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必修三

第三章

概率

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概率

章末复习

【学习目标】

1.梳理本章知识，构建知识网络. 2.进一步理解频率与概率的关系. 3.巩固随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率. 4.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．

一、知识梳理

1．频率与概率

频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．

2．求较复杂概率的常用方法

(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；

(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．

3．古典概型概率的计算

m关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝求n解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．

4．几何概型事件概率的计算

关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解．

二、例题讲解



复习要点一：频率与概率

例1

对一批U盘进行抽检，结果如下表：

抽出件数a 次品件数b b次品频率

a(1)计算表中次品的频率；

(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？

(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？

解

(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽50

3

100

4

200

5

300

5

400

8

500 9

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取一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，

所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．

【反思】

概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．



复习要点：互斥事件与对立事件

例2

甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．

(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

解

把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；

“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．

因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20. 63(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的20106333概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝201010103. 521(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”201019的概率为1－＝. 1010【反思】

在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．



复习要点：古典概型

例3

甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学

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校的概率．

解

甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示．

(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．

从中选出的2名教师性别相同的结果有

(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，

4所以选出的2名教师性别相同的概率P＝. 9(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．

从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．

62所以选出的2名教师来自同一学校的概率P＝＝. 155【反思】

解决古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．



复习要点：几何概型

例4

在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．

2答案

3Δ＝4p－43p－2≥0，解析

由题意，得x1＋x2＝－2p<0，x1x2＝3p－2>0，2解得

32

所以所求概率P＝1－2＋5－2325＝. 3【反思】

对于概率问题的计算，首先应判断概率模型．若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就m不能应用P(A)＝求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．

n

复习要点：数形结合思想求概率

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例5

甲、乙两艘轮船都要停靠在一个不能同时停泊两艘船的泊位上，它们可以在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是3 h和5 h，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．

解

以甲船到达泊位的时刻x、乙船到达泊位的时刻y为横、纵轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可得，0≤x≤24且0≤y≤24.

设事件A＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B＝{甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件C＝{乙船停靠泊位时必须等待一段时间}，则A＝B∪C，并且事件B与C是互斥事件，所以

P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)．

而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0

则S正方形＝242＝576，

11S阴影＝242－×(24－3)2－×(24－5)2＝175，

22175175所以由几何概型概率公式得P(A)＝，所以有一艘船停靠泊位时等待一段时间的概率为. 576576【总结】

(1)数形结合思想主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在本章中，主要是借助形的生动性和直观性来阐明基本事件之间的联系．数形结合思想在本章中的应用有：借助树状图列举基本事件，利用Venn图理解各种事件之间的关系；利用一维图形求线型几何概型的概率；利用二维图形求面积型几何概型的概率；利用三维图形求体积型几何概型的概率等．

(2)直观想象能提升学生数形结合的能力，形成数学直观，是学生数学核心素养的直接体现.

三、课堂练习

1．下列事件：

①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温. 其中为随机事件的是(

)

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A．①②③

C．①③④

答案

B B．①②④

D．②③④

解析

任取三条线段，这三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故①为随机事件；

从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故②为随机事件；若实数a，b都不为0，则a2＋b2一定不等于0，故③为不可能事件；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温，故④为随机事件．故选B. 2．不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取3个球，则这3个球号码之和为5的倍数的概率为(

) 1121A.

B.

C.

D.

10594答案

B 解析

基本事件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，满足要求的基本事件有(1,4,5)，(2,3,5)，

1共2种，故所求概率为.故选B. 53．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是(

) 1A.

2251C.

300答案

C 解析

三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为31＝. 9003003B.

8991D.

4504．已知a，b∈(0,1)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________．

1答案

4解析

函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

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由二次函数的单调性可知－0

即图中阴影部分．

11×1×221∴函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为＝. 41×15．小明爱好玩飞镖，现有图形构成如图所示的两个边长为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点O旋转，若小明每次投镖都能射中图形，则小明射中阴影部分的概率是________．

1答案

7解析

连接OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N.因为△OBM≌△OAN，所以阴影部分的面积等于△OAB的面积，其面积为1.整个图形的面积为8－1＝7.

1所以小明射中阴影部分的概率是. 7四、章节小结

1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题

(1)本试验是不是等可能的？

(2)本试验的基本事件有多少个？

(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？

3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成

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正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．

4．关于随机数与随机模拟试验问题

随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下两个方面考虑：

(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组．

(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．