2004的值．(答案:) 五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

2．选用《长江作业本》课时作业

4

16.1 二次根式(2) 第二课时

教学内容

1． 2．（a（a≥0）是一个非负数；

a）=a（a≥0）．

2 教学目标

理解a（a≥0）是一个非负数和（a）=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

a2 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出据结合算术平方根的意义导出（ 教学重难点关键

1．重点：aa2（a≥0）是一个非负数，用具体数）=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

（a≥0）是一个非负数；（a）=a（a≥0）及其运用．

（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出2 2．难点、关键：用分类思想的方法导出（aa）=a（a≥0）．

2 教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

a（a≥0）是一个非负数．

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（

4）=_______；（22）=_______；（29）=______；（23）=_______；

25

（13）=______；（272）=_______；（20）=_______．

2 老师点评：数，因此有（44是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，24是一个平方等于4的非负）=4．

222 同理可得：（所以

2）=2，（9）=9，（3）=3，（13）=213，（72）=272，（0）=0，2（

例1 计算

1．（32a）=a（a≥0）

2） 2．（325） 3．（256） 4．（272）2 分析：我们可以直接利用（3232a）=a（a≥0）的结论解题．

2解：（） =2，（35） =3·（225）=3·5=45，

22（56）=256，（72）=2(7)22274．

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（18） （223） （294） （20） （4278）2 (35)2(53)2 四、应用拓展

例2

计算

1．（ 4．（

x1）（x≥0） 2．（12x92a2） 3．（2a22a1） 24x2）2 6

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a≥0；（3）a+2a+1=（a+1）≥0；

2222（4）4x-12x+9=（2x）-2·2x·3+3=（2x-3）≥0．

所以上面的4题都可以运用（a22）=a（a≥0）的重要结论解题．

2 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （x1）=x+1 22 （2）∵a≥0，∴（2a2）=a2 22 （3）∵a+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）≥0，∴a+2a+1≥0 ，∴2222a22a12 =a+2a+1 2 （4）∵4x-12x+9=（2x）-2·2x·3+3=（2x-3）2 又∵（2x-3）≥0 ∴4x-12x+9≥0，∴（24x212x9）=4x-12x+9 22例3在实数范围内分解下列因式: 242 （1）x-3 （2）x-4 (3) 2x-3 分析：(略) 五、归纳小结

本节课应掌握：

1． 2．（a（a≥0）是一个非负数；

a）=a（a≥0）;反之:a=（2a）（a≥0）．

2 六、布置作业

1．教材P8 复习巩固2．（1）、（2） P9 7．

2．选用《长江作业本》课时作业

7

16.1 二次根式(3) 第三课时

教学内容

a2＝a（a≥0）

教学目标

理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

a2 通过具体数据的解答，探究 教学重难点关键

1．重点：a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

＝a（a≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，a2＝a才成立．

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1．形如 2． 3．(aa（a≥0）的式子叫做二次根式；

（a≥0）是一个非负数；

a)＝a（a≥0）．

a22 那么，我们猜想当a≥0时， 二、探究新知

（学生活动）填空：

22=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

=_______；0.012=_______；(110)2=______；

(23)2=________；02=________；(37)2=_______．

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

8

22=2；0.012=0.01；(110)2=110；(23)2=23；02=0；(37)2=37．

因此，一般地：

例1

化简

（1）9a2=a（a≥0）

（2）(4)22 （3）2252 （4）(3)22

分析：因为（1）9=-3，（2）（-4）=4，（3）25=5，

（4）（-3）=3，所以都可运用解：（1）（3）922a22=a（a≥0）•去化简．

42==32=3 （2）2(4)=2=4 2255=5 （4）(3)=3=3 三、巩固练习

教材P7练习2．

四、应用拓展

例2

填空：当a≥0时，下列问题．

（1）若 （2）若 （3）a2a2=_____；当a<0时，a2=_______，•并根据这一性质回答a2=a，则a可以是什么数？

=-a，则a可以是什么数？

a2>a，则a可以是什么数？

a2

分析：∵2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，a2使“（ ）”中的数是正数，因为，当a≤0时，=(a)2，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．

a22 解：（1）因为 （2）因为

a=a，所以a≥0；

=-a，所以a≤0；

9

（3）因为当a≥0时要使a2a2=a，要使a2>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，a2=-a，>a，即使-a>a，a<0综上，a<0 (x2)2例3当x>2，化简分析：(略) 五、归纳小结

