2.1.3 相等向量与共线向量教学设计和教学实录

使用时间:2013.12

教材:必修四

编写:钟漫

审核：钟漫

第二章

平面向量

2.1平面向量的基本概念

【基础知识】

知识点一

向量的基本概念

1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示：

（1）图形表示：

（2）字母表示：

3.向量的相关概念：

（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：__

___注意0与0的含义与书写区别. （3）单位向量：________________________________ 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. （4）平行向量：________________________________记作：

我们规定0与

平行. （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量：_________________________ 【典型例题】

例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：

（1）零向量是唯一没有方向的向量；

（2）平面内的向量单位只有一个；

（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；

（4）向量a和b是共线向量，b/（5）相等向量一定是共线向量；

1 /c，则a和c是方向相同的向量；

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练习：判断下列说法是否正确，若不正确请改正：

（1）向量AB和CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

（2）单位向量都相等；

（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；

（4）四边形ABCD是平行四边形当且仅当ABCD；

（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；

例2.已知O是正六边形ABCDEF的中心，在图中标出的向量中：

（1）试找出与EF共线的向量；

（2）确定与EF相等的向量；

（3）OA与BC相等吗？

2.平面直角坐标系xOy中，已知|OA|2，则A点构成的图形是__________

3.四边形ABCD中，

4、课本77页A组3题、4题、6题

EFDOCBA1ABDC,|AD||BC|，则四边形ABCD的形状是_____ 2

2

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第二章

平面向量

2.2平面向量的线性运算

【基础知识】

知识点一

向量的加法运算

1.

定义：已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OAa，OBb，则

向量

叫做a与b的和，记作：_____________________ _________________________________叫做向量的加法

注意：两个向量的和向量还是一个向量。

2.向量加法的几何作法：

（1）三角形法则的步骤：

（2）平行四边形法则的步骤：

注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三角形法则对于任何两个向量都适用。

3.向量加法的运算律：

（1）向量加法的交换律：

_________________________________________

3 B

b

b

a

O

A

a

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（2）向量加法的结合律：

_________________________________________ 思考：如果平面内有n个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这n条向量的和是什么？________________

例1.如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：

（1）OAOC

（2）BCEF

（3）OA

例2.化简下列各式

FE

E

F

D

O

A

B

C

（1）ABBCCDDAEA

（2）ABMBBOOM

（3）ABDF

例3.点O是ABC内一点，若OAOBOC0，则点O为ABC的______心

练习：课本84页1、2、3、4题

4 CDBCFA

（4）ABCD(BCDB)BC

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知识点二

向量的减法运算

1.相反向量：

2.向量的减法：

①a与b的差记为__________ ②向量a与b的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；

注意：向量的减法是向量加法的逆运算。

向量ab的减法的作图方法：

3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量

4.关于向量减法需要注意以下几点：

①在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可.

②以向量aba(b)

ABa,ADb为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为ACab,BDba，DBab这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强理解；

③对于任意一点O，ABOBOA，简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记住. 例1.已知向量a,b,c,d，求作向量：ab,cd；

5 bacd

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练习：课本87页1、2题

例2：化简下列各式

（1）AB

（2）ABDABDBCCA

（3）(ABBC(BDAD)

DC)(ACBD)

例3：如图，ABCD是一个梯形，AB//CD,AB2CD，M,N分别是DC,AB的中点，已知ABa,ADb,试用a,b表示BC和MN

D

M

C

A

N

B

6

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知识点三

向量的数乘运算

1、一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作：_______它的长度和方向规定如下：

（1）|a||||a|

（2）当0时，_______________________；

当0时，_______________________；

当0时，_______________________；

______________________________叫做向量的数乘

2、向量的数乘的作图：

已知a,作ba

当

当

3.向量的数乘满足的运算律：

设,为任意实数，a,b为任意向量，则

（1）结合律

______________________________________ （2）分配律

_______________________________________ 注意：（1）向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积的运算过程中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合的具体应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；

（2）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。

例1.已知向量a,b，求作：

（1）向量2.5a

（2）2a3b

7 0时，把a按原来的方向变为原来的倍；

0时，把a按原来的相反方向变为原来的倍；

a

b

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例2.计算：

（1）(5)

（2）5(a

（3）2(2a4a

b)4(ab)3a

6b3c)3(3a4b2c)

练习：课本90页2、3、4、5题

例4.已知：ABC中，D为BC的中点，E,F为AC,BA的中点，AD,BE,CF相交于O点，求证：

（1）AD1(ABAC)

2F

A

（2）ADBECF0

（3）OAOBOC0

E

O

C

B

D

8