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规则晶体的密度计算

本节我们将着重讨论如何来计算其密度。先来了解一下有关密度的问题吧。

【讨论】在初中物理中，我们学习了密度概念。密度是某一物质单位体积的质量，就是某一物质质量与体积的比值。密度是物质的一种属性，我们无限分割某一物质，密度是不变的（初中老师说过）。这儿请注意几个问题：其一，密度受环境因素，如温度、压强的影响。“热胀冷缩”引起物质体积变化，同时也改变了密度。在气体问题上，更是显而易见。其二，从宏观角度上来看，无限分割的确不改变物质的密度；但从微观角度来看呢，当把物质分割到原子级别时，我们拿出一个原子和一块原子间的空隙，或在一个原子中拿出原子核与核外部分，其密度显然都是不一样的。在化学中有关晶体密度的求算，我们是从微观角度来考虑的。宏观物质分到何时不应再分了呢？我们只要在微观角度找到一种能代表该宏观物质的密度的重复单位。一般我们都是选取正方体型的重复单位，它在三维空间里有规则地堆积（未留空隙），就构成宏观物质了，也就是说这个正方体重复单位的密度代表了该物质的密度。我们只要求出该正方体的质量和体积，不就是可以求出其密度了吗？现在，我们先主要来探讨一下正方体重复单位的质量计算。

【例题1】如图2-1所示为高温超导领域里的一种化合物——钙钛矿的结构。该结构是具有代表性的最小重复单元。确定该晶体结构中，元素钙、钛、氧的个数比及该结构单元的质量。（相对原子质量：Ca 40.1

Ti 47.9

O 16.0；阿佛加德罗常数：6.02×1023）

【分析】我们以右图2-1所示的正方体结

构单元为研究对象，讨论钙、钛、氧这三种图2-1 元素属于这个正方体结构单元的原子（或离子）各有几个。首先看钙原子，它位于正方体的体心，自然是1；再看位于顶点上的钛原子，属于这个正方体是1/8吗？在第一节中，我们曾将一个大正方体分割成八个小正方体，原来在大正方体的一个原子被分割成了八个，成为小正方体的顶点。因此，位于正方体顶点上的原子属于这个正方体应为1/8。再看位于棱心上的氧原子，将它再对分就成为顶点（或者可认为两个顶点拼合后成为棱心）。因此，位于正方体棱心上的原子属于这个正方体应为1/4。最后再看位于面心上的原子，属于这个正方体的应是1/2吗？好好想一想，怎样用上面的方法去考虑呢？

通过上面的分析，我们应该可以考虑出钙、钛、氧三种原子各为1个、1个、3个，由于不知道它们原子的质量，怎么能计算出这个结构单元的质量呢？但我们知道它们的相对原子质量，再通过联系宏观和微观的量——阿佛第

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加德罗常数，就可以计算出每个原子的质量了，问题也就迎刃而解了。

【解答】Ca:Ti:O＝1:1:3；m＝2.26×10－22g 【小结】在空间无限延伸晶体的正方体重复单位中，体心上的原子完全属于这个正方体，面心上原子属于这个正方体的1/2，棱心上原子属于这个正方体的1/4，顶点上原子属于这个正方体的1/8。

【练习1】最近发现一种由钛原子和碳原子构成的气态团簇分子，如图2-2所示，顶角和面心的原子是钛原子，棱的中心和体心的原子是碳原子，它的化学式是

①

【讨论】你的答案是TiC吗？这是错的，想想为什么呢？这只不过是一个具有规则结构的二元大分

子，而不是一个空间晶体的最小重复单位，按例题1图2-2 提供的方法计算自然是错的了。在这个问题中，我们只需数出两种原子的数目就可以了，而不必进行上面的计算。

【例题2】计算如图2-3所示三种常见AB型离子化合物晶体的密度。（设以下各正方体的边长分别为a cm、b cm、c cm，Na、S、Cl、Zn、Cs的相对原子质量分别为M1、M2、M3、M4、M5）

