3. 势能教学设计一等奖

4

重力势能

[学习目标]

1.认识重力做功与物体运动路径无关的特点.2.理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行有关计算.3.理解重力做功与重力势能变化的关系.4.知道重力势能具有相对性.5.知道重力势能是物体和地球所组成的系统所共有的.

一、重力做的功

1.重力做功的表达式：WG＝mgh，h指初位置与末位置的高度差. 2.重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关. 二、重力势能

1.重力势能

(1)定义：物体由于被举高而具有的能. (2)公式：Ep＝mgh，式中h是物体重心到参考平面的高度. (3)单位：焦耳；符号：J. 2.重力做功与重力势能之间的关系：WG＝Ep1－Ep2. 三、重力势能的相对性和系统性

1.相对性：Ep＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度.参考平面选择不同，则物体的高度h不同，重力势能的大小也就不同. 2.系统性：重力是地球与物体相互吸引产生的，所以重力势能是地球与物体所组成的“系统”所共有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化说法. [即学即用]

1.判断下列说法的正误. (1)重力做功与物体沿直线或曲线有关.(×) (2)物体只要运动，其重力一定做功.(×) (3)同一物体在不同位置的重力势能分别为Ep1＝3 J，Ep2＝－10 J，则Ep1

图1 答案

mg(H＋h)

减少

mg(H＋h)

一、重力做功

[导学探究]

如图2所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：

图2 (1)根据功的公式求出甲、乙两种情况下重力做的功；

(2)求出丙中重力做的功；

(3)重力做功有什么特点？

答案

(1)甲中WG＝mgh＝mgh1－mgh2

乙中WG′＝mglcos θ＝mgh＝mgh1－mgh2

(2)把整个路径AB分成许多很短的间隔AA1、A1A2…，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看做一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2…. 物体通过整个路径时重力做的功

WG″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…

＝mg(Δh1＋Δh2＋…)＝mgh

＝mgh1－mgh2

(3)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关. [知识深化]

1.重力做功大小只与重力和物体高度变化有关，与受其他力及运动状态均无关. 2.物体下降时重力做正功，物体上升时重力做负功.

3.在一些往复运动或多个运动过程的复杂问题中求重力做功时，利用重力做功的特点，可以省去大量中间过程，一步求解. 例1

在同一高度，把三个质量相同的球A、B、C分别以相等的速率竖直上抛、竖直下抛和平抛，它们都落到同一水平地面上.三个球在运动过程中，重力对它们做的功分别为WA、WB、WC，重力的平均功率分别为PA、PB、PC，则它们的大小关系为(

) A.WA>WB＝WC，PA>PB＝PC

B.WA＝WB＝WC，PA＝PB＝PC

C.WA＝WB＝WC，PB>PC>PA

D.WA>WB>WC，PA>PB>PC

答案

C 解析

由重力做功特点知：WA＝WB＝WC；从抛出到落地的时间，由运动学知识知：tBPC>PA，故C对. t二、重力势能

[导学探究]

如图3所示，质量为m的物体自高度为h2的A处下落至高度为h1的B处.求下列两种情况下，重力做的功和重力势能的变化量，并分析它们之间的关系.

图3 (1)以地面为零势能参考面；

(2)以B处所在的高度为零势能参考面. 答案

(1)重力做的功WG＝mgΔh＝mg(h2－h1)，选地面为零势能参考面，EpA＝mgh2，EpB＝mgh1，重力势能的变化量ΔEp＝mgh1－mgh2＝－mgΔh. (2)选B处所在的高度为零势能参考面，重力做功WG＝mgΔh＝mg(h2－h1).物体的重力势能EpA＝mg(h2－h1)＝mgΔh，EpB＝0，重力势能的变化量ΔEp＝0－mgΔh＝－mgΔh. 综上两次分析可见WG＝－ΔEp，即重力做的功等于重力势能的变化量的负值，而且重力势能的变化与零势能参考面的选取无关. [知识深化]

