探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教案范文

三角函数零诊复习学案

第一节

任意角和弧度制及任意角的函数

1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝

rad,1°＝180π

rad，1 rad＝. π°180(3)扇形的弧长公式：l＝

，扇形的面积公式：S＝

＝

. 3．任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝

，cos α＝

，tan α＝

(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：

三角函数

sin α

cos α

tan α

定义域

R

R

{α|α≠kπ＋π，k∈Z} 2＋

－

＋

－

第一象限符号

＋

＋

第二象限符号

第三象限符号

＋

－

－

－

第四象限符号

－

＋

4.三角函数线

如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. 三角函数线

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余

弦线；有向线段AT为正切线

5．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：______________________________. 2．诱导公式

(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z. (2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________. (4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________. ππ－α＝________，cos－α＝________. (5)sin22ππ＋α＝__________，cos＋α＝____________________________________. (6)sin226．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：

sincos1sincostan平方关系可变形为：

上述过程体现了化归的思想方法．

22

1sin2cos1sin，cos221sincos，

(sincos)212sincossincos(sincos)21等．

2

角α

弧度制

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

sinα

cosα

tanα

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1331(1)角α终边上点P的坐标为(－，)，那么sin α＝，cos α＝－；同理角α终边上点Q2222的坐标为(x0，y0)，那么sin α＝y0，cos α＝x0.(

) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(

) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(

) (4)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．(

) π(5)α∈(0，)，则tan α>α>sin α.(

) 2(6)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(

) (7)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角(

) 11(8)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(

) 33

(9)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－13，则tan θ的值为－3或－.(

) 231＋2sin αcos α11(10)已知tan α＝－，则22的值是－.(

) 23sinα－cosα例1已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

(2)若扇形的周长是一定值C

(C>0)，当α为多少弧度时，

该扇形有最大面积？

例2(1)若tan2，则1____________．

sincos3π5，π<α<，则tan α=

52(2)已知sin α－cos α＝－(3)已知R,sin2cos10,则tan2 2

练习1：已知角α的终边上一点P（-

）则角α=______________________________.

π5α＋＝－，α∈(0，π)．

例2．(2011·合肥模拟)已知sin25π3πα－－cos＋αsin223π2α－的值．

(1)求的值；(2)求cos4sinπ－α＋cos3π＋α

sinπ－αcos2π－αtan－α＋π练习2：已知f(α)＝. －tan－α－πsin－π－α3π1(1)化简f(α)；

(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．

25

第二节

三角恒等变换

1．(1)两角和与差的余弦

cos(α＋β)＝_____________________________________________，

cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦

sin(α＋β)＝_____________________________________________，

sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切

tan(α＋β)＝_____________________________________________，

tan(α－β)＝_____________________________________________. π(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋，k∈Z) 2其变形为：

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．

2．辅助角公式

asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，

cos φ＝

，sin φ＝

，其中btan φ＝，a

角φ称为辅助角．

3．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝________________；

(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；

kπππ(3)tan 2α＝________________________ (α≠＋且α≠kπ＋)．

2424．公式的逆向变换及有关变形

sin 2α(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝；

2sin α(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；

幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；

变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________________. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(

) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(

) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意1－tan αtan β角α，β都成立．(

) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(

) π(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(，π)，则tan 2α＝3.(

) 2(6)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(

)

(7)在非直角三角形中有：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C．(

)

(8)公式asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(

) ππ3(9)函数f(x)＝cos2x＋3sin xcos x在区间[－，]上的最大值为.(

) 432划一公式的应用：

（1）cosx+sinx=___________(2)cosx-sinx= _____________ (3)cosx+

sinx=_________ (4)cosx-

sinx=_________

(5)

cosx-sinx=

_________

(6)

cosx+sinx=_________ 注意角的变换：

α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， 2α＝(α＋β)＋(α－β)，

2α＝(β＋α)－(β－α)，

α＋β＝2·βα＋βα－β＝α－－等等

222α＋β， 2

例1.如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边作两个

锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，

已知A,B 的横坐标分别为225,．

105A B O （Ⅰ）求tan()的值；

（Ⅱ）求2的值．

例3.

已知函数f(x)sin(x6)cos(x3).g(x)2sin2x

2(I)若是第一象限角,且f()353.求g()的值; (II)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合.

第三节

三角函数的图象与性质

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

π3π正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，22(2π，0)．

π3π余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，22(2π，1)．

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．

X

Ωx＋φ

y＝

0

A 0

0 －A Asin(ωx＋φ)

2．三角函数的图象和性质

函数

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

在______________________上增，在__________________________________上减

在定义域的每一个区间________________________________内是增函数

单调性

在__________________________上增，在______________________________上减

3.正弦函数y＝sin x

当x＝____________________________________时，取最大值1；

当x＝____________________________________时，取最小值－1. 4．余弦函数y＝cos x

当x＝__________________________时，取最大值1；

当x＝__________________________时，取最小值－1. 5．y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x的对称中心分别为____________、___________、______________. 6．y＝sin x、y＝cos x的对称轴分别为______________和____________，y＝tan x没有对称轴．

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) ππ3π(1)作函数y＝sin(x－)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，622－1)，(2π，0)这五个点．(

) π(2)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin(2x＋4π)．(

) 4πππ(3)函数y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向右移个单位长度得到的．(

) 4423ππ(4)函数y＝sin(－2x)的递减区间是(－－kπ，－－kπ)，k∈Z.(

) 44(5)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(

)

(6)常函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(

) π(7)y＝sin x在x∈[0，]上是增函数．(

) 2

(8)y＝tan x在整个定义域上是增函数．(

) (9)y＝ksin x＋1(x∈R)，则ymax＝k＋1.(

) (10)若sin x>2π，则x>.(

) 24例1已知函数f(x)＝2sinxcosx＋3(2cos2x－1)．

π(1)

将函数f(x)化为Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的形式，

2并画出函数f(x)在区间[0，π]上的图象；

(2)求函数f(x)的单调减区间．

例3若f(x)＝3sin(x)cos(x)(0π,0)π.2为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（Ⅰ）求f（π）的值；8π个单位后，再将得到的图象6上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移