2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示名师教学设计2

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计

甘肃省靖远县第一中学 王生化

一、内容和内容解析

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有其深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。本节课是高中新课标必修④第二章向量中第三节平面向量基本定理基础上紧接着学习的内容，包括平面向量的正交分解及坐标表示。它是平面向量基本定理的应用，在平面直角坐标系内向量与坐标建立起一一对应，使向量兼具“形”“数”两方面特征，从而为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，同时为后续学***面向量的数量积奠定了基础。

其中：平面向量的正交分解是平面向量基本定理的深入，同时为平面向量坐标表示奠定理论基础；

向量的坐标表示既是平面向量基本定理的深化，又是实现向量坐标运算的基础，在学习了向量的坐标表示的定义之后，建立了向量的坐标与点的坐标的联系，实现了新旧知识的转化，便于学生全面把握向量的坐标概念；

二、目标与目标解析

1、理解平面向量的正交分解的概念；

2、理解与掌握平面向量的坐标表示。

（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；

（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标；

（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点、终点坐标之间的关系。

三、教学问题诊断分析

学生在理解向量的坐标表示时会出现障碍，主要表现在：

1、向量和点都可以用坐标表示，易将向量的坐标与点的坐标相混淆。

2、对“相等向量的坐标相等”的理解不到位，特别是由有向线段表示的相等向量坐标间的关系。

其原因是：在学习向量坐标表示之前，学生已经理解点的坐标概念及其意义，明确了点的坐标与点在直角坐标系中的具体位置有关，受思维定势的影响，学生认为向量的坐标是由表示向量的有向线段在平面直角坐标系中具体位置确定的，还有学生将向量和表示向量的有向线段相混淆，从而产生对向量坐标表示意义理解的偏差。

因此，对向量的坐标表示意义的理解是本课的教学难点。

四、学习行为分析

为了理解向量正交分解的概念和意义，在复***面向量基本定理的基础上，让学生寻找基本定理在物理学中作用的例子，感受向量正交分解的现实背景。

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由于向量是一个抽象了的概念，学习向量的坐标表示时，仍要注意与向量的几何表示——有向线段联系起来，便于直观理解。同时，为防止学生对向量坐标表示理解的偏差，学习中要遵循从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律。通过对例题及变式的思考训练加深概念的理解，感悟向量与其坐标间的一一对应关系。

五、教学支持条件分析

为了直观理解向量坐标表示的意义，教学中可借助多媒体展示向量几何表示与坐标表示的关系。

六、教学过程设计

教学流程：复***面向量基本定理——引入平面向量的正交分解——平面向量的坐标表示——例题探究——课堂练习——归纳小结

七、教学情景

1、教学内容：平面向量的正交分解

问题1、指出平面向量基本定理的内容及意义

设计意图：复习旧知，为下一步将基底特殊化引出新课做准备。

师生活动：学生口述，教师点评。

问题2、平面向量基本定理在物理学中有哪些作用？试举例说明。

设计意图：建立数学知识与物理知识的联系，感受数学定理的实际模型，有助于理解向量的正交分解概念及意义。

师生活动：学生思考并举例。教师给出向量正交分解的定义并简要说明作用。

力的分解：如图，光滑斜面上一个木块受到重力=，其中是平行于斜面的力，的作用，这时可以分解为是垂直于斜面的压力。

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形，这样会给我们研究问题带来很大的方便。

2、教学内容：平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得[ 学 ]

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axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

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a(x,y)…………○其中x叫做a在x轴上的坐标，2式y叫做a在y轴上的坐标，○叫做向量的坐标表示。

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定。

设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过

，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标。 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。

在坐标系中观察，向量i,j及OA的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论

起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标。

设计意图：通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，提示学生思考在直角坐标系中表示一个平面向量的方法，培养学生的迁移能力和创新意识。

师生活动：学生思考、猜想向量也可以用坐标来表示。由平面向量基本定理，分别选取与x轴，y轴同向的两个单位向量、作为基底。

、j分别表示向量a、例1、如图，用基底ib、c、d

，并求出它们的坐标。

设计意图：让学生自主探究得出结论从而经历知识的形成过程，从具体问题中初步感受向量的坐标表示意义和向量坐标的求法，同时为学生抽象坐标表示的定义作铺垫。

例2 、已知O是坐标原点, 点A在第一象,|OA|=4,线段OA与x 轴正方向的夹角为60°,求向量OA的坐标.

设计意图：使学生明确向量的坐标与表示该向量的有向线数起点和终点坐标之间的关系，感悟向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相第

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对位置有关。同时渗透数结合思想，特殊到一般的思想。培养学生观察归纳、分析论证的能力。

课堂练习

1．已知M(2，3)，N(3，1)，则

NM的坐标是(

) A．(2，－1)

B．(－1，2) C．(－2，1)

D．(1，－2) 2．在平面直角坐标系中，|a|＝2018，a与x轴的正半轴的夹角为是

. 

，则向量a的坐标33．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(6，5)，O为坐标原点，则OA＝

，OB＝

小结：

1、平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。

2、平面向量的坐标表示

a= xi+yj

，把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a= ( x, y )，其中x叫做

在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

设计意图：使学生养成归纳总结的学习习惯，不断提高反思能力，体会知识的形成、发展、应用过程。

作业：配套练习56页1、2题

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