图2-3

【分析】只要计算出每个正方体结构单元的质量和体积，其比值就是我们所需要的密度了。

【解答】①Cl原子在体心，是1；Cs原子在顶点，是8×1/8＝1。

ρ1＝(M3＋M5)/(NA·a3) ②Cl原子在体心和棱心，是1＋12×1/4＝4；Na原子在顶点和面心，是8×1/8＋6×1/2＝4。ρ2＝4(M3＋M1)/(NA·b3) ③S原子在正方体体内（相当于在第一节中碳化硅晶体结构中碳原子的位置，是4；Zn原子在顶点和面心，是8×1/8＋6×1/2＝4。

ρ3＝4(M3＋M1)/(NA·c3) 【练习2】完成第一节中例3的密度问题。已知碳化硅的Si—C键长为a cm，求其密度。②

【讨论】首先，我们选取大正方体为碳化硅晶体的重复单位（不可取小第

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正方体，为什么），求得其质量为[4×12＋(1＋12×1/4)×28]/NA；由于Si—C键长为小正方体对角线的一半，可求得大正方体边长为43a/3 cm。

【练习3】已知金刚石中C—C键长为1.54×10－10m，那么金刚石的密度为

；我们从资料中可查得金刚石的密度为3.47～3.56g/cm3，从你的答案和它的比较中可说明什么呢？③

【讨论】利用第一节的知识，我们选取碳化硅大正方体的结构为其单位，则含8个碳原子。当我们求出的结果与实验值（真实值）相近，则可说明我们计算密度的方法是正确的。

【例题3】石墨的片层与层状结构如图2-4所示：其中C—C键长为142pm，层间距离为340pm（1pm=10－12m）。试回答：

1．片层中平均每个六元环含碳原子数为

个；在层状结构中，平均每个六棱柱（如

ABCDEF—A1B1C1D1E1F1）含碳图2-4 原子数

个。

2．在片层结构中，碳原子数、C—C键数、六元环数之比为

3．有规则晶体密度的求算方法：取一部分晶体中的重复单位（如六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1），计算它的质量和体积，其比值即为所求晶体的密度，用此法可求出石墨晶体的密度为

g/cm3(保留三位有效数字)。④

【分析】在石墨的片层结构中，我们以一个六元环为研究对象，由于碳原子为三个六元环共用，即属于每个六元环的碳原子数为6×1/3＝2；另外碳碳键数为二个六元环共用，即属于每个六元环的碳碳键数为6×1/2＝3。那么属于一个正六棱柱的碳原子是2×2＝4吗？这时我们应将思维从平面转移到空间上来，这时还应考虑到每个碳原子还和上面（或下面）的六棱柱在共用，从1/3变为1/6了，因此这时还是2个碳原子。我们求出这个2个碳原子的质量和正六棱柱的体积，就能求出密度（与实验值很接近）。

【解答】1．2

2

2．2:3:1

3．2.24(±0.01) 【练习4】FexO晶体晶胞结构为NaCl型，由于晶体缺陷，x值小于1。测知FexO晶体为ρ为5.71g/cm，晶胞边长（相当于例题2中NaCl晶体正方体结构单元的边长）为4.28×10-10m（相对原子质量：Fe 55.9

O 16.0）。求：

1．FexO中x值为 （精确至0.01）。

2＋3＋2＋2．晶体中Fe分别为Fe、Fe，在Fe和Fe3＋的总数中，Fe2＋所占分数为 （用小数表示，精确至0.001）。

3．此晶体的化学式为

。

4．Fe在此晶系中占据空隙的几何形状是

（即与O2－距离最近且第

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等距离的铁离子围成的空间形状）。

5．在晶体中，铁元素的离子间最短距离为

m。⑤

【讨论】本题是涉及晶体密度计算的综合性试题。有关晶胞、晶系的概念，我们将在后面讨论；第4小题的几何构型会在下一节中具体探讨。本题是根据晶体结构单元的密度和体积来计算质量，然后确定FexO的相对质量后求出x值。

【练习参考答案】

1．Ti14C13 2．153/2NAa3 3．3.54g/cm3

4．0.92

0.826

Fe(Ⅱ)0.76Fe(Ⅲ)0.16O

正八面体

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3.03×10－10