本节课应掌握：a-(12x)2．

2=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，a2＝－a的应用拓展．

六、布置作业

1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．

2．选用《长江作业本》课时作业

10

16．2 二次根式的乘除

第一课时

教学内容

a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标

理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出逆向思维，得出aba·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），aab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．

难点：发现规律，导出 关键：要讲清(2)(3)ab·b＝ab（a≥0，b≥0）．

ab（a<0,b<0）=×3，如(2)(3=)(2)(3)或=23=2．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空

（1） （2） （3）4××9=_______，2549=______；

=________．

=_______．

16=_______，1625100×36=________，10036 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

4×9_____49，16×25_____1625，100×36________10036

2．利用计算器计算填空

（1）

2×3______6，（2）2×5______10，

11

（3） （5）5××6____________30，（4）．

4×5______20，

71070 老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

反过来:

例1．计算

（1）5a·abb＝aab．（a≥0，b≥0）

（a≥0，b≥0）

=·b×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6

分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．

1313 解：（1）5×7=35 （2）×9=9=3

（3）9×27=927932=93 （4）12×6=126=3

例2

化简

（1）（4）916 （2） （5）==a1681 （3）81100

9xy2254

分析：利用 解：（1） （3）

ab·××b（a≥0，b≥0）直接化简即可．

=3×4=12 （2）=9×10=90 12 1681916916=16×81=4×9=36 81100=81100

（4） （5）9xy22=32×32xy22=632×6x2×y2=3xy 54=96=×=3

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①

16×8 ②36×210 ③5a·152ay

(2) 化简: 20; 18; 24; 54; 12ab2

教材P11练习全部

四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）(4)(9)49

1225 （2）41225×25=4×1225×25=4×25=412=83

解：（1）不正确．

改正：(4)(9)=49＝4×9=2×3=6 （2）不正确．

改正：41225×25=11225×25=1122525=112=167＝47

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．

六、布置作业

1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）．

2．选用《长江作业本》课时作业

13

16．2 二次根式的乘除

第二课时

教学内容

ab=ab（a≥0，b>0），反过来ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标

理解ab=ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1．重点：理解ab=ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1）91641691636813681916=________，916=_________； （2）163636=________，1636=________；

（3）=________，416=_________； （4）=________，3681=________．

8116361636规律：______；______；416_______416；

_______．

3．利用计算器计算填空:

14

（1）3434=_________，（2）23=_________，（3）25=______，（4）78=________．

规律：______34；23_______23；25_____25；78_____78。

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

abab=ab（a≥0，b>0），

反过来，=ab（a≥0，b>0）

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例1．计算：（1）123ab1233218 （2）3218 （3）14116 （4）648

分析：上面4小题利用=ab（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

解：（1）=123=4=2

（2）=321832834=3×=23

（3）14116=141161416=4=2 （4）648=648=8=22

例2．化简：

15

（1）364 （2）64b9a22 （3）9x64y2 （4）5x169y2

分析：直接利用ab=ab（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

解：（1）364=364382

（2）64b9a22=64b9a28b3a3 （3）9x64y2=9x64y2x8y （4）5x169y2=5x169y25x13y

三、巩固练习

教材P14 练习1．

四、应用拓展

例3．已知9xx6ab9xx6，且x为偶数，求（1+x）x25x4x2的值．

1分析：式子=ab，只有a≥0，b>0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

五、归纳小结

本节课要掌握ab=ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及其运用．

六、布置作业

1．教材P15 习题21．2 2、7、8、9．

2．选用《长江作业本》课时作业

16

16.2 二次根式的乘除(3) 第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

重难点关键

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1．计算（1）3535155，（2）3227，（3）82a

老师点评：=，3227=63，82a=2aa

2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．

它们的比是2Rh12Rh2．

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．

学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．

老师点评：不是．

2Rh12Rh2=2Rh12Rh2h1h2h1h2h2.

