2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计

2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示

一、教学目标：

知识与技能：

1.理解平面向量基本定理．

2.了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量正交分解，会用坐标表示向量．

过程与方法：

掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．

二．重点难点 重点：平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．

难点：平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示的运用

三、教材与学情分析

平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便．联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj. 于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标，这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

知识回顾：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2；使得a＝λ1a1＋λ2a2. 2.

向量的夹角:已知两个非零向量a、b，作OAa，OBb，则∠AOB＝，叫向量a、b的夹角，当= 90 °，称a与b垂直，记作ab. 新知梳理： 给定基底，分解形式惟一. λ1，λ2由a，e1，e2唯一确定.



由前面知识知道，平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个互相垂直的向量来表示，这样能给我们研究向量带来许多方便。

1．平面向量的正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

2．平面向量的坐标表示

如图（1），在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得1

a=xi+yj………○2我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y)………○[来源:Zxxk.Com]

与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i=(1,0) j=(0,1)，0=(0,0).

图（1） 图（2）

3. 在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的. 如图（2），在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定. 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.

y A 2式叫做向量的坐标表示.其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○O x 对点练习：

以向量i、j为基底，向量a=_________.

1. 如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，B P j

2. 在平面直角坐标系下，起点是坐标原点O，终点A落在直O aA i

线yx上，且模长为1的向量OA的坐标是___________ 【合作探究】

典例精析：

例1：请写出图中向量OA,OB,BC的坐标

变式1：请在平面直角坐标系中作出向量a、b，其中a=（1,-3）、b=（-3，-1）. 例2:如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的坐标.

y A(2,3) C(6,2) O B (4,-1) x 

变式2：已知O为坐标原点，点A在第一象限，|OA|43，xOA60，求向量0OA的坐标. 【课堂小结】

向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。

将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。

【当堂达标】

1、已知力F在水平方向与竖直方向的分力分别是4和3，则力F的实际大小是__________，若水平方向为x轴的正方向，竖直方向为y轴的正方向，则力F的坐标表示是_________.

2、若OAxiyj，（i，j为单位向量），则OA的坐标（x，y）就是____的坐标，即若OA=（x，y），则点A的坐标就是_______________。

3、如右图：|OA|=4,B(1,2),求向量AC,CB,OC

的坐标。

C y B A 0 x

[来源学科网ZXXK]

【课时作业】

1．设i、j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且OA4i2j，

OB3i4j，则△OAB的面积等于（

）

A、15

B、10

C、7.5

D、5[来源学§科§网Z§X§X§K]

0AOC60，2、如图所示的直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，BC‖OA，OC=6，则用坐标表示下列向量：OC_______________；

CB______________；OB______________；

OA______________.

3.在直角坐标系xoy中，向量a,b,c的方向如图所示，且|a|2,|b|3,|c|4，分别写出他们的坐标.

y

O O A yC B xb

300

a

450

300

x c六、课堂小结

1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示．

2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、数形结合、几何作图．

七、课后作业

教学过程课时作业

八、教学反思

1．本节课内容是平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示的运用. 2．教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．

3．如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．