1.重力做功与重力势能变化的关系

WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp

2.重力势能的相对性

物体的重力势能总是相对于某一水平参考面，选不同的参考面，物体重力势能的数值是不同的.故在计算重力势能时，必须首先选取参考平面. 3.重力势能是标量，但有正负之分，物体在零势能面上方，物体的重力势能是正值，表示物

体的重力势能比在参考平面上时要多，物体在零势能面下方，物体的重力势能是负值，表示物体的重力势能比在参考平面上时要少. 4.重力势能的变化量与参考平面的选择无关. 例2

下列关于重力势能的说法正确的是(

) A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定

B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大

C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了

D.在地面上的物体具有的重力势能一定等于零

答案

C 解析

物体的重力势能与参考平面的选取有关，同一物体在同一位置相对不同的参考平面的重力势能不同，A选项错；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，B选项错；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C选项对；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为零，否则不为零，D选项错. 例3

如图4所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h.若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是(

)

图4 A.mgh，减少mg(H－h) B.mgh，增加mg(H＋h) C.－mgh，增加mg(H－h) D.－mgh，减少mg(H＋h) 答案

D 解析

以桌面为参考平面，落地时小球的重力势能为－mgh，即末状态的重力势能为－mgh，初状态的重力势能为mgH，重力势能的变化即为－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，重力势能减少了mg(H＋h).故选D. 三、重力做功与重力势能变化的关系

例4

如图5所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会2以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，3重力做功为多少？重力势能减少了多少？

图5 11答案

mgl

mgl

331解析

从A点运动到C点，小球下落的高度为h＝l，

31故重力做功WG＝mgh＝mgl，

31重力势能的变化量ΔEp＝－WG＝－mgl

3负号表示小球的重力势能减少了.

1.重力做功与重力势能变化的关系：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp，即重力势能变化多少是由重力做功的多少唯一量度的，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素均无关. 2.两种情况

物体由高到低←――――――――――――――→重力势能减少

物体由低到高←――――――――――――――→重力势能增加

WG<0，Ep10，Ep1>Ep2

1.(重力做功的特点)如图6所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地面高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的，则(

)

图6 A.沿轨道1滑下重力做的功多

B.沿轨道2滑下重力做的功多

C.沿轨道3滑下重力做的功多

D.沿三条轨道滑下重力做的功一样多

答案

D

解析

重力做功的多少只与初、末位置的高度差有关，与路径无关，D选项正确. 2.(重力势能的理解)关于重力势能，下列说法正确的是(

) A.重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的

B.处在同一高度的物体，具有的重力势能相同

C.重力势能是标量，不可能有正、负值

D.浮在海面上的小船的重力势能一定为零

答案

A 解析

重力势能具有系统性，重力势能是物体与地球共有的，故A正确；重力势能等于mgh，其中h是相对于参考平面的高度，参考平面不同，h不同，另外质量也不一定相同，故处在同一高度的物体，其重力势能不一定相同，选项B错误；重力势能是标量，但有正负，负号表示物体在参考平面的下方，故C错误；零势能面的选取是任意的，并不一定选择海平面为零势能面，故浮在海面上的小船的重力势能不一定为零，选项D错误. 3.(重力势能及重力势能的变化)一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上A先落到地面C最后滚入沟底D.A、B、C、D、E面之间竖直距离如图7所示.以地面C为零势能面，g取10 m/s2，则该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是(

)

图7 A.15.6 J和9 J

B.9 J和－9 J C.15.6 J和－9 J

D.15.6 J和－15.6 J 答案

C 解析

以地面C为零势能面，根据重力势能的计算公式得D处的重力势能Ep＝mgh＝0.3×10×(－3.0)J＝－9 J.从A落下到D的过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh＝0.3×10×(0.7＋1.5＋3.0) J＝15.6 J，故选C. 4.(重力做功与重力势能变化的关系)在离地80 m处无初速度释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取最高点所在水平面为零势能参考平面.求：

(1)在第2 s末小球的重力势能；

(2)3 s内重力所做的功及重力势能的变化. 答案

(1)－40 J

(2)90 J

减少了90 J 解析

(1)在第2 s末小球下落的高度为：

11h＝gt2＝×10×22 m＝20 m 22重力势能为：

Ep＝－mgh＝－0.2×10×20 J＝－40 J. (2)在3 s内小球下落的高度为

11h′＝gt′2＝×10×32 m＝45 m. 223 s内重力做功为：

WG＝mgh′＝0.2×10×45 J＝90 J WG>0，所以小球的重力势能减少，且减少了90 J. 课时作业

一、选择题(1～7为单项选择题，8～11为多项选择题) 1.下列关于重力势能的几种理解，正确的是(

) A.重力势能等于零的物体，一定不会对别的物体做功

B.放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零

C.选取地面为参考平面，从不同高度将某一物体抛出，落地时物体的重力势能不相等

D.选取不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但并不影响有关重力势能问题的研究

答案

D 解析

重力势能的大小与零势能参考平面的选取有关，一个物体重力势能的大小跟它能否对别的物体做功无必然联系. 2. 某大型拱桥的拱高为h，AB弧长为L，如图1所示，质量为m的汽车在以不变的速率v由A点运动到B点的过程中，以下说法正确的是(

)

图1 A.汽车的重力势能始终不变，重力始终不做功

B.汽车的重力势能先减小后增大，总的变化量为零，重力先做负功，后做正功，总功为零

C.汽车的重力势能先增大后减小，总的变化量为零，重力先做正功，后做负功，总功为零

D.汽车的重力势能先增大后减小，总的变化量为零，重力先做负功，后做正功，总功为零

答案

D

解析

前半段，汽车向高处运动，重力势能增大，重力做负功；后半段，汽车向低处运动，重力势能减小，重力做正功，选项D正确. 3.如图2所示，在水平面上平铺着n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如果人工将砖一块一块地叠放起来，那么人至少做功(

)

图2 A.n(n－1)mgh

C.n(n＋1)mgh

答案

B 11解析

取n块砖的整体为研究对象，叠放起来后整体的重心距地面nh，原来的重心距地面h，22111故有W＝ΔEp＝nmg×nh－nmg×h＝n(n－1)mgh，B项正确. 2224.一根长为2 m、重为200 N的均匀木杆放在水平地面上，现将它的一端缓慢地从地面抬高0.5 m，另一端仍放在地面上，则所需做的功为(

) A.50 J

C.200 J

答案

A 0.5解析

由几何关系可知，杆的重心向上运动了h＝

m＝0.25 m，故克服重力做功WG＝mgh2＝200×0.25 J＝50 J；外力做的功等于克服重力做的功，即外力做功50 J，选项A正确. 5.一物体以初速度v竖直向上抛出，做竖直上抛运动，则物体的重力势能Ep－路程s图象应是四个图中的(

) B.100 J D.400 J 1B.n(n－1)mgh

21D.n(n＋1)mgh

2

答案

A 解析

以抛出点为零势能点，则上升阶段路程为s时，克服重力做功mgs，重力势能Ep＝mgs，即重力势能与路程s成正比；下降阶段，物体距抛出点的高度h＝2h0－s，其中h0为上升的最高点，故重力势能Ep＝mgh＝2mgh0－mgs，故下降阶段，随着路程s的增大，重力势能线性减小，选项A正确. 6. 如图3所示，物体A的质量为m，A的上端连接一个轻弹簧，弹簧原长为L0，劲度系数为

k，整个系统置于水平地面上，现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是(

)

图3 A.提弹簧的力对系统做功为mgL

B.物体A的重力势能增加mgL

C.物体A的重力势能增加mg(L－L0) mgL－

D.物体A的重力势能增加mgk答案

D 解析

将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，由于开始时有支持力，故拉力先小于mg，物体离地后等于mg，拉力的位移为L，故提弹簧的力对系统做功小于mgL，故A错误；B点上移mg距离为L，弹簧伸长量为ΔL＝，故A上升的高度为L－ΔL，所以物体A的重力势能增加kmgL－，故B、C错误，D正确. mgk7. 如图4所示，一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，则(