17

例1．(1) 3512; (2) xy24xy42; (3) 8xy23

例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

AB 解：因为AB=AC+BC 所以AB=2.52C

222 62=(52)23616941694132=6.5（cm）

因此AB的长为6.5cm．

三、巩固练习

教材P14 练习2、3 四、应用拓展

例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

121=(1(21)21)32)(2121=2-1，

21)(1((3143132=2)32)3322=3-2，

同理可得：=4-3，……

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（121+132+143+……120022001）（2002+1）的值．

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

解：原式=（ =（

20022-1+3-2+4-3+……+2002-2001）×（2002+1）

-1）（2002+1）

18

=2002-1=2001 五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．

六、布置作业

1．教材P15 习题21．2 3、7、10．

2．选用《长江作业本》课时作业

19

16.3 二次根式的加减(1) 第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法．

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

重难点关键

1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式．

222223 （1）2x+3x；

（2）2x-3x+5x；

（3）x+2x+3y；

（4）3a-2a+a 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．

二、探索新知

学生活动：计算下列各式．

（1）2（3）72+372 （2）2978-3-28+5+8

+2+3 （4）3332 老师点评： （1）如果我们把 222当成x，不就转化为上面的问题吗？

2+382=（2+3）=52

（2）把 2 （3）把 78当成y；

8-37+58=（2-3+5）8=48=82

当成z；

+797+277

=（1+2+3）7 =2

+2+37=67

20

（4） 333看为x，32看为y．

-2+32

2 =（3-2） =3+

+2

2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2们可以合并吗？可以的．

（板书）3 332与8表面上看是不相同的，但它+38=332+232=52

+27=3+3=6

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．

例1．计算

（1）8+18 （2）16x+64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：（1） （2）16x8++18=2=42+3x2=（2+3）x2=5x2

x64x+8=（4+8）=12

例2．计算

（1）348-913+312

（2）（48+20）+（1312-5）

解：（1）348-9+312=123-33+63=（12-3+6）3=153

（2）（48++220）+（+2312-55）=348+20+12-5

=4

35-=6+5

21

三、巩固练习

教材P19 练习1、2．

四、应用拓展

例3．已知4x+y-4x-6y+10=0，求（2223x9x+y2xy3）-（x21x-5xyx2）的值．

2

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）+（y-3）=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．

22 解：∵4x+y-4x-6y+10=0 22 ∵4x-4x+1+y-6y+9=0 22 ∴（2x-1）+（y-3）=0 ∴x=12，y=3 23 原式=x9x+y2xy3-x21x+5xyx

=2x =xxx+xy-x

x+5xy

+61212xy 当x=，y=3时，

1232 原式=×+6=24+36

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．

六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 1、2、3、5．

2．选用《长江作业本》课时作业

22

16.3 二次根式的加减(2) 第二课时

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题．

教学目标

运用二次根式、化简解应用题．

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．

二、探索新知

例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

CQAB

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．

解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．

则有PB=x，BQ=2x 依题意，得： x=35 x=352P12x·2x=35

35 所以 PQ=

秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

2PBBQ2x24x25x2535=57

23

答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米．

例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．

B2mA 解：由勾股定理，得

AB= BC=AD24mwww.czsx.com.cnD1mC

BD24222220=25

BD2CD2221=5

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD =2 =35+5+5+2 5+7 ≈3×2.24+7≈13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．

三、巩固练习

教材P19 练习3 四、应用拓展

例3．若最简根式3ab4a3b与根式2ab2b36b2是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式2ab2b36b2不是最简二次根式，因此把2ab2b36b2化简成|b|·2ab6，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式

2ab22ab22b236b2化为最简二次根式：

=|b|·24 2ab6b36b=b(2a16)

由题意得4a3b2ab63ab2

∴2a4b63ab2

∴a=1，b=1 五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 7．

2．选用《长江作业本》课时作业

25

16.3 二次根式的加减(3) 第三课时

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算

22 （1）（2x+y）·zx （2）（2xy+3xy）÷xy 2．计算

22 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）+（2x-1） 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1．计算: （1）（6+8）×3 （2）（46-32）÷22

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）（ =186+8）×+263=6×3+8×3

+24=322

2 解：（4 =23632-3

）÷2=46÷22-32÷22

- 例2．计算

26

（1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：（1）（ =355+6）（3-）+18-625）

-（555 =13-3 （2）（

10+7）（10-7）=（10）-（27）2 =10-7=3 三、巩固练习

课本P20练习1、2．

四、应用拓展

例3．已知xba=2-xab，其中a、b是实数，且a+b≠0，

xx化简x1x1xx+x1x1，并求值．

分析：由于（x1+x）（x1-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．

解：原式=((x12x1x)(x)2+x)((x1x1x)(x)2

x)x12x1=(x1x)+(x1x)

(x1)x(x1)x =（x+1）+x-2 =4x+2 ∵xbax(x1)+x+2x(x1)

=2-xab

∴b（x-b）=2ab-a（x-a）

22 ∴bx-b=2ab-ax+a22 ∴（a+b）x=a+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）

27

∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 1、8、9．

2．选用《长江作业本》课时作业

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