习题训练教学实录及点评

二次根式习题课

教学目标

1.理解二次根式的概念和基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

2．能够熟练运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．

3.经历应用二次根式的性质、运算法则解决问题的过程，进一步发展学生的推理能力。

教学重点和难点

重点：二次根式有意义的条件和性质，含二次根式的式子的混合运算．

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．

教学过程设计

一、复习，构建知识结构

1．请同学回忆二次根式的概念和最简二次根式的概念，并举例说明。

2.请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．

指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．

3．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．

指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．计算结果要把分母有理化．

4．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：

5．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：

二、例题

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考点一：二次根式的相关概念有意义的条件

例1 a取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：

1(2);2;12a

3

(1)a分析：

(3)a(2a(4)3；)a1.

(1)

题二次根式被开方数是一个整式，所以被开放式为非负数。

(2)

题式子中被开方数不能为负数并且分母不为零。

(3)题是被开方数是一个完全平方，所以a为任意实数；

(4)题的分子是二次根式，被开方数不能为负数，同时分母不能为零。

归纳：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：

①被开方数大于或等于零

②分母中有字母时，要保证分母不为零.

练一练：1.求下列二次根式中字母的取值范围: (1)x44x;(2)x51.3x

考点二：二次根式的性质

例2 ：x,y均是实数，且满足

求

13x3x16y

x1y

的值。

a8b5c320分析：先根据二次根式的性质求出x的值，再带入求出y的值

练2. 已知a,b,c满足

求abc的值

归纳：a≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一. 22|a|ab.

例3：实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：2

，

a

0

b

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分析:化简此代数式的关键是能准确地判断a、b的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简. 解：由数轴可以确定a<0,b>0，

22|a|a,aa,bb.

∴∴原式=-a-(-a)+b=b. 练一练：

|b1.若实数a、b满足

|a22.若1

的结果是_______. 4a20,b

则_________.

a22a1a26a9

3. 已知a是实数，求

a22a12

的值.

. 考点3:二次根式的运算及应用

例4:计算：

3(2)5155(1)8122;

15;

(3)65;2

(4)56256

2.学生自己独立完成，然后老师讲解。

归纳：二次根式的混合运算的运算顺序：二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算. 例5：把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）

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解：

S=（

18-2）24 =（

32-2）24 =2224 =16．

考点4：二次根式的化简求值

x例6：已知

x21,y2

1

，求

yyx

的值.

练习：

先化简，再求值：

1a2a2aa24a24a4

,其中

三、课堂练习

1．选择题：

A．a≤2

B．a≥2

C．a≠2

D．a＜2

A．x+2

B．-x-2

C．-x+2

D．x-2

A．2x

B．2a

C．-2x

D．-2a

2．填空题：

4 / 5

a2.

4．计算：

四、小结

1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．

2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．

3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．

4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．

五、作业

1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？

2．把下列各式化成最简二次根式：

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