2.1.3 相等向量与共线向量优质公开课教案

A组

专项基础训练

(时间：35分钟) →→→→1．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO，BO，OC，OD是(

) A．相等的向量

B．平行的向量

C．有相同起点的向量

D．模相等的向量

【解析】

这四个向量的模相等．

【答案】

D 2．(2017·广西南宁质检)已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是(

) A．|a|＝|b|＝1 B．a·b＝1 C．当a，b反向时，a＋b＝0 D．当a，b同向时，a＝b

【解析】

a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，|a|＝|b|＝1，正确；对于B，a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，错误；对于C，当a，b反向时，a＋b＝0，正确；对于D，当a，b同向时，a＝b，正确．故选B.

【答案】

B →3．(2015·深圳调研)在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则AE等于(

)

2→1→A.AB＋AD

321→2→B.AB＋AD

235→1→C.AB＋AD

631→5→D.AB＋AD

362→→→→→→【解析】

BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD，

3→→→→1→→1→2→2→1→AD－AB＝AB＋AD.

AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋33222【答案】

A

|a|4．(2017·湖北黄冈调研)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，(a－b)⊥c，M＝＋|b||b||c|＋，则M＝(

) |c||a|A．3

B．32 C．2＋232

D．1＋

22→→→→【解析】

根据条件，作OA＝a，OB＝b，OA⊥OB.以OA，OB为邻边作矩形OACB，→→→→→则OC＝－c，如图所示，则BA＝OA－OB＝a－b，∵(a－b)⊥c，OC＝－c，

→→∴BA⊥OC，即BA⊥OC，

|a||b||c|∴矩形OACB为正方形，设其边长为1，则|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，∴M＝＋＋＝|b||c||a|1＋232＋2＝1＋.

22

【答案】

D 5．(2017·河南登封调研)设a，b是两个非零的平面向量，给出下列说法：

①若a·b＝0，则有|a＋b|＝|a－b|；②|a·b|＝|a||b|；③若存在实数λ，使a＝λb，则|a＋b|＝|a|＋|b|；④若|a＋b|＝|a|＋|b|，则存在实数λ，使得a＝λb.其中正确说法的个数是(

) A．1

B．2 C．3

D．4 【解析】

①若a·b＝0，则有|a＋b|＝|a－b|＝a2＋b2，正确；②因为|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|，所以不正确．③若存在实数λ，使a＝λb，则|a＋b|＝|λb＋b|＝|λ＋1||b|，|a|＋|b|＝|λb|＋|b|＝(|λ|＋1)|b|，当λ＜0时，|a＋b|≠|a|＋|b|，所以不正确；④因为|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，所以存在实数λ，使得a＝λb，正确．所以正确说法的个数是2.故选B.

【答案】

B 16．(2017·浙江杭州模拟)在梯形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，点P为梯形所在平面2→→→→→→内一点，满足：PA＋PB＋PC＋PD＝AB＋CD，若△ABC的面积为1，则△PCD的面积为________．

→→→→→→→→→→→→【解析】

由PA＋PB＋PC＋PD＝AB＋CD＝PB－PA＋PD－PC，得PA＋PC＝0，所以P

11点是AC的中点，所以h△PCD＝h△ABC.因为AB＝CD，AB∥CD，所以S△PCD＝S△ABC＝1.

22【答案】

1 →7．(2016·包头模拟)如图，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M为AH的中点，若AM→→＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝________．

1→1→→1→→→→→→→【解析】

∵AM＝(AB＋BH)＝[AB＋x(AB－AC)]＝[(1＋x)AB－xAC]，又∵AM＝λAB2221→＋μAC，∴1＋x＝2λ，2μ＝－x，∴λ＋μ＝.

21【答案】

2→→→→8．(2017·天水模拟)△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是________．

→→→→→→→→→→→→【解析】

因为PA＋PB＋PC＝AB，所以PA＋PB＋PC＝PB－PA，所以PC＝－2PA＝2AP，S△PBCPC22即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.

3S△ABCAC32【答案】

39．在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，→→→→设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.

→1→→11【解析】

AD＝(AB＋AC)＝a＋b.

222→→→→2→→1→→AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)

332→1→→＝AB＋(AC－AB)

331→1→＝AB＋AC

3311＝a＋b. 3310．设两个非零向量e1和e2不共线．

→→→(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；

→→→(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．

→→【解析】

(1)证明

∵AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，

→CD＝－8e1－2e2，

→→→∴AC＝AB＋BC＝4e1＋e2

11→＝－(－8e1－2e2)＝－CD，

22→→∴AC与CD共线．

→→又∵AC与CD有公共点C，∴A、C、D三点共线．

→→→(2)AC＝AB＋BC＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，

∵A、C、D三点共线，

→→→→∴AC与CD共线，从而存在实数λ使得AC＝λCD，

即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，

3＝2λ，34得解得λ＝，k＝. 23－2＝－λk，B组

专项能力提升

(时间：15分钟) 11．(2017·四川泸州检测)已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个→|PD|→→→点P，满足PA＝PB＋PC，则的值为(

) →|AD|1A．1

B.

31C.

D．2 2→→→【解析】

因为PA＝PB＋PC，所以PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线．因→|PD|为D为边BC的中点，所以D为PA的中点，所以的值为1.故选A.

→|AD|【答案】

A →12．(2017·宁夏银川九中模拟)设点M是线段BC上的点，点A在直线BC外，BC2＝16，→→→→→→→→|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＋BC＝2AM，则|AM|＝(

) A．2

B．4 C．6

D．8

→→→→→→→→→→【解析】

由|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＋AC＝2AM，得AB⊥AC，M为BC的中点．又BC2→→＝16，所以|BC|＝4，所以|AM|＝2，故选A.

【答案】

A S△ABD1→→→13．(2017·安徽十校3月联考)已知A、B、C三点不共线，且AD＝－AB＋2AC，则3S△ACD＝(

) 23A.

B.

321C．6

D.

61→→→→【解析】

如图，取AM＝－AB，AN＝2AC，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，

3

1→→→此时AD＝－AB＋2AC.

31由图可知S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝S△AND，

2而S△AMD＝S△AND，

∴S△ABD＝6，故选C.

S△ACD【答案】

C →→→→→14．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________．(用a，b表示) →→→3→3【解析】

由AN＝3NC得AN＝AC＝(a＋b)，

441→→→→AM＝a＋b，所以MN＝AN－AM

21311a＋b＝－a＋b.

＝(a＋b)－244411【答案】

－a＋b

4415．(2017·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中→→→点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．

【解析】

方法一

如图．

∵四边形ABCD为平行四边形，且E、F分别为CD、BC的中点，

→→→→→→→∴AC＝AD＋AB＝(AE－DE)＋(AF－BF)

→→1→→→→1→＝(AE＋AF)－(DC＋BC)＝(AE＋AF)－AC，

2224→2→→∴AC＝(AE＋AF)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.

333方法二

(回路法)：连接EF交AC于M.

因为E、F分别为CD、BC的中点，

→3→所以点M为AC的四等分点，且AM＝AC，

4→→→又AC＝λAE＋μAF，

→3→3→所以AM＝λAE＋μAF.

443因为M、E、F三点共线，所以(λ＋μ)＝1，

44所以λ＋μ＝.

34【答案】

3