)

图4 A.卫星在A点的重力势能比在B点的重力势能大

B.卫星在B点的重力势能比在A点的重力势能大

C.卫星在A、B两点的重力势能相等

D.条件不足，无法比较

答案

B 解析

设A、B两点距离地球的距离分别为hA和hB.如图所示，在AB连线上取A′点，使A与A′同处于以地心为圆心的同一圆弧上，则A与A′处物体重力势能大小相等.另外，卫星由B至A′时，引力做正功，重力势能减少，故有EpA

) A.重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少

B.物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加

C.地球上物体的重力势能是不变的

D.重力做功的多少及重力势能的变化量都与参考平面的选取无关

答案

ABD 解析

重力做正功，物体的重力势能一定减少，物体克服重力做功，物体的重力势能一定增加，选项A、B正确；物体的重力势能大小除与其质量有关外，还与物体所处的位置有关，在不同高度，同一物体的重力势能不同，选项C错误；重力做功的特点是重力做功多少只与物体初、末位置的高度差有关，与参考平面的选取无关，而重力势能的变化量等于重力做的功，选项D正确. 9.物体在运动过程中，克服重力做功100 J，则以下说法正确的是(

) A.物体的高度一定降低了

B.物体的高度一定升高了

C.物体的重力势能一定是100 J D.物体的重力势能一定增加100 J 答案

BD 解析

克服重力做功，即重力做负功，重力势能增加，高度升高，克服重力做多少功，重力势能就增加多少，但重力势能是相对的，增加100 J的重力势能，并不代表现在的重力势能就是100 J，故B、D正确，A、C错误. 10. 如图5所示，一小球贴着光滑曲面自由滑下，依次经过A、B、C三点.以下表述正确的是(

)

图5 A.若以地面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点大

B.若以A点所在的水平面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点小

C.若以B点所在的水平面为参考平面，小球在C点的重力势能大于零

D.无论以何处水平面为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大

答案

AD 11.在高处的某一点将两个质量相等的小球以相同速率v0分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是(不计空气阻力)(

) A.从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等

B.从抛出到刚着地，重力对两球做的功都是正功

C.从抛出到刚着地，重力对两球做功的平均功率相等

D.两球刚着地时，重力的瞬时功率相等

答案

ABD 解析

重力做功只取决于初、末位置的高度差，与路径和运动状态无关.由W＝mgh得出重力做功的大小只由

W重力和高度的变化决定，故A、B项正确；由于竖直上抛比竖直下抛的运动时间长，由P＝，t知P上＜P下，故C项错误；由运动学公式得出着地时速度相同，重力的瞬时功率P＝mgv相同，故D项正确. 二、非选择题

12. 如图6所示，总长为2 m的光滑匀质铁链，质量为10 kg，跨过一光滑的轻质定滑轮.开始时铁链的两端相齐，当略有扰动时某一端开始下落，问：从铁链刚开始下落到铁链刚脱离滑轮这一过程中，重力对铁链做了多少功？重力势能如何变化？变化了多少？(g取10 m/s2)

图6 答案

50 J

重力势能减少

50 J 解析

如图所示，开始时，铁链重心在A点，铁链将要离开滑轮时，重心在B点，则此过程中铁链重心下降距离Δh＝0.5 m，重力做功WG＝mgΔh＝10×10×0.5 J＝50 J，重心下降，重力做正功，故铁链重力势能减少50 J.

g13.起重机以的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则起重机钢索的4拉力对物体做功为多少？物体克服重力做功为多少？物体重力势能变化为多少？(空气阻力不计) 答案

3mgh

mgh

增加了mgh

4g解析

由题意可知，起重机向下的加速度a＝，物体上升高度为h，根据牛顿第二定律得mg433－F＝ma，所以F＝mg－ma＝mg，方向竖直向上.所以拉力做功WF＝Fh＝mgh.重力做功44WG＝－mgh，即物体克服重力做功mgh.又因WG＝－ΔEp，故重力势能变化ΔEp＝－WG＝mgh，即重力势能增加了